Email this article Numerical-analytical construction of a generalized solution of the eikonal equation in the plane case
- Authors: Lebedev P.D.1,2, Uspenskii A.A.1
-
Affiliations:
- N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences
- Ural Federal University named after the First President of Russia B. N. Yeltsin
- Issue: Vol 215, No 9 (2024)
- Pages: 99-124
- Section: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/0368-8666/article/view/263162
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9500
- ID: 263162
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
В 1970-х годах С. Н. Кружков ввел понятие обобщенного решения уравнения эйконала и для среды с постоянным коэффициентом преломления указал класс функций, которому принадлежит обобщенное решение краевой задачи Дирихле. В работе изложены конструктивные методы его построения для плоского случая. Зарождение негладких (сингулярных) особенностей обобщенного решения обусловлено псевдовершинами – особыми точками границы краевого множества, выявление которых связано с проблемой нахождения неподвижных точек отображений, формируемых при ее локальной перепараметризации. Получены необходимые условия существования псевдовершин при разрыве гладкости кривизны параметрически заданной границы краевого множества. Условия имеют вид уравнения относительно маркера псевдовершины – числовой характеристики локальной невыпуклости краевого множества. Уравнение, обладая характерной структурой, свойственной конструкциям с неподвижной точкой, сводится к алгебраическому уравнению. Решение этого уравнения, маркер, найдено в аналитическом виде для случая, когда в псевдовершине достигается негладкий экстремум кривизны границы краевого множества. Приведен пример численно-аналитического построения обобщенного решения краевой задачи, сингулярного множества и эволюции волновых фронтов.Библиография: 29 названий.
About the authors
Pavel Dmitrievich Lebedev
N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences; Ural Federal University named after the First President of Russia B. N. Yeltsin
Email: pleb@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-1693-3476
SPIN-code: 5197-4313
Candidate of physico-mathematical sciences
Aleksandr Aleksandrovich Uspenskii
N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences
Email: uspen@imm.uran.ru
ORCID iD: 0000-0003-0725-4233
SPIN-code: 1491-4686
ResearcherId: J-3594-2017
Doctor of physico-mathematical sciences, Senior Researcher
References
- С. Н. Кружков, “Обобщенные решения уравнений Гамильтона–Якоби типа эйконала. I. Постановка задач, теоремы существования, единственности и устойчивости, некоторые свойства решений”, Матем. сб., 98(140):3(11) (1975), 450–493
- M. G. Crandall, P.-L. Lions, “Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations”, Trans. Amer. Math. Soc., 277:1 (1983), 1–42
- А. И. Субботин, Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации, Ин-т компьютерных технологий, М.–Ижевск, 2003, 336 с.
- О. А. Олейник, “Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений”, УМН, 12:3(75) (1957), 3–73
- Н. Н. Красовский, А. И. Субботин, Позиционные дифференциальные игры, Наука, М., 1974, 456 с.
- В. И. Арнольд, Особенности каустик и волновых фронтов, Фазис, М., 1996, x+334 с.
- А. В. Боровских, “Двумерное уравнение эйконала”, Сиб. матем. журн., 47:5 (2006), 993–1018
- J. A. Sethian, A. Vladimirsky, “Fast methods for the Eikonal and related Hamilton–Jacobi equations on unstructured meshes”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 97:11 (2000), 5699–5703
- С. И. Кабанихин, О. И. Криворотько, “Численное решение уравнения эйконала”, Сиб. электрон. матем. изв., 10 (2013), 28–34
- Г. В. Папаков, А. М. Тарасьев, А. А. Успенский, “Численные аппроксимации обобщенных решений уравнений Гамильтона–Якоби”, ПММ, 60:4 (1996), 570–581
- П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, В. Н. Ушаков, “Построение минимаксного решения уравнения типа эйконала”, Тр. ИММ УрО РАН, 14, № 2, 2008, 182–191
- П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Условия трансверсальности ветвей решения нелинейного уравнения в задаче быстродействия с круговой индикатрисой”, Тр. ИММ УрО РАН, 14, № 4, 2008, 82–99
- А. А. Успенский, “Необходимые условия существования псевдовершин краевого множества в задаче Дирихле для уравнения эйконала”, Тр. ИММ УрО РАН, 21, № 1, 2015, 250–263
- П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Построение решения задачи управления по быстродействию при нарушении гладкости кривизны границы целевого множества”, Изв. ИМИ УдГУ, 53 (2019), 98–114
- В. В. Немыцкий, “Метод неподвижных точек в анализе”, УМН, 1936, № 1, 141–174
- В. Н. Ушаков, А. А. Успенский, “$alpha$-множества в конечномерных евклидовых пространствах и их свойства”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 26:1 (2016), 95–120
- Т. Брeкер, Л. Ландер, Дифференцируемые ростки и катастрофы, Мир, М., 1977, 208 с.
- В. Ф. Демьянов, Л. В. Васильев, Недифференцируемая оптимизация, Наука, М., 1981, 384 с.
- E. Hopf, “Generalized solutions of non-linear equations of first order”, J. Math. Mech., 14:6 (1965), 951–973
- M. Bardi, L. C. Evans, “On Hopf's formulas for solutions of Hamilton–Jacobi equations”, Nonlinear Anal., 8:11 (1984), 1373–1381
- А. М. Тарасьев, А. А. Успенский, В. Н. Ушаков, “Аппроксимационные операторы и конечно-разностные схемы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона–Якоби”, Изв. РАН. Техн. кибернетика, 1994, № 3, 173–185
- Дж. Брус, П. Джиблин, Кривые и особенности. Геометрическое введение в теорию особенностей, Современная математика: Вводные курсы, Мир, М., 1988, 264 с.
- А. А. Успенский, П. Д. Лебедев, “Вырожденность условий второго порядка при построении псевдовершин краевого множества для уравнения эйконала”, Вестник ГУ, 2 (2016), 31–46
- А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1(427) (2016), 3–84
- Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин, “Некоторые свойства чебышевских множеств”, Докл. АН СССР, 118:1 (1958), 17–19
- V. D. Sedykh, “On the topology of symmetry sets of smooth submanifolds in $mathbb{R}^{k}$”, Singularity theory and its applications, Adv. Stud. Pure Math., 43, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2006, 401–419
- Р. Н. Щербаков, Л. Ф. Пичурин, Дифференциалы помогают геометрии, Просвещение, М., 1982, 191 с.
- А. Д. Полянин, Точные решения дифференциальных, интегральных, функциональных и других математических уравнений, Изд-во ИПМех РАН, М., 2023, 600 с.
- П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, Программа построения волновых фронтов и функции евклидова расстояния до компактного невыпуклого множества, Свид-во о гос. рег. программы для ЭВМ № 2017662074 от 27.10.2017
Supplementary files
