Том 215, № 9 (2024)

Известно, что нетривиальный аттрактор в неблуждающем множестве $\Omega$-устойчивого 3-диффеоморфизма сосуществует с тривиальными базисными множествами тогда и только тогда, когда он либо одномерный неориентируемый, либо двумерный растягивающийся (ориентируемый или неориентируемый). Ранее были построены примеры соответствующих диффеоморфизмов, за исключением случая двумерного неориентируемого аттрактора. Настоящая работа восполняет этот пробел. Кроме того, здесь конструктивно доказывается существование энергетической функции у построенного диффеоморфизма, тем самым расширяется класс каскадов, обладающих глобальной функцией Ляпунова, множество критических точек которой совпадает с неблуждающим множеством динамической системы.Библиография: 20 названий.

Доказано, что любая группа $G$ является группой $\mathcal E(X)$ гомотопических эквивалентностей $\mathrm{CW}$-комплекса $X$ конечной размерности. Таким образом, получено обобщение известной теоремы К. Костои и А. Вируэля [9], согласно которой любая конечная группа является группой $\mathcal E(X)$ гомотопических эквивалентностей рационального эллиптического пространства $X$.Библиография: 12 названий.

В 1970-х годах С. Н. Кружков ввел понятие обобщенного решения уравнения эйконала и для среды с постоянным коэффициентом преломления указал класс функций, которому принадлежит обобщенное решение краевой задачи Дирихле. В работе изложены конструктивные методы его построения для плоского случая. Зарождение негладких (сингулярных) особенностей обобщенного решения обусловлено псевдовершинами – особыми точками границы краевого множества, выявление которых связано с проблемой нахождения неподвижных точек отображений, формируемых при ее локальной перепараметризации. Получены необходимые условия существования псевдовершин при разрыве гладкости кривизны параметрически заданной границы краевого множества. Условия имеют вид уравнения относительно маркера псевдовершины – числовой характеристики локальной невыпуклости краевого множества. Уравнение, обладая характерной структурой, свойственной конструкциям с неподвижной точкой, сводится к алгебраическому уравнению. Решение этого уравнения, маркер, найдено в аналитическом виде для случая, когда в псевдовершине достигается негладкий экстремум кривизны границы краевого множества. Приведен пример численно-аналитического построения обобщенного решения краевой задачи, сингулярного множества и эволюции волновых фронтов.Библиография: 29 названий.