Moduli of rank two semistable sheaves on rational Fano threefolds of the main series

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

В статье исследуются пространства модулей полустабильных когерентных пучков ранга $2$ на проективном пространстве $\mathbb{P}^3$ и следующих за ним рациональных многообразиях Фано основной серии – трехмерной квадрике $X_2$, пересечении двух четырехмерных квадрик $X_4$ и многообразии Фано $X_5$ степени $5$. Для квадрики $X_2$ доказана ограниченность третьего класса Черна $c_3$ полустабильных объектов ранга $2$, в том числе пучков, из $\mathrm{D}^b(X_2)$. Дано явное описание всех пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ на $X_2$, в том числе рефлексивных, с максимальным третьим классом Черна $c_3\ge0$. Эти пространства оказываются неприводимыми гладкими рациональными многообразиями во всех случаях, за исключением следующих двух: $(c_1,c_2,c_3)=(0,2,2)$ либо $(0,4,8)$. Найден первый пример несвязного пространства модулей полустабильных пучков ранга $2$ с фиксированными классами Черна на гладком проективном многообразии – это второй из указанных исключительных случаев $(c_1,c_2,c_3)= (0,4,8)$ на квадрике $X_2$. Построен ряд новых бесконечных серий рациональных компонент пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ на $\mathbb{P}^3$, $X_2$, $X_4$ и $X_5$, а также новая бесконечная серия нерациональных компонент на $X_4$. Доказана ограниченность класса $c_3$ при $c_1=0$ и любом $c_2>0$ для стабильных рефлексивных пучков основного типа на многообразиях $X_4$ и $X_5$.Библиография: 30 названий.

About the authors

Danil Anatol'evich Vasil'ev

Laboratory of algebraic geometry and its applications, National Research University "Higher School of Economics" (HSE)

Email: davasilev@edu.hse.ru
ORCID iD: 0000-0001-8759-6158

Alexander Sergeevich Tikhomirov

Department of Mathematics, National Research University "Higher School of Economics"

Email: astikhomirov@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. В. А. Исковских, “Трехмерные многообразия Фано. I”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 41:3 (1977), 516–562
  2. C. Almeida, M. Jardim, A. S. Tikhomirov, “Irreducible components of the moduli space of rank 2 sheaves of odd determinant on projective space”, Adv. Math., 402 (2022), 108363, 64 pp.
  3. V. Antonelli, G. Casnati, O. Genc, “Even and odd instanton bundles on Fano threefolds”, Asian J. Math., 26:1 (2022), 81–118
  4. E. Ballico, J. A. Wisniewski, “On Bănică sheaves and Fano manifolds”, Compos. Math., 102:3 (1996), 313–335
  5. C. Bănică, M. Putinar, G. Schumacher, “Variation der globalen Ext in Deformationen kompakter komplexer Räume”, Math. Ann., 250:2 (1980), 135–155
  6. W. Barth, K. Hulek, “Monads and moduli of vector bundles”, Manuscripta Math., 25:4 (1978), 323–347
  7. A. Bayer, E. Macri, Y. Toda, “Bridgeland stability conditions on threefolds I: Bogomolov–Gieseker type inequalities”, J. Algebraic Geom., 23:1 (2014), 117–163
  8. T. Bridgeland, “Stability conditions on $K3$ surfaces”, Duke Math. J., 141:2 (2008), 241–291
  9. G. Comaschi, M. Jardim, C. Martinez, Dapeng Mu, “Instanton sheaves: the next frontier”, São Paulo J. Math. Sci., 2023, 1–37, Publ. online
  10. L. Costa, R. M. Miro-Roig, “Monads and instanton bundles on smooth hyperquadrics”, Math. Nachr., 282:2 (2009), 169–179
  11. L. Ein, “Generalized null correlation bundles”, Nagoya Math. J., 111 (1988), 13–24
  12. G. Ellingsrud, S. A. Stromme, “Stable rank-2 vector bundles on $mathbb{P}^3$ with $c_1=0$ and $c_2=3$”, Math. Ann., 255:1 (1981), 123–135
  13. D. Faenzi, “Even and odd instanton bundles on Fano threefolds of Picard number one”, Manuscripta Math., 144:1-2 (2014), 199–239
  14. R. Hartshorne, “Stable vector bundles of rank 2 on $mathbf{P}^3$”, Math. Ann., 238:3 (1978), 229–280
  15. R. Hartshorne, “Stable reflexive sheaves”, Math. Ann., 254:2 (1980), 121–176
  16. V. A. Iskovskikh, Yu. G. Prokhorov, “Fano varieties”, Algebraic geometry V, Encyclopaedia Math. Sci., 47, Springer, Berlin, 1999, 1–247
  17. M. Jardim, D. Markushevich, A. S. Tikhomirov, “Two infinite series of moduli spaces of rank 2 sheaves on $mathbb P^3$”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 196:4 (2017), 1573–1608
  18. A. Kuznetsov, “Instanton bundles on Fano threefolds”, Cent. Eur. J. Math., 10:4 (2012), 1198–1231
  19. A. A. Kytmanov, A. S. Tikhomirov, S. A. Tikhomirov, “Series of rational moduli components of stable rank two vector bundles on $mathbb P^3$”, Selecta Math. (N.S.), 25:2 (2019), 29, 47 pp.
  20. H. Lange, “Universal families of extensions”, J. Algebra, 83:1 (1983), 101–112
  21. E. Macrì, B. Schmidt, “Derived categories and the genus of space curves”, Algebr. Geom., 7:2 (2020), 153–191
  22. R. M. Miro-Roig, G. Trautmann, “The moduli scheme $M(0,2,4)$ over $mathbb P^3$”, Math. Z., 216:2 (1994), 283–315
  23. P. Rao, “A note on cohomology modules of rank two bundles”, J. Algebra, 86:1 (1984), 23–34
  24. B. Schmidt, “A generalized Bogomolov–Gieseker inequality for the smooth quadric threefold”, Bull. Lond. Math. Soc., 46:5 (2014), 915–923
  25. B. Schmidt, “Rank two sheaves with maximal third Chern character in three-dimensional projective space”, Mat. Contemp., 47 (2020), 228–270
  26. B. Schmidt, “Bridgeland stability on threefolds: some wall crossings”, J. Algebraic Geom., 29:2 (2020), 247–283
  27. B. Schmidt, “Sheaves of low rank in three-dimensional projective space”, Eur. J. Math., 9:4 (2023), 103, 71 pp.
  28. И. Р. Шафаревич, “Основные понятия”, Основы алгебраической геометрии, Ч. 1, 3-е изд., доп., МЦНМО, М., 2007, 13–306
  29. В. К. Ведерников, “Модули стабильных векторных расслоений ранга $2$ на $P_3$ с фиксированным спектром”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:5 (1984), 986–998
  30. V. K. Vedernikov, “The moduli of super-null-correlation bundles on $mathbf P_3$”, Math. Ann., 276:3 (1987), 365–383

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2024 Васильев Д.A., Тихомиров А.S.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».