Symplectic reduction and lagrangian submanifolds of $\mathrm{Gr}(1, n)$

Abstract

В работе построены новые примеры лагранжевых подмногообразий комплексного грассманиана $\operatorname{Gr}(1, n)$, снабженного стандартной кэлеровой формой. Схема построения исходит из двух фактов: во-первых, мы предлагаем естественное соответствие между лагранжевыми подмногообразиями в симплектическом многообразии, являющимся результатом симплектической редукции, и лагранжевыми подмногообразиями большого симплектического многообразия с гамильтоновым действием группы, к которому применяется эта редукция; во-вторых, мы показываем, что при некотором подборе порождающих действия $\mathrm T^k$ при $k=2, …, n-1$ на $\operatorname{Gr}(1, n)$ и подходящих значениях отображений моментов имеется изоморфизм $\operatorname{Gr}(1, n)//\mathrm T^k \cong \operatorname{tot}(\mathbb{P}(\tau) \times …\times\mathbb{P}(\tau) \to \operatorname{Gr}(1, n-k))$, где справа стоит тотальное пространство прямого произведения $k$ копий проективизации тавтологического расслоения $\tau \to \operatorname{Gr}(1, n-k)$. Комбинируя эти два факта мы получаем нижнюю оценку на число топологически различных гладких лагранжевых подмногообразий в исходном грассманиане $\operatorname{Gr}(1, n)$.Библиография: 5 названий.