Around Strassen's theorems

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Two famous theorems of Strassen, on disintegration and the existence of a probability measure with given marginals, are extended to the case of operators in Kantorovich spaces. Relations of Strassen's theorems to the Monge–Kantorovich problem and Choquet's theory are also indicated. A brief survey of the necessary machinery, namely, the Hahn–Banach–Kantorovich theorem, the intrinsic characterization of subdifferentials, the Radon–Nikodym theorem for positive operators, measurable Banach bundles with lifting, Maharam extension and the tensor product of vector lattices, is given. Bibliography: 68 titles.

About the authors

Anatolii Georgievich Kusraev

North Caucasus Center for Mathematical Research, Vladikavkaz Scientific Centre of the Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia

Email: agkusraev@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Semen Samsonovich Kutateladze

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, Russia

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. V. Strassen, “The existence of probability measures with given marginals”, Ann. Math. Statist., 36:2 (1965), 423–439
  2. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров, Теория экстремальных задач, Наука, М., 1974, 479 с.
  3. C. Castaing, M. Valadier, Convex analysis and measurable multifunctions, Lecture Notes in Math., 580, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1977, vii+278 pp.
  4. В. Л. Левин, Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике, Наука, М., 1985, 352 с.
  5. И. Экланд, Р. Темам, Выпуклый анализ и вариационные проблемы, Мир, М., 1979, 399 с.
  6. A. Hirshberg, R. M. Shortt, “A version of Strassen's theorem for vector-valued measures”, Proc. Amer. Math. Soc., 126:6 (1998), 1669–1671
  7. E. D'Aniello, “On the existence of vector measures with given marginals”, Real Anal. Exchange, 25:1 (1999/2000), 437–448
  8. J. Kawabe, “A type of Strassen's theorem for positive vector measures with values in dual spaces”, Proc. Amer. Math. Soc., 128:11 (2000), 3291–3300
  9. S. S. Khurana, “Positive vector measures with given marginals”, Czechoslovak Math. J., 56(131):2 (2006), 613–619
  10. Г. П. Акилов, С. С. Кутателадзе, Упорядоченные векторные пространства, Наука, Новосибирск, 1978, 368 с.
  11. А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе, Субдифференциальное исчисление. Теория и приложения, Наука, M., 2007, 560 с.
  12. А. Г. Кусраев, Мажорируемые операторы, Наука, М., 2003, 620 с.
  13. C. D. Aliprantis, O. Burkinshaw, Positive operators, Springer, Dordrecht, 2006, xx+376 pp.
  14. Б. З. Вулих, Введение в теорию полуупорядоченных пространств, Физматгиз, М., 1961, 407 с.
  15. H. Hochstadt, “Eduard Helly, father of the Hahn–Banach theorem”, Math. Intelligencer, 2:3 (1980), 123–125
  16. Л. В. Канторович, “О полуупорядоченных линейных пространствах и их применениях в теории линейных операций”, Докл. АН СССР, 4:1-2 (1935), 11–14
  17. W. Bonnice, R. Silvermann, “The Hahn–Banach extension and the least upper bound properties are equivalent”, Proc. Amer. Math. Soc., 18:5 (1967), 843–849
  18. Ting-On To, “The equivalence of the least upper bound property and the Hahn–Banach extension property in ordered linear spaces”, Proc. Amer. Math. Soc., 30:2 (1971), 287–295
  19. A. D. Ioffe, “A new proof of the equivalence of the Hahn–Banach extension and the least upper bound properties”, Proc. Amer. Math. Soc., 82:3 (1981), 385–389
  20. G. Buskes, The Hahn–Banach theorem surveyed, Dissertationes Math., 327, Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 1993, 49 pp.
  21. L. Narici, E. Beckenstein, “The Hahn–Banach theorem: the life and times”, Topology Appl., 77:2 (1997), 193–211
  22. M. A. Sofi, “Some problems in functional analysis inspired by Hahn–Banach type theorems”, Ann. Funct. Anal., 5:2 (2014), 1–29
  23. В. Л. Левин, “Субдифференциалы выпуклых отображений и сложных функций”, Сиб. матем. журн., 13:6 (1972), 1295–1303
  24. С. С. Кутателадзе, “Опорные множества сублинейных операторов”, Докл. АН СССР, 230:5 (1976), 1029–1032
  25. С. С. Кутателадзе, “Выпуклые операторы”, УМН, 34:1(205) (1979), 167–196
  26. А. М. Рубинов, “Сублинейные операторы и их приложения”, УМН, 32:4(196) (1977), 113–174
  27. В. М. Тихомиров, “Выпуклый анализ”, Анализ – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 14, ВИНИТИ, М., 1987, 5–101
  28. В. М. Тихомиров, “Теория приближений”, Анализ – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 14, ВИНИТИ, М., 1987, 103–260
  29. J. M. Borwein, A. S. Lewis, Convex analysis and nonlinear optimization. Theory and examples, CMS Books Math./Ouvrages Math. SMC, 3, 2nd ed., Springer, New York, 2006, xii+310 pp.
  30. J. Brinkhuis, V. Tikhomirov, Optimization: insights and applications, Princeton Ser. Appl. Math., 13, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2005, xxiv+658 pp.
  31. J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemarechal, Fundamentals of convex analysis, Grundlehren Text Ed., Springer-Verlag, Berlin, 2001, x+259 pp.
  32. Г. Г. Магарил-Ильяев, В. М. Тихомиров, Выпуклый анализ. Теория и приложения, Изд-во МГУ, М., 2024, 223 с.
  33. Е. С. Половинкин, М. В. Балашов, Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, 2-е изд., Физматлит, М., 2007, 438 с.
  34. Р. Рокафеллар, Выпуклый анализ, Мир, М., 1973, 472 с.
  35. А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе, “Анализ субдифференциалов с помощью булевозначных моделей”, Докл. АН СССР, 265:5 (1982), 1061–1064
  36. А. Г. Кусраев, Векторная двойственность и ее приложения, Наука, Новосибирск, 1985, 256 с.
  37. W. A. J. Luxemburg, A. R. Schep, “A Radon–Nikodym type theorem for positive operators and a dual”, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math., 40:3 (1978), 357–375
  38. А. Г. Кусраев, “Общие формулы дезинтегрирования”, Докл. АН СССР, 265:6 (1982), 1312–1316
  39. D. Maharam, “On positive operators”, Conference in modern analysis and probability (New Haven, CT, 1982), Contemp. Math., 26, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984, 263–277
  40. A. G. Kusraev, S. S. Kutateladze, Boolean valued analysis: selected topics, Trends in Science: The South of Russia. Math. Monogr., 6, SMI VSC RAS, Vladikavkaz, 2014, iv+406 pp.
  41. А. Г. Кусраев, “Абстрактное дезинтегрирование в пространствах Канторовича”, Сиб. матем. журн., 25:5 (1984), 79–89
  42. P. Meyer-Nieberg, “Strassen disintegration theorems”, Arch. Math. (Basel), 65:4 (1995), 310–315
  43. А. Е. Гутман, “Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств”, Линейные операторы, согласованные с порядком, Тр. Ин-та математики СО РАН, 29, Изд-во ИМ СО РАН, Новосибирск, 1995, 63–211
  44. А. Г. Кусраев, “О теореме типа Штрассена в пространстве измеримых селекторов”, Владикавк. матем. журн., 8:4 (2006), 32–37
  45. H. König, “Sublineare Funktionale”, Arch. Math. (Basel), 23:10 (1972), 500–508
  46. M. Neumann, “On the Strassen disintegration theorem”, Arch. Math. (Basel), 29:4 (1977), 413–420
  47. D. H. Fremlin, “Tensor products of Archimedean vector lattices”, Amer. J. Math., 94:3 (1972), 777–798
  48. A. R. Schep, “Factorization of positive multilinear maps”, Illinois J. Math., 28:4 (1984), 579–591
  49. В. И. Богачев, А. В. Колесников, С. В. Шапошников, Задачи Монжа и Канторовича оптимальной транспортировки, “ИКИ”, Ижевск, 2023, 664 с.
  50. S. T. Rachev, L. Rüschendorf, Mass transportation problems, v. I, Probab. Appl. (N.Y.), Theory, Springer-Verlag, New York, 1998, xxvi+508 pp.
  51. C. Villani, Topics in optimal transportation, Grad. Stud. Math., 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, xvi+370 pp.
  52. C. Villani, Optimal transport. Old and new, Grundlehren Math. Wiss., 338, Springer, New York, 2009, xxii+973 pp.
  53. В. И. Богачев, А. В. Колесников, “Задача Монжа–Канторовича: достижения, связи и перспективы”, УМН, 67:5(407) (2012), 3–110
  54. В. Л. Левин, А. А. Милютин, “Задача о перемещении масс с разрывной функцией стоимости и массовая постановка проблемы двойственности выпуклых экстремальных задач”, УМН, 34:3(207) (1979), 3–68
  55. K. J. Ciosmak, “Applications of Strassen's theorem and Choquet theory to optimal transport problems, to uniformly convex functions and to uniformly smooth functions”, Nonlinear Anal., 232 (2023), 113267, 32 pp.
  56. B. Pass, “Multi-marginal optimal transport: theory and applications”, ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 49:6 (2015), 1771–1790
  57. Л. В. Канторович, “О перемещении масс”, Докл. АН СССР, 37:7-8 (1942), 227–229
  58. G. Monge, “Memoire sur la theorie des deblais et ramblais”, Mem. Math. Phys. Acad. Roy. Sci. Paris, 6 (1781), 666–704
  59. Л. В. Канторович, “Об одной проблеме Монжа”, В ст.: “Заседания Московского математического общества (резюме докладов)”, УМН, 3:2(24) (1948), 225–226
  60. Г. П. Акилов, Е. В. Колесников, А. Г. Кусраев, “О порядково-непрерывном расширении положительного оператора”, Сиб. матем. журн., 29:5 (1988), 24–35
  61. W. A. J. Luxemburg, B. de Pagter, “Maharam extensions of positive operators and $f$-modules”, Positivity, 6:2 (2002), 147–190
  62. G. J. H. M. Buskes, A. C. M. van Rooij, “Hahn–Banach for Riesz homomorphisms”, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math., 92:1 (1989), 25–34
  63. A. G. Kusraev, “On extreme extension of positive operators”, Владикавк. матем. журн., 26:2 (2024), 47–53
  64. С. С. Кутателадзе, “Границы Шоке в $K$-пространствах”, УМН, 30:4(184) (1975), 107–146
  65. G. F. Vincent-Smith, “A Choquet boundary theory for measures taking values in a Stone algebra”, J. London Math. Soc., 44 (1969), 553–558
  66. W. Roth, Integral representation. Choquet theory for linear operators on function spaces, De Gruyter Exp. Math., 74, De Gruyter, Berlin, 2023, xi+251 pp.
  67. W. Arveson, “The noncommutative Choquet boundary”, J. Amer. Math. Soc., 21:4 (2008), 1065–1084
  68. K. R. Davidson, M. Kennedy, Noncommutative Choquet theory, 2022

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Kusraev A.G., Kutateladze S.S.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».