Lüroth's theorem for fields of rational functions in infinitely many permuted variables

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Lüroth's theorem describes the dominant maps from rational curves over a field. We study those dominant rational maps from cartesian powers $X^{\Psi}$ of geometrically irreducible varieties $X$ over a field $k$ for infinite sets $\Psi$ that are equivariant with respect to all permutations of the factors $X$. At least some of such maps arise as compositions $h\colon X^{\Psi}\xrightarrow{f^{\Psi}}Y^{\Psi}\to H\setminus Y^{\Psi}$, where $X\xrightarrow{f}Y$ is a dominant $k$-map and $H$ is a group of birational automorphisms of $Y|k$, acting diagonally on $Y^{\Psi}$.In characteristic 0 we show that this construction, when properly modified, produces all dominant equivariant maps from $X^{\Psi}$ in the case $\dim X=1$. For arbitrary $X$ some partial results are obtained.Also, a similar problem of the description of equivariant integral schemes over $X^{\Psi}$ of finite type is touched very briefly.

About the authors

Marat Zefirovich Rovinskii

Laboratory of Algebraic Geometry and Its Applications, National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russia

Author for correspondence.
Email: marat@mccme.ru
Doctor of physico-mathematical sciences

References

  1. M. Demazure, “Sous-groupes algebriques de rang maximum du groupe de Cremona”, Ann. Sci. Ec. Norm. Super. (4), 3:4 (1970), 507–588
  2. D. M. Evans, P. R. Hewitt, “Continuous cohomology of permutation groups on profinite modules”, Comm. Algebra, 34:4 (2006), 1251–1264
  3. A. Grothendieck, J. Dieudonne, “Elements de geometrie algebrique. III. Etude cohomologique des faisceaux coherents. I”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 11 (1961), 5–167
  4. M. Hanamura, “On the birational automorphism groups of algebraic varieties”, Compos. Math., 63:1 (1987), 123–142
  5. S. MacLane, “The universality of formal power series fields”, Bull. Amer. Math. Soc., 45:12 (1939), 888–890
  6. S. Montgomery, “Hopf Galois theory: a survey”, New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008), Geom. Topol. Monogr., 16, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, 367–400
  7. R. Nagpal, A. Snowden, Symmetric subvarieties of infinite affine space
  8. M. Rovinsky, “Motives and admissible representations of automorphism groups of fields”, Math. Z., 249:1 (2005), 163–221
  9. M. Rovinsky, “Semilinear representations of symmetric groups and of automorphism groups of universal domains”, Selecta Math. (N.S.), 24:3 (2018), 2319–2349
  10. J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Grad. Texts in Math., 106, 2nd ed., Springer, Dordrecht, 2009, xx+513 pp.
  11. J. Tate, “Algebraic formulas in arbitrary characteristic”: S. Lang, Elliptic functions, Appendix 1, Grad. Texts in Math., 112, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 1987, 299–306

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2025 Rovinskii M.Z.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».