Solution of some half-strip problems in quadratures for the string vibration equation

Full Text

1. Постановка задач

В полуполосе $D:=\left\{\right(x,t)\in {ℝ}^2:$ $0<x<l$, $t>0\}$ рассмотрим задачу определения решения  уравнения колебаний струны

$\square u=f(x,t),(x,t)\in D,$ (1)

удовлетворяющего начальным по переменной $t$ условиям

$u\left(x\mathrm{,0}\right)=\phi \left(x\right),u_t\left(x\mathrm{,0}\right)=\psi \left(x\right),0\le x\le l,$ (2)

 и одному из следующих граничных условий по переменной $x$:

периодическим условиям

$u\left(\mathrm{0,}t\right)=u(l,t),u_x\left(\mathrm{0,}t\right)=u_x(l,t),t\ge 0;$ (3)

условиям Дирихле

$u\left(\mathrm{0,}t\right)={\mu }_1\left(t\right),u(l,t)={\mu }_2\left(t\right),t\ge 0.$ (4)

Здесь $f$, $\phi$, $\psi$ и ${\mu }_1$, $i=1,2$, — заданные, а $u$ — искомая действительные функции, $\square :={\partial }^2\partial t^2-{\partial }^2\partial x^2$ — волновой оператор.

Всюду ниже при рассмотрении в классической постановке этих задач в классе $C^2\overline{D}$ будем предполагать выполненными следующие условия гладкости, наложенные на данные рассматриваемых задач, а также необходимые условия согласования до второго порядка включительно в угловых точках $\left(0,0\right)$ и $\left(l,0\right)$:

$f\in C^1\left(\overline{D}\right),\phi \in C^2\left(\right[\mathrm{0,}l\left]\right),\psi \in C^1\left(\right[\mathrm{0,}l\left]\right),$

$f\left(\mathrm{0,0}\right)+{{\phi }^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(0\right)=f\left(l\mathrm{,0}\right)+{{\phi }^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(l\right),$

$\phi \left(0\right)=\phi \left(l\right),{\phi }^{\text{'}}\left(0\right)={\phi }^{\text{'}}\left(l\right),\psi \left(0\right)=\psi \left(l\right),{\psi }^{\text{'}}\left(0\right)={\psi }^{\text{'}}\left(l\right)$ (5)

для задачи (1)–(3) и

$f\in C^1\left(\overline{D}\right),\phi \in C^2\left(\right[\mathrm{0,}l\left]\right),\psi \in C^1\left(\right[\mathrm{0,}l\left]\right),{\mu }_i\in C^2\left(\right[\mathrm{0,}\infty \left)\right),i=\mathrm{1,2,}$

$f\left(\mathrm{0,0}\right)+{{\phi }^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(0\right)={\mu }_{{1^{\text{'}}}^{\text{'}}}\left(0\right),f\left(l\mathrm{,0}\right)+{{\phi }^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(l\right)={\mu }_{{2^{\text{'}}}^{\text{'}}}\left(l\right),$

${\mu }_1\left(0\right)=\phi \left(0\right),{\mu }_{1^{\text{'}}}\left(0\right)=\psi \left(0\right),{\mu }_2\left(l\right)=\phi \left(l\right),{\mu }_{2^{\text{'}}}\left(0\right)=\psi \left(l\right)$ (6)

для задачи (1), (2), (4).

Периодические и смешанные задачи для гиперболических уравнений и систем были предметом исследований многих авторов. Для них рассматривались вопросы существования, отсутствия единственности и представления в явном виде решений (см., например, работы [1–24] и приведённую в них литературу).

В данной статье, используя тождество характеристического прямоугольника, инварианты Римана, методы характеристик и априорных оценок, для неоднородного линейного уравнения колебаний струны рассмотрены периодическая по пространственной переменной и смешанная задачи в полуполосе, решения которых выписаны в квадратурах в виде конечных сумм слагаемых, зависящих от граничных и начальных значений этих решений и правой части рассматриваемого уравнения. Авторы надеются, что полученные представления решений найдут приложения при исследовании других начально-краевых задач как для линейных, так и для нелинейных гиперболических уравнений и систем.

2. Априорная оценка решения задачи (1)–(3)

Рассмотрим прямоугольную область $D_T:=\left\{\right(x,t)\in {ℝ}^2:0<x<l,0<t<T\}$. Имеет место следующая

Лемма. Для решения $u\in C^2\left(\overline{D}\right)$ задачи (1)–(3) в области $D_T$ при любом фиксированном $T>0$ справедлива априорная оценка

$\parallel u{\parallel }_{C\left({\overline{D}}_T\right)}\le c_1\parallel f{\parallel }_{C\left({\overline{D}}_T\right)}+c_2\parallel \phi {\parallel }_{C^1\left(\right[\mathrm{0,}l\left]\right)}+c_3\parallel \psi {\parallel }_{C\left(\right[\mathrm{0,}l\left]\right)}$ (7)

с положительными постоянными $c_i=c_i(l,T)$, $i=1,2$, не зависящими от функций $u$, $f$, $\phi$ и $\psi$.

Доказательство. Умножив обе части уравнения (1) на $2u_t$ и проинтегрировав его затем по области $D_{\tau }$, $0<\tau \le T$, получим равенство

$\underset{D_{\tau }}{\int }{\left(u_t^2\right)}_{t}dxdt-2\underset{D_{\tau }}{\int }{u}_{xx}{u}_{t}dxdt=2\underset{D_{\tau }}{\int }f{u}_{t}dxdt.$ (8)

Положим ${\omega }_{\tau }:=\left\{\right(x,t):0\le x\le l$, $t=\tau$, $0\le \tau \le T\}$; $\Gamma :={\Gamma }_1\cup {\omega }_0\cup {\Gamma }_2$, где ${\Gamma }_1:=\left\{\right(x,t)\in {ℝ}^2:x=0$, $0\le t\le T\}$; ${\Gamma }_2:=\left\{\right(x,t)\in {ℝ}^2:x=l$, $0\le t\le T\}$. Пусть $\nu :=({\nu }_x,{\nu }_t)$ — единичный вектор внешней нормали к границе $\partial D_{\tau }$. Легко видеть, что

${\nu }_x{|}_{{\omega }_{\tau }}=\mathrm{0,}0\le \tau \le T,{\nu }_t{|}_{{\omega }_{\tau }}=\mathrm{1,}0<\tau \le T,$

${\nu }_x{|}_{{\Gamma }_1}=-\mathrm{1,}{\nu }_x{|}_{{\Gamma }_2}=\mathrm{1,}{\nu }_t{|}_{{\Gamma }_1\cup {\Gamma }_2}=\mathrm{0,}{\nu }_t{|}_{{\omega }_0}=-1.$ (9)

Применяя интегрирование по частям, с учётом (2), (3) и (9) будем иметь

$\underset{D_{\tau }}{\int }{\left(u_t^2\right)}_{t}dxdt=\underset{\partial D_{\tau }}{\int }{u}_t^2{\nu }_{t}ds=\underset{{\omega }_{\tau }}{\int }{u}_t^{2}dx-\underset{{\omega }_0}{\int }{\psi }^{2}dx,$

$-2\underset{D_{\tau }}{\int }{u}_{xx}{u}_{t}dxdt=2\underset{D_{\tau }}{\int }[u_x{u}_{tx}-{\left(u_x{u}_t\right)}_x]dxdt=\underset{D_{\tau }}{\int }{\left(u_x^2\right)}_{t}dxdt-2\underset{\partial D_{\tau }}{\int }{u}_x{u}_t{\nu }_{x}ds=$

$=\underset{\partial D_{\tau }}{\int }{u}_x^2{\nu }_{t}ds+2\underset{{\Gamma }_{\mathrm{1,}\tau }}{\int }{u}_x{u}_{t}dt-2\underset{{\Gamma }_{\mathrm{2,}\tau }}{\int }{u}_x{u}_{t}dt=\underset{{\omega }_{\tau }}{\int }{u}_x^{2}dx-\underset{{\omega }_0}{\int }{{\phi }^{\text{'}}}^{2}dx,$ (10)

где ${\Gamma }_{i,\tau }:={\Gamma }_i\cap \{t\le \tau \}$, $i=1,2$.

Равенство (8) в силу (10) перепишем в виде

$w\left(\tau \right):=\underset{{\omega }_{\tau }}{\int }(u_x^2+u_t^2)dx=\underset{{\omega }_0}{\int }({{\phi }^{\text{'}}}^2+{\psi }^2)dx+2\underset{D_{\tau }}{\int }f{u}_{t}dxdt.$ (11)

Принимая во внимание очевидные неравенства

$2\left|\underset{D_{\tau }}{\int }f{u}_{t}dxdt\right|\le \underset{D_{\tau }}{\int }{f}^{2}dxdt+\underset{D_{\tau }}{\int }{u}_t^{2}dxdt\le lT\parallel f{\parallel }_{C\left({\overline{D}}_T\right)}^2+\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\left(\underset{{\omega }_t}{\int }{u}_t^{2}dx\right)dt\le lT\parallel f{\parallel }_{C\left({\overline{D}}_T\right)}^2+\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}w\left(t\right)dt,$

$\underset{{\omega }_0}{\int }({{\phi }^{\text{'}}}^2+{\psi }^2)dx\le l(\parallel {\phi }^{\text{'}}{\parallel }_{C\left({\omega }_0\right)}^2+\parallel \psi {\parallel }_{C\left({\omega }_0\right)}^2)\le l(\parallel \phi {\parallel }_{C^1\left({\omega }_0\right)}^2+\parallel \psi {\parallel }_{C\left({\omega }_0\right)}^2),$

из (11) получаем соотношение

$w\left(\tau \right)\le \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}w\left(t\right)dt+\alpha ,$ (12)

 где

$6pt\alpha :=l(T\parallel f{\parallel }_{C\left({\overline{D}}_T\right)}^2+\parallel \phi {\parallel }_{C^1\left({\omega }_0\right)}^2+\parallel \psi {\parallel }_{C\left({\omega }_0\right)}^2).$ (13)

Применив лемму Гронуолла к неравенству (12), будем иметь

$w\left(\tau \right)\le \alpha e^T,0<\tau \le T.$ (14)

Далее, поскольку в силу (2)

$0ptu(x,\tau )=\phi \left(x\right)+\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}{u}_t(x,t)dt,$

можем записать

$\left|u\right(x,\tau ){|}^2\le 2{\phi }^2(x)+2{\left(\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}{u}_t\right(x,t\left)dt\right)}^{\text{}2}\le 2{\phi }^2(x)+2\tau \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}{u}_t^2(x,t)dt.$

Отсюда, интегрируя по переменной  и учитывая (11), получаем неравенства

$\underset{{\omega }_{\tau }}{\int }{u}^{2}dx\le 2l\parallel \phi {\parallel }_{C\left({\omega }_0\right)}^2+2T\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\left(\underset{{\omega }_t}{\int }{u}_t^{2}dx\right)dt\le 2l\parallel \phi {\parallel }_{C\left({\omega }_0\right)}^2+2T\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}w\left(t\right)dt.$ (15)

При $(x,t)\in {\overline{D}}_T$, проинтегрировав очевидное соотношение

$\left|u\right(x,t){|}^2=|u(\xi ,t)+\underset{\xi }{\overset{x}{\int }}{u}_x(x_1,t)d{x}_1{|}^2\le 2\left|u\right(\xi ,t){|}^2+2l\underset{0}{\overset{l}{\int }}{u}_x^2(x,t)dx$

по переменной $\xi \in \left[\mathrm{0,}l\right]$ (аналогично тому как было получено неравенство (15)), будем иметь

$-10000\left|u\right(x,t){|}^2\le \frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}|u(\xi ,t){|}^{2}d\xi +2lw\left(t\right)=\frac{2}{l}\underset{{\omega }_t}{\int }{u}^{2}dx+2lw\left(t\right).$ (16)

Из (14)–(16) следует, что

$\left|u\right(x,t){|}^2\le 4\parallel \phi {\parallel }_{C\left({\omega }_0\right)}^2+\frac{4T}{l}\underset{0}{\overset{t}{\int }}w(\sigma )d\sigma +2lw(t)\le 4\parallel \phi {\parallel }_{C\left({\omega }_0\right)}^2+2\alpha (\frac{2T^2}{l}+l)e^T,(x,t)\in {\overline{D}}_T,$

откуда с учётом очевидного неравенства

$0pt{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)}^{\text{}\frac{1}{2}}\le \sum _{i=1}^n\left|a_i\right|$

и (13) получим оценку (7), где

$c_1=c_0\sqrt{T},c_2=2+c_0,c_3=c_0,c_0^2=2(2T^2+l^2)e^T.$

Лемма доказана.

В частности, из этой леммы следует единственность решения задачи (1)–(3). Действительно, если $u_1,u_2\in C^2\left(\overline{D}\right)$ — два различных решения этой задачи, то для произвольного фиксированного $T>0$ функция $u:=(u_2-u_1){|}_{D_T}\in C^2\left({\overline{D}}_T\right)$ будет решением соответствующей однородной задачи с тождественно равными нулю функциями $f$, $\phi$ и $\psi$, для которого справедлива априорная оценка (7). Отсюда следует, что $u_1=u_2$ в области $D_{\tau }$, и поскольку $T$ — произвольное положительное число, то $u_1=u_2$ во всей области $D$.

3. Решение задачи (1)–(3) в квадратурах в полуполосе  в виде конечной суммы

Пусть $u\in C^2\left(\overline{D}\right)$ — классическое решение задачи (1)–(3). Рассмотрим новые неизвестные функции

$v_1:=u_t-u_x,v_2:=u_t+u_x,$ (17)

являющиеся инвариантами Римана уравнения (1). Легко видеть, что в силу (2) и (17) имеет место формула

$u(x,t)=\phi \left(x\right)+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(v_1+v_2)(x,\tau )d\tau ,(x,t)\in \overline{D}.$ (18)

С учётом (1)–(3) и (17) очевидно, что функции $v_1$ и $v_2$ являются решениями следующих задач: 

$(\frac{\partial }{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x})v_1=f(x,t),(x,t)\in D,$ (19)

$v_1\left(x\mathrm{,0}\right)={\phi }_1\left(x\right):=\psi \left(x\right)-{\phi }^{\text{'}}\left(x\right),0\le x\le l,$ (20)

$v_1\left(\mathrm{0,}t\right)=v_1(l,t),t\ge \mathrm{0,}$ (21)

и

$(\frac{\partial }{\partial t}-\frac{\partial }{\partial x})v_2=f(x,t),(x,t)\in D,$ (22)

$v_2\left(x\mathrm{,0}\right)={\phi }_2\left(x\right):=\psi \left(x\right)+{\phi }^{\text{'}}\left(x\right),0\le x\le l,$ (23)

$v_2\left(\mathrm{0,}t\right)=v_2(l,t),t\ge 0.$ (24)

В силу (18) для нахождения решения задачи (1)–(3) достаточно решить задачи (19)–(21) и (22)–(24).

Обозначим через $G_1$ треугольник, ограниченный прямыми $t=0$, $t=x$ и $x=l$, а через $G_n$ — параллелограмм, ограниченный прямыми $x=0$, $x=l$, $t=x+(n-2)l$ и $t=x+(n-1)l$, $n\ge 2$.

Проинтегрировав уравнение (19) вдоль характеристики $t-x=const$ с учётом начального условия (20) в замкнутой области ${\overline{G}}_1$, получим для функции $v_1$ представление

$v_{1}x\mathrm{,}t{\phi }_{1}x-t+\underset{x-t}{\overset{x}{\int }}f\xi \mathrm{,}\xi +t-xd\xi \mathrm{,}x\mathrm{,}t\in {\overline{G}}_1\mathrm{.}$ (25)

Аналогично в случае $(x,t)\in {\overline{G}}_2$, интегрируя уравнение (19) вдоль характеристического отрезка с концами в точках $(\mathrm{0,}t-x)$ и $\left(x\mathrm{,}t\right)$, будем иметь

$v_1(x,t)=v_1(\mathrm{0,}t-x)+\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x)d\xi ,(x,t)\in {\overline{G}}_2.$ (26)

Поскольку в силу (21) $v_1(\mathrm{0,}t-x)=v_1(l,t-x)$ и точка $(l,t-x)\in {\overline{G}}_1$, то согласно (25) запишем

$v_1(l,t-x)={\phi }_1(l+x-t)+\underset{l+x-t}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-l)d\xi ,$

откуда, учитывая (26), получаем для функции $v_1$ в замкнутой области ${\overline{G}}_2$ представление

$v_1(x,t)={\phi }_1(l+x-t)+\underset{l+x-t}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-l)d\xi +\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x)d\xi ,(x,t)\in {\overline{G}}_2.$ (27)

Аналогичные рассуждения для точки $(x,t)\in {\overline{G}}_3$ приводят к следующей формуле для функции $v_1$:

$v_1(x,t)={\phi }_1(2l+x-t)+\underset{2l+x-t}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-2l)d\xi +\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-l)d\xi +\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x)d\xi .$

С помощью этих процедур индукцией по $n>3$ для функции $v_1$ можно показать, что имеет место представление

 

$v_1(x,t)={\phi }_1\left(\right(n-1)l+x-t)+\underset{(n-1)l+x-t}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-(n-1\left)l\right)d\xi +$

 

$+\sum _{k=1}^{n-2}\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-kl)d\xi +\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x)d\xi ,(x,t)\in {\overline{G}}_n,n\ge 3.$ (28)

 Действительно, предположим, что равенство (28) справедливо для $n=m$, $m\ge 3$, и покажем его справедливость для $n=m+1$. Если точка $\left(x,t\right)$ принадлежит области $G_{m+1}$, то аналогично (26) с учётом (21) и нашего предположения (28) при $n=m$, $m\ge 3$, будем иметь

$v_1(x,t)=v_1(\mathrm{0,}t-x)+\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x)d\xi =v_1(l,t-x)+\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x)d\xi =$

$={\phi }_1(ml+x-t)+\underset{ml+x-t}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-ml)d\xi +\sum _{k=1}^{m-2}\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-(k+1\left)l\right)d\xi +$

$+\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-l)d\xi +\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x)d\xi =$

$={\phi }_1(ml+x-t)+\underset{ml+x-t}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-ml)d\xi +\sum _{k=2}^{m-1}\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-kl)d\xi +$

$+\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-l)d\xi +\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x)d\xi =$

$={\phi }_1(ml+x-t)+\underset{ml+x-t}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-ml)d\xi +\sum _{k=1}^{m-1}\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x-kl)d\xi +\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\xi +t-x)d\xi .$

Теперь рассмотрим задачу (22)–(24). Обозначим через $E_1$ треугольник, ограниченный прямыми $t=0$, $t=-x+l$ и $x=0$, а через $E_n$ — параллелограмм, ограниченный прямыми $x=0$, $x=l$, $t=-x+(n-1)l$ и $t=-x+nl$, $n\ge 2$.

Проинтегрировав уравнение (22) вдоль характеристики $t+x=const$ с учётом начального условия (23) в замкнутой области ${\overline{E}}_1$, получим для функции $v_2$ представление

$v_2(x,t)={\phi }_2(x+t)+\underset{x}{\overset{x+t}{\int }}f(\xi ,-\xi +x+t)d\xi ,(x,t)\in {\overline{E}}_1.$ (29)

Аналогично для случая $(x,t)\in {\overline{E}}_2$, интегрируя уравнение (23) вдоль характеристического отрезка с концами в точках $(x,t)$ и $(l,x+t-l)$, найдём

$v_2(x,t)=v_2(l,x+t-l)+\underset{x}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,-\xi +x+t)d\xi ,(x,t)\in {\overline{E}}_2.$ (30)

Поскольку $v_2(l,x+t-l)=v_2(\mathrm{0,}x+t-l)$ в силу (24) и точка $(\mathrm{0,}x+t-l)\in {\overline{E}}_1$, то согласно (29) будем иметь равенство

$v_2(\mathrm{0,}x+t-l)={\phi }_2(x+t-l)+\underset{0}{\overset{x+t-l}{\int }}f(\xi ,-\xi +x+t-l)d\xi ,$

откуда и из (30) следует, что для функции $v_2$ в замкнутой области ${\overline{E}}_2$ справедливо представление

$v_2(x,t)={\phi }_2(x+t-l)+\underset{0}{\overset{x+t-l}{\int }}f(\xi ,-\xi +x+t-l)d\xi +\underset{x}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,-\xi +x+t)d\xi ,(x,t)\in {\overline{E}}_2.$ (31)

Аналогичные рассуждения для точки $(x,t)\in {\overline{E}}_3$ приводят к следующей формуле для функции $v_2$:

$v_2(x,t)={\phi }_2(x+t-2l)+\underset{0}{\overset{x+t-2l}{\int }}f(\xi ,-\xi +x+t-2l)d\xi +\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,-\xi +x+t-l)d\xi +\underset{x}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,-\xi +x+t)d\xi .$

 Выполнив эти же процедуры, индукцией по $n>3$ (как и в случае нахождения формулы (28)) получим для функции $v_2$ следующее представление:

$v_2(x,t)={\phi }_2(x+t-(n-1\left)l\right)+\underset{0}{\overset{x+t-(n-1)l}{\int }}f(\xi ,-\xi +x+t-(n-1\left)l\right)d\xi +$

$+\sum _{k=1}^{n-2}\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,-\xi +x+t-kl)d\xi +\underset{x}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,-\xi +x+t)d\xi ,(x,t)\in {\overline{E}}_n,n\ge 3.$ (32)

Замечание 2. Для нахождения значения функций $v_1$ или $v_2$ в произвольной точке $(x,t)\in \overline{D}$ сначала следует определить какой области ($G_n$ или $E_n$) эта точка принадлежит. Легко видеть, что число $n=n(x,t)$, определяющее область $G_n$ или $E_n$, вычисляется по формуле

$n=\left[\frac{t-x}{l}\right]+2\left(\right[\frac{t+x}{l}]+1),$

где $[\cdot ]$ — целая часть действительного числа, и по найденному числу значения функций $v_1$ и $v_2$ определяются, соответственно, по формулам (25), (27), (28) и (29), (31), (32). В свою очередь решение $u$ задачи (1)–(3) определяется по формуле (18).

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 1. Пусть выполнены условия (5). Тогда задача (1)–(3) имеет единственное классическое решение класса $C^2\left(\overline{D}\right)$, которое представимо в квадратурах формулами (25), (27)–(29), (31), (32) и (18).

4. Решение задачи (1), (2), (4) в квадратурах в полуполосе $D$ в виде конечной суммы

Разобьём полуполосу $D$ на квадраты $K_m:=\left\{\right(x,y)\in {ℝ}^2:0<x<l$, $ml<t<(m+1)l\}$, $m=\mathrm{0,1,2,}\dots$, с вершинами в точках $A_m\left(\mathrm{0,}ml\right)$, $B_m\left(\mathrm{0,}\right(m+1\left)l\right)$, $C_m(l,(m+1\left)l\right)$, $F_m(l,ml)$ и на четыре прямоугольных треугольника $K_m^1:=\Delta A_m{O}_m{F}_m$, $K_m^2:=\Delta A_m{O}_m{B}_m$, $K_m^3:=\Delta F_m{O}_m{C}_m$, $K_m^4:=\Delta B_m{O}_m{C}_m$, где точка $O_m\left(l\mathrm{2,}\right(m+12\left)l\right)$ — центр квадрата $K_m$.

Пусть сначала $(x,t)\in K_0$. В треугольнике $K_0^1$ в силу условий (2) и формулы Даламбера справедливо равенство [17, стр. 59]

 

$u(x,t)=A_1(\phi ,\psi ,f)(x,t):=\frac{1}{2}\left[\phi \right(x-t)+\phi (x+t\left)\right]+$

$+\frac{1}{2}\underset{x-t}{\overset{x+t}{\int }}\psi \left(\tau \right)d\tau +\frac{1}{2}\underset{{\Omega }_{x,t}^1}{\int }f(\xi ,\tau )d\xi d\tau ,(x,t)\in K_0^1,$ (33)

где ${\Omega }_{x,t}^1$ — треугольник с вершинами в точках $\left(x,t\right)$, $\left(x-t,0\right)$ и $\left(x+t,0\right)$.

Как известно, для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции $v$ и характеристического для уравнения (1) прямоугольника $P{P}_1{P}_2{P}_3$ из области её определения имеет место тождество характеристического прямоугольника [24, стр. 173]

$v\left(P\right)=v\left(P_1\right)+v\left(P_2\right)-v\left(P_3\right)+\frac{1}{2}\underset{P{P}_1{P}_2{P}_3}{\int }\square v(\xi ,\tau )d\xi d\tau ,$ (34)

где $P$ и $P_3$, а также $P_1$ и $P_2$ соответственно — противоположные вершины этого прямоугольника, причём ордината точки $P$ больше значений ординат остальных точек.

Пусть теперь $(x,t)\in K_0^2$. Тогда, применяя равенство (34) для характеристического прямоугольника с вершинами в точках $Px\mathrm{,}t$, $P_1(\mathrm{0,}t-x)$, $P_2(t,x)$ и $P_3(t-x\mathrm{,0})$ и формулу (33) для точки $P_2(t,x)\in K_0^1$, с учётом (1) и (4) получаем

 

$u(x,t)=A_2(\phi ,\psi ,{\mu }_1,f)(x,t):={\mu }_1(t-x)+\frac{1}{2}\left[\phi \right(t+x)-\phi (t-x\left)\right]+$

$+\frac{1}{2}\underset{t-x}{\overset{t+x}{\int }}\psi \left(\tau \right)d\tau +\frac{1}{2}\underset{{\Omega }_{x,t}^2}{\int }f(\xi ,\tau )d\xi d\tau ,(x,t)\in K_0^2.$ (35)

Здесь ${\Omega }_{x\mathrm{,}t}^2$ — четырехугольник $P{\tilde{P}}_2{P}_3{P}_1$, ${\tilde{P}}_2:={\tilde{P}}_2(t+x\mathrm{,0})$.

Аналогично будем иметь

$u(x,t)=A_3(\phi ,\psi ,{\mu }_2,f)(x,t):={\mu }_2(x+t-l)+\frac{1}{2}\left[\phi \right(x-t)-\phi (2l-x-t\left)\right]+$

$+\frac{1}{2}\underset{x-t}{\overset{2l-x-t}{\int }}\psi \left(\tau \right)d\tau +\frac{1}{2}\underset{{\Omega }_{x,t}^3}{\int }f(\xi ,\tau )d\xi d\tau ,(x,t)\in K_0^3,$ (36)

и

$u(x,t)=A_4(\phi ,\psi ,{\mu }_1,{\mu }_2,f)(x,t):={\mu }_1(t-x)+{\mu }_2(x+t-l)-\frac{1}{2}\left[\phi \right(t-x)+\phi (2l-t-x\left)\right]+$

$+\frac{1}{2}\underset{t-x}{\overset{2l-t-x}{\int }}\psi \left(\tau \right)d\tau +\frac{1}{2}\underset{{\Omega }_{x,t}^4}{\int }f(\xi ,\tau )d\xi d\tau ,(x,t)\in K_0^4.$ (37)

В формулах (36) и (37) соответственно ${\Omega }_{x,t}^3$ — четырехугольник с вершинами $P^3(x,t)$, $P_1^3(l,x+t-l)$, $P_2^3(x-t\mathrm{,0})$ и $P_3^3(2l-x-t\mathrm{,0})$, а ${\Omega }_{x\mathrm{,}t}^4$ — пятиугольник с вершинами $P^4(x,t)$, $P_1^4(\mathrm{0,}t-x)$, $P_2^4(t-x\mathrm{,0})$, $P_3^4(2l-x-t\mathrm{,0})$ и $P_4^4(l,x+t-l)$.

Пусть теперь $P_0:=P_0(x,t)\in \overline{D}\backslash {\overline{K}}_0$. Легко видеть, что $P_0\in K_m$, $m\ge 1$, где

$m=m\left(t\right):=\left[tl\right],t>0.$ (38)

Обозначим через $P_0{M}_1{P}_1{N}_1$ характеристический относительно уравнения (1) прямоугольник, вершины $M_1$ и $N_1$ которого лежат соответственно на прямых $x=0$ и $x=l$, т.е. $M_1(\mathrm{0,}t-x)$, $N_1(l,t+x-l)$, $P_1(l-x,t-l)$. Поскольку $P_1\in K_{m-1}$, то аналогичным образом построим характеристический прямоугольник $P_1{M}_2{P}_2{N}_2$, вершины $M_2$ и $N_2$ которого лежат соответственно на прямых $x=0$ и $x=l$. Продолжив этот процесс, получим характеристический прямоугольник $P_{i-1}{M}_i{P}_i{N}_i$ с вершинами $M_i$ и $N_i$ соответственно на прямых $x=0$ и $x=l$, причём так как $P_0\in K_m$, то

$P_m\in K_0,$ (39)

где $P_m=(l-x,t-ml)$, если $m$ — нечётное число, и $P_m=(x,t-ml)$, когда $m$ — чётное. При этом если точка $P_0\in K_m^1\left(K_m^4\right)$, то $P_m\in K_0^1\left(K_0^4\right)$ для любого $m\ge 1$, а если точка $P_0\in K_m^2\left(K_m^3\right)$, то $P_m\in K_0^3\left(K_0^2\right)$ для нечётного числа $m$ и $P_m\in K_0^2\left(K_0^3\right)$ для чётного $m$. Координаты точек $M_i$ и $N_i$ следующие:

$M_i(\mathrm{0,}t-x-(i-1\left)l\right),N_i(l,t+x-il),i=\mathrm{1,3,5,}\dots ,$

$M_i(\mathrm{0,}t+x-il),N_i(l,t-x-(i-1\left)l\right),i=\mathrm{2,4,6,}\dots$

Легко видеть, что если $P_0\in K_1$, то, используя тождество (34), будем иметь равенства

$u\left(P_0\right)=u\left(M_1\right)+u\left(N_1\right)-u\left(P_1\right)+\frac{1}{2}\underset{P_0{M}_1{P}_1{N}_1}{\int }f(\xi ,\tau )d\xi d\tau =$

$={\mu }_1\left(M_1\right)+{\mu }_2\left(N_1\right)+\frac{1}{2}\underset{P_0{M}_1{P}_1{N}_1}{\int }f(\xi ,\tau )d\xi d\tau -u\left(P_1\right).$ (40)

Индукцией по числу $m$ доказывается справедливость следующего представления для решения $u\in C^2\left(\overline{D}\right)$ задачи (1), (2), (4) в полуполосе $D$:

$u\left(P_0\right)=\sum _{i=1}^m{(-1)}^{i-1}\left({\mu }_1\right(M_i)+{\mu }_2(N_i)+\frac{1}{2}\underset{P_{i-1}{M}_i{P}_i{N}_i}{\int }f(\xi ,\tau \left)d\xi d\tau \right)+{(-1)}^{m}u\left(P_m\right),P_0\in K_m,$ (41)

где в силу (39) для нечётного числа $m$

$u\left(P_m\right)=\left\{\begin{array}{cc}{A}_1(\phi ,\psi ,f)\left(P_m\right),& P_0\in K_m^1,\\ A_3(\phi ,\psi ,{\mu }_2,f)\left(P_m\right),& P_0\in K_m^2,\\ A_2(\phi ,\psi ,{\mu }_1,f)\left(P_m\right),& P_0\in K_m^3,\\ A_4(\phi ,\psi ,{\mu }_1,{\mu }_2,f)\left(P_m\right),& P_0\in K_m^4,\end{array}\right.$ (42)

а для чётного $m$ 

$u\left(P_m\right)=\left\{\begin{array}{cc}{A}_1(\phi ,\psi ,f)\left(P_m\right),& P_0\in K_m^1,\\ A_2(\phi ,\psi ,{\mu }_1,f)\left(P_m\right),& P_0\in K_m^2,\\ A_3(\phi ,\psi ,{\mu }_2,f)\left(P_m\right),& P_0\in K_m^3,\\ A_4(\phi ,\psi ,{\mu }_1,{\mu }_2,f)\left(P_m\right),& P_0\in K_m^4.\end{array}\right.$ (43)

Здесь операторы $A_i$, $i=\overline{\mathrm{1,4}}$, определены формулами (33), (35)–(37), а число $m$ — равенством (38).

Действительно, в силу (39) формула (40) имеет место при $m=1$. Предположим теперь, что представление (40) справедливо для $m=k$, $k\ge 2$, покажем его справедливость и для $m=k+1$. Если $P_0\in K_{k+1}$, то очевидно, что $P_1\in K_k$, тогда в силу (34) и равенства (40) будем иметь

$u\left(P_0\right)=u\left(M_1\right)+u\left(N_1\right)-u\left(P_1\right)+\frac{1}{2}\underset{P_0{M}_1{P}_1{N}_1}{\int }f(\xi ,\tau )d\xi d\tau =$

$={\mu }_1\left(M_1\right)+{\mu }_2\left(N_1\right)-\left[\sum _{i=1}^k{(-1)}^{i-1}\right({\mu }_1\left(M_{i+1}\right)+{\mu }_2\left(N_{i+1}\right)+\frac{1}{2}\underset{P_i{M}_{i+1}{P}_{i+1}{N}_{i+1}}{\int }f(\xi ,\tau )d\xi d\tau )+$

$+{(-1)}^{k}u\left(P_{k+1}\right)]+\frac{1}{2}\underset{P_0{M}_1{P}_1{N}_1}{\int }f(\xi ,\tau )d\xi d\tau =$

$={\mu }_1\left(M_1\right)+{\mu }_2\left(N_1\right)+\sum _{j=2}^{k+1}{(-1)}^{j-1}\left({\mu }_1\right(M_j)+{\mu }_2(N_j)+\frac{1}{2}\underset{P_{j-1}{M}_j{P}_j{N}_j}{\int }f(\xi ,\tau \left)d\xi d\tau \right)+$

$+{(-1)}^{k+1}u\left(P_{k+1}\right)+\frac{1}{2}\underset{P_0{M}_1{P}_1{N}_1}{\int }f(\xi ,\tau )d\xi d\tau =$

$=\sum _{i=1}^{k+1}{(-1)}^{i-1}\left({\mu }_1\right(M_i)+{\mu }_2(N_i)+\frac{1}{2}\underset{P_{i-1}{M}_i{P}_i{N}_i}{\int }f(\xi ,\tau \left)d\xi d\tau \right)+{(-1)}^{k+1}u\left(P_{k+1}\right).$

Отметим, что другие представления решения задачи (1), (2), (4) в виде бесконечных рядов можно найти, например, в работах [17–24].

Замечание 3. Аналогичные результаты справедливы и для уравнения $w_{\tau \tau }-a^2{w}_{\xi \xi }=F(\xi ,\tau )$, где $a:=>0$, так как преобразованием переменных $x=\xi$ и $t=a\tau$ это уравнение переходит в уравнение (1) при $F(\xi ,\tau )=a^{2}f(\xi ,a\tau )$, а полоса $\{\xi ,\tau \in {ℝ}^2:0<\xi <l, \tau >0\}$,  переходит в полосу $D$.

Замечание 4. Вопрос единственности классического решения $u\in C^2\left(\overline{D}\right)$ задачи (1), (2), (4) раскрыт в учебнике [20, с. 482]. 

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 2. Пусть выполнены условия (6). Тогда задача (1), (2), (4) имеет единственное классическое решение класса $C^2\left(\overline{D}\right)$, которое представимо в квадратурах формулами (33), (35)–(37), (41)–(43), где число  определяется равенством (38).

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

Работа выполнена при поддержке Национального научного фонда имени Шота Руставели (проект FR-21-7307).

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Авторы данной работы утверждают, что у них нет конфликта интересов.

About the authors

O. M. Jokhadze

Andrea Razmadze Mathematical Institute of I. Javakhishvili Tbilisi State University

Author for correspondence.
Email: ojokhadze@yahoo.com
Georgia, Tbilisi

S. S. Kharibegashvili

Georgian Technical University, Department of Mathematics

Email: kharibegashvili@yahoo.com
Georgia, Tbilisi

References

Supplementary files