Том 60, № 4 (2024)

Дифференциальные уравнения. 2024;60(4):435-438

435-438

АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫЕ РЕШЕНИЯ С ПОГРАНИЧНЫМИ И ВНУТРЕННИМИ СЛОЯМИ В ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩ¨ЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОВОЙ ДИФФУЗИЕЙ

Давыдова М.А., Рублев Г.Д.

Аннотация

Предложен новый подход к исследованию прямых и обратных задач для сингулярно возмущённого уравнения теплопроводности с нелинейно зависящей от температуры тепловой диффузией, основанный на развитии и использовании методов асимптотического анализа в нелинейных сингулярно возмущённых задачах реакция–диффузия–адвекция. Суть подхода рассмотрена на примере класса одномерных стационарных задач с нелинейными граничными условиями, для которого выделен случай применимости асимптотического анализа. Сформулированы достаточные условия существования классических решений погранслойного типа и типа контрастных структур, построены асимптотические приближения произвольного порядка точности таких решений, обоснованы алгоритмы построения формальных асимптотик и исследована асимптотическая устойчивость по Ляпунову стационарных решений с пограничными и внутренними слоями как решений соответствующих параболических задач. Рассмотрен класс нелинейных задач, учитывающих боковой теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Доказана теорема существования и единственности классического решения с пограничными слоями в задачах такого типа. В качестве приложений исследования представлены методы решения конкретных прямой и обратной задач нелинейного теплообмена, связанных с повышением эффективности эксплуатации прямолинейных нагревательных элементов в плавильных печах — теплообменниках: расчёт тепловых полей в нагревательных элементах и метод восстановления коэффициентов тепловой диффузии и теплообмена по данным моделирования. Ключевые слова: уравнение теплопроводности с нелинейной тепловой диффузией, задача нелинейной теплопроводности, задача нелинейного теплообмена, сингулярно возмущённая задача, решение с пограничными и внутренними переходными слоями, тепловая структура, асимптотический метод, коэффициентная обратная задача теплообмена.

Дифференциальные уравнения. 2024;60(4):439-462

439-462

ФОРМУЛА КРИСТОФФЕЛЯ–ДАРБУ ДЛЯ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Круглов В.Е.

Аннотация

С помощью рекуррентных соотношений между любыми тремя последовательными полиномиальными собственными функциями линейных дифференциальных уравнений получена формула Кристоффеля–Дарбу для системы полиномиальных собственных функций этих уравнений

Дифференциальные уравнения. 2024;60(4):463-471

463-471

О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕЛИНЕАРИЗУЕМЫХ РЕШЕНИЙ В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ

Мартынова В.Ю.

Аннотация

Рассматривается нелинейная задача на собственные значения для системы трёх уравнений с краевыми условиями первого рода, описывающая распространение электромагнитных волн в плоском нелинейном волноводе. Такая задача является двухпараметрической с одним спектральным параметром и вторым параметром, возникающим из-за дополнительного условия, связывающего постоянные интегрирования, которые появляются при нахождении первых интегралов системы. Доказывается существование нелинеаризуемых решений задачи.

Дифференциальные уравнения. 2024;60(4):472-491

472-491

ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ВСЕЙ ОСИ

Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Валеев Н.Ф.

Аннотация

Исследуется оптимизационная обратная спектральная задача c неполными спектральными данными для одномерного оператора Шрёдингера на всей оси: для заданного потенциала q₀ найти ближайшую к нему функцию $\hat{q}$ такую, чтобы первые m собственных значений оператора Шрёдингера с потенциалом $\hat{q}$ совпали с заданными значениями $λ_{k}^{*} \in ℝ, k = 1, m$ .

Дифференциальные уравнения. 2024;60(4):492-499

492-499

О РЕАЛИЗАЦИИ КОНЕЧНЫХ СУЩЕСТВЕННЫХ СПЕКТРОВ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КОЛЕБЛЕМОСТИ ДВУМЕРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Сташ А.Х., Лобода Н.А.

Аннотация

Для любого конечного множества неотрицательных чисел, содержащего нуль, построена двумерная линейная однородная дифференциальная система (периодическая, если все элементы заданного множества попарно соизмеримы), у которой спектры показателей колеблемости знаков, нулей, корней и гиперкорней совпадают с этим множеством, причём все значения указанных показателей существенны.

Дифференциальные уравнения. 2024;60(4):500-507

500-507

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Романов В.Г.

Аннотация

Для гиперболического уравнения второго порядка, содержащего два нелинейных члена, изучается обратная задача, заключающаяся в определении коэффициентов при нелинейностях. Рассматривается задача Коши с источником, сосредоточенным в точке y. Эта точка является параметром задачи и пробегает последовательно некоторую сферическую поверхность ????. Предполагается, что искомые коэффициенты отличны от нуля только в области, лежащей внутри ????. Задаётся след решения задачи Коши на ???? для всевозможных значений y и для моментов времени, близких к приходу волны от источника в точки поверхности ????, что позволяет свести рассматриваемую обратную задачу к двум последовательно решаемым задачам интегральной геометрии, для которых находятся оценки устойчивости решений.

Дифференциальные уравнения. 2024;60(4):508-520

508-520

НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА СВ¨ЕРТКИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Асхабов С.Н.

Аннотация

Получены двусторонние априорные оценки решения однородного вольтерровского интегро-дифференциального уравнения третьего порядка со степенной нелинейностью и разностным ядром. Показано, что нижняя априорная оценка, играющая роль весовой функции при построении метрики в конусе пространства непрерывных функций, неулучшаема. С помощью этих оценок методом весовых метрик (аналог метода А. Белицкого) доказана глобальная теорема о существовании, единственности и способе нахождения нетривиального решения в классе неотрицательных непрерывных на положительной полуоси функций начальной задачи для указанного интегро-дифференциального уравнения. Показано, что решение можно найти методом последовательных приближений, получена оценка скорости их сходимости к точному решению. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

Дифференциальные уравнения. 2024;60(4):521-532

521-532

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

Георгиевский Д.В., Раутиан Н.А.

Аннотация

Рассматриваются вопросы корректной разрешимости и экспоненциальной устойчивости решений абстрактных интегро-дифференциальных уравнений с ядрами интегральных операторов общего вида из пространства функций, интегрируемых на положительной полуоси. Исследуемые абстрактные интегро-дифференциальные уравнения являются операторными моделями задач теории вязкоупругости. Предлагаемый подход к изучению указанных интегро-дифференциальных уравнений связан с применением теории полугрупп и может быть использован для исследования других интегро-дифференциальных уравнений, содержащих интегральные слагаемые вида вольтерровой свёртки.

Дифференциальные уравнения. 2024;60(4):533-549

533-549

СТАБИЛИЗАЦИЯ ПЕРЕКЛЮЧАЕМОЙ СИСТЕМЫ С СОИЗМЕРИМЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ ПРИ МЕДЛЕННЫХ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯХ

Ильин А.В., Фурсов А.С.

Аннотация

Построен цифровой регулятор, стабилизирующий непрерывную переключаемую линей ную систему с соизмеримыми запаздываниями в управлении при медленных пере ключениях. Стабилизация последовательно включает в себя построение переключаемой непрерывно-дискретной замкнутой системы с цифровым регулятором; переход к её дискретной модели, представимой в виде переключаемой системы с режимами различ ных порядков; одновременную стабилизацию подсистем полученной дискретной модели и расчёт времени задержки, обеспечивающего устойчивость исходной переключаемой системы, замкнутой найденным регулятором.

Дифференциальные уравнения. 2024;60(4):550-560

550-560

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО СЛЕЖЕНИЯ

Соболев В.А.

Аннотация

Рассматривается сингулярно возмущённая задача оптимального слежения с заданной эталонной траекторией в случае неполной информации о векторе состояния при наличии внешних возмущений. Для анализа возникающих при решении этой задачи дифференциальных уравнений применяется метод декомпозиции, в основе которого лежит техника интегральных многообразий быстрых и медленных движений.

Дифференциальные уравнения. 2024;60(4):561-576

561-576