Dynamics of solutions of nonlinear functional differential equation of parabolic type

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Purpose of this work is to study the initial-boundary value problem for a parabolic functional-differential equation in an annular region, which describes the dynamics of phase modulation of a light wave passing through a thin layer of a nonlinear Kerr-type medium in an optical system with a feedback loop, with a rotation transformation (corresponds the involution operator) and the Neumann conditions on the boundary in the class of periodic functions. A more detailed study is made of spatially inhomogeneous stationary solutions bifurcating from a spatially homogeneous stationary solution as a result of a bifurcation of the “fork” type and time-periodic solutions of the “traveling wave” type. Methods. To represent the original equation in the form of nonlinear integral equations, the Green’s function is used. The method of central manifolds is used to prove the theorem on the existence of solutions of the indicated equation in a neighborhood of the bifurcation parameter and to study their asymptotic form. Numerical modeling of spatially inhomogeneous solutions and traveling waves was carried out using the Galerkin method. Results. Integral representations of the considered problem are obtained depending on the form of the linearized operator. Using the method of central manifolds, a theorem on the existence and asymptotic form of solutions of the initial-boundary value problem for a functional-differential equation of parabolic type with an involution operator on an annulus is proved. As a result of numerical modeling based on Galerkin approximations, in the problem under consideration, approximate spatially inhomogeneous stationary solutions and time-periodic solutions of the traveling wave type are constructed. Conclusion. The proposed scheme is applicable not only to involutive rotation operators and Neumann conditions on the boundary of the ring, but also to other boundary conditions and circular domains. The representation of the initial-boundary value problem in the form of nonlinear integral equations of the second kind allows one to more simply find the coefficients of asymptotic expansions, prove existence and uniqueness theorems, and also use a different number of expansion coefficients of the nonlinear component in the right-hand side of the original equation in the neighborhood of the selected solution (for example, stationary). Visualization of the numerical solution confirms the theoretical calculations and shows the possibility of forming complex phase structures.

About the authors

Anshelika Alexandrovna Kornuta

Crimean Federal University named after V.I. Vernadsky

pr-kt Academician Vernadsky, 4, Simferopol, 95000

V. A. Lukianenko

Crimean Federal University named after V.I. Vernadsky

pr-kt Academician Vernadsky, 4, Simferopol, 95000

References

  1. Ахманов С. А., Воронцов М. А., Иванов В.Ю. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических аналогов нейронных сетей // В кн.: Новые физические принципы оптической обработки информации. М.: Наука, 1990. С. 263-325.
  2. Разгулин А. В. Задача управления двумерным преобразованием пространственных аргументов в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. 2006. T. 42, № 8. С. 1078-1091.
  3. Разгулин А. В. Нелинейные модели оптической синергетики. М.: МАКС Пресс, 2008. 203 с.
  4. Akhmanov S. A., Vorontsov M. A., Ivanov V. Y., Larichev A. V., Zheleznykh N. I. Controlling transverse-wave interactions in nonlinear optics: generation and interaction of spatiotemporal structures // J. Opt. Soc. Am. B. 1992. Vol. 9, no. 1. P. 78-90. doi: 10.1364/JOSAB.9.000078.
  5. Vorontsov M. A., Razgulin A. V. Properties of global attractor in nonlinear optical system having nonlocal interactions // Photonics and Optoelectronics. 1993. Vol. 1, no. 2. P. 103-111.
  6. Chesnokov S. S., Rybak A. A. Spatiotemporal chaotic behavior of time-delayed nonlinear optical systems // Laser Physics. 2000. Vol. 10, no. 5. P. 1061-1068.
  7. Iroshnikov N. G., Vorontsov M. A. Transverse rotating waves in the non-linear optical system with spatial and temporal delay // In: Frontiers in Nonlinear Optics: The Sergei Akhmanov Memorial Volume / Ed. by Walther H., Koroteev N., Scully M. O. Boca Raton: CRC Press, 1993. P. 261-278.
  8. Razgulin A. V. Finite-dimensional dynamics of distributed optical systems with delayed feedback // Computers and Mathematics with Applications. 2000. Vol. 40, no. 12. P. 1405-1418. doi: 10.1016/S0898-1221(00)00249-2.
  9. Каменский Г. А., Мышкис А. Д., Скубачевский А. Л. О минимуме квадратичного функционала и о линейных краевых задачах эллиптического типа с отклоняющимися аргументами // УМН. 1979. T. 34, № 3(207). С. 197-198.
  10. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М: Мир, 1967. 548 с.
  11. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 424 с.
  12. Скубачевский А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1998. T. 34, № 10. С. 1394-1401.
  13. Варфоломеев Е. М. О бифуркации Андронова-Хопфа для квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованиями пространственных переменных // УМН. 2007. T. 62, № 2(374). С. 173-174. doi: 10.4213/rm6389.
  14. Варфоломеев Е. М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. T. 21. С. 5-36.
  15. Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений // Математические заметки. 2003. T. 74, № 4. С. 538-548. doi: 10.4213/mzm288.
  16. Муравник А. Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши // Современная математика. Фундаментальные направления. 2014. T. 52. С. 3-141.
  17. Разгулин А. В. Ротационные волны в оптической системе с двумерной обратной связью // Математическое моделирование. 1993. T. 5, № 4. С. 105-119.
  18. Разгулин А. В., Романенко Т. Е. Вращающиеся волны в параболическом функционально-дифференциальном уравнении с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. T. 53, № 11. С. 1804-1821. doi: 10.7868/S0044466913110136.
  19. Романенко Т. Е. Двумерные вращающиеся волны в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с поворотом пространственных аргументов и запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2014. T. 50, № 2. С. 260-263. doi: 10.1134/S0374064114020149.
  20. Белан Е. П. О взаимодействии бегущих волн в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. 2004. T. 40, № 5. С. 645-654.
  21. Белан Е. П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной // Журнал математической физики, анализа, геометрии. 2005. T. 1, № 1. C. 3-34.
  22. Белан Е. П., Хазова Ю. А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на окружности с отражением пространственной переменной // Динамические системы. 2014. T. 4, № 1-2(32). C. 43-57.
  23. Белан Е. П., Шиян О. В. Автоколебательные режимы горения вдоль полосы // Динамические системы. 2009. № 27. C. 3-16.
  24. Корнута А. А. Метаустойчивые структуры в параболическом уравнении на окружности с поворотом пространственной переменной // Динамические системы. 2014. T. 4, № 1-2(32). С. 59-75.
  25. Белан Е. П., Лыкова О. Б. Вращающиеся структуры в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. 2004. T. 40, № 10. С. 1348-1357.
  26. Ларичев А. В. Динамические процессы в нелинейных оптических системах с двумерной обратной связью: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.21. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 1995. 108 с.
  27. Grigorieva E. V., Haken H., Kashchenko S. A., Pelster A. Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback // Physica D. 1999. Vol. 125, no. 1-2. P. 123-141. doi: 10.1016/S0167-2789(98)00196-1.
  28. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Диффузионный хаос и его инвариантные числовые характеристики // Теоретическая и математическая физика. 2020. T. 203, № 1. C. 10-25. doi: 10.4213/tmf9824.
  29. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов: Издательство Ростовского университета, 1988. 187 с.
  30. Хазова Ю. А., Лукьяненко В. А. Применение интегральных методов для исследования одной параболической задачи // Известия вузов. ПНД. 2019. T. 27, № 4. С. 85-98. doi: 10.18500/0869-6632-2019-27-4-85-98.
  31. Корнута А. А., Лукьяненко В. А. Функционально-дифференциальные уравнения параболического типа с оператором инволюции // Динамические системы. 2019. T. 9(37), № 4. С. 390-409.
  32. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
  33. Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005. 430 с.
  34. Arecchi F. T., Boccaletti S., Ducci S., Pampaloni E., Ramazza P. L., Residori S. The liquid crystal light valve with optical feedback: A case study in pattern formation // Journal of Nonlinear Optical Physics & Materials. 2000. Vol. 9, no. 2. P. 183-204. doi: 10.1142/S0218863500000170.
  35. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». Динамические системы - 1. M.: ВИНИТИ, 1985. С. 7-140.
  36. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. M.: Мир, 1985. 376 c.
  37. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970. 328 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).