Motion of an Elastic Drop through an Orifice in a Thin Plate

Толық мәтін

Движение капли через отверстие в пластине — явление, которое наблюдается при столкновении капли со средствами защиты от инфицированных капель, а именно, с медицинскими масками и фильтрами. Отверстия/каналы в средствах защиты пропускают воздух, но препятствуют движению капель, что блокирует распространение инфекции в воздушной среде [1, 2]. Другим примером взаимодействия капли и отверстия является истечение капли из сопла печатающей головки струйного принтера [3, 4]. В работах [5, 6] проведено исследование влияния поверхностного натяжения и вязкости жидкости на движение капли через отверстие. Вместе с тем, в некоторых случаях жидкость кроме вязкости и капиллярности может обладать упругими свойствами, которые жидкости имеют в силу естественных причин [7, 8], либо специальные добавки целенаправленно придают жидкости упругость для обеспечения тех или иных функциональных показателей [4]. Настоящая работа предпринята с целью выявления особенностей движения капли через отверстие в случае наличия у жидкости упругих свойств. Предварительные результаты анонсированы в [9].

Прототипом рассматриваемой здесь экспериментальной конфигурации является столкновение капли с тонким цилиндром или нитью. Изучены удары капель воды [10-15] и полимерных растворов [16].

1. ЭКСПЕРИМЕНТ

Эксперимент заключался в метании капли исследуемой жидкости на пластину с отверстием и наблюдении за процессом прохождения капли через отверстие при помощи скоростной видеозаписи (рис. 1).

 

Рис. 1. Схема эксперимента.

 

Капля падала с высоты h₀ = 5, 10 и 20 мм, отрываясь от иглы диаметром d_c = 0.8 мм. К моменту пересечения с отверстием для высот падения h₀ ≈ 5, 10 и 20 мм [16] измеренная скорость капли достигала значений v_i ≈ 0.2011, 0.2736 и 0.4931 м/с. Эти значения скорости приблизительно соответствуют скоростям, вычисленным по формуле v_i ≈ (2gh₀)^1/2 = 0.31, 0.44 и 0.63 м/с (здесь g = 9.81 м/с² — ускорение свободного падения). В опытах диаметр отверстия d_t = 3 мм, диаметр капель перед ударом d_i = 3.00 ± 0.06 мм (согласно данным видеозаписи (рис. 2-4)), масса такой капли составляет m ≈ ρπd_i³/6 = 14.14 мг, толщина пластины 0.44 мм.

 

Рис. 2. Видеозаписи движения капель воды, ПАА-100 и ПАА-1k (а-в) через отверстие в пластине при падении капли с высоты 5 мм. Цена деления линейки на кадре 1 мм. B = πd_iGθ²/(4m₀) — количественный параметр, описывающий предполагаемый переход к разрушению капли [4].

 

Рис. 3. Видеозаписи движения капель воды, ПАА-100 и ПАА-1k (а-в) через отверстие при падении с высоты h₀ = 10 мм. Цена делений линейки на кадре 1 мм.

 

Рис. 4. Видеозаписи движения капель воды, ПАА-100 и ПАА-1k (а–в) через отверстие при падении с высоты h₀ = 20 мм. Цена делений линейки на кадре 1 мм.

 

Испытывались водные растворы полиакриламида молекулярной массой 11 млн. и массовой долей 0, 100 и 1000 млн^–1 (ПАА-100 и ПАА-1к) [17]. Растворы ПАА-100 и ПАА-1к имитировали реальную ротовую жидкость. Модуль упругости G и время релаксации θ данных жидкостей максимально приближены к соответствующим реологическим параметрам реальной ротовой жидкости G = 0.11 Па, θ = 0.33 с (пунктиры на рис. 1 источника [16]). Используемые в настоящем исследовании рабочие жидкости (ПАА-100 и ПАА-1к) имеют реологические параметры: G = 89.5 ± 2.7 мПа, θ = 27.3 ± 6.0 мс и G = 139.1 ± 4.3 мПа, θ = 198.5 ± 46.5 мс [17]. Добавки ПАА существенно не меняют поверхностное натяжение растворов, которое остается примерно таким же, как и воды g = 72.6 мН/м [17]. Реологические параметры определялись методом утончающейся нити в рамках реологических моделей Oldroyd-B и Upper-Convected Maxwell (UCM) [8]. Модели совпадают в случае больших упругих деформаций [18], характерных для исследуемых здесь течений. Результаты реологических испытаний модельных и реальных жидкостей и их сопоставление представлены на рис. 1 источника [16]. Показано, что наилучшее приближение обеспечивают растворы ПАА из диапазона массовой доли c ≈ 252 ÷ 2102 млн^–1. В качестве альтернативных жидкостей могут быть использованы растворы полиэтиленоксида ПЭО массовой доли c ≈ 12449 ÷ 19320 млн^–1, как это следует из рис. 1 источника [16].

Скоростная видеозапись осуществлялась бытовым смартфоном Honor 30S (CDY-NX9A). Частота кадров видеозаписи составляла 960 Гц.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ

Исследовались капли воды, а в качестве упругих жидкостей испытаниям подвергнуты водные растворы полиакриламида молекулярной массы 11 млн. и концентраций 100 и 1000 млн^–1 (ПАА-100 и ПАА-1к). Как показали реологические испытания ротовой жидкости, именно эти растворы наиболее близко могут моделировать гидродинамику ротовой жидкости [8, 16].

Типичные результаты наблюдений представлены на рис. 2-4.

Путем обработки видеозаписей построены траектории движения капель z = z (t) для различных жидкостей и высот падения h₀ (рис. 5). Наблюдения и измерения показали, что, несмотря на совпадение диаметров отверстия и капель, капли двигались через отверстие с касаниями краев отверстий в пластине, в результате чего их траектории отличались от траекторий бесконтактного («беспрепятственного») движения через отверстие. Вероятно, контакты обусловлены колебаниями капель в полете. Данные рис. 5 также свидетельствуют, что касания вызывают более сильное торможение при малых высотах падения, когда инерция мала. Также более сильное торможение наблюдается у жидкостей с более высоким уровнем упругих добавок, что свидетельствует о благоприятном эффекте упругости жидкостей при использовании защитных средств.

 

Рис. 5. Зависимость перемещения струи z от времени для различных жидкостей при падении капель с высот h₀ = 5, 10 и 20 мм. 1 — вода h₀ = 5 мм, 2 — вода h₀ = 10 мм, 3 — вода h₀ = 20 мм, 4 — ПАА100 h₀ = 5 мм, 5 — ПАА100 h₀ = 10 мм, 6 — ПАА100 h₀ = 20 мм, 7 — ПАА1k h₀ = 5 мм, 8 — ПАА1k h₀ = 10 мм, 9 — ПАА1k h₀ = 20 мм; Пунктиром показаны теоретические «беспрепятственные» траектории капель z = (2gh₀)^1/2t + gt²/2 для высот h₀ = 5, 10 и 20 мм. Горизонтальная пунктирная линия разделяет область отрыва капель от пластины z > 3 мм и область захвата капель отверстием в пластине z < 3 мм.

 

Рисунки 2-5 свидетельствуют, что существуют два режима движения капель через отверстие: с отрывом капли от пластины и захват капли отверстием в пластине. Отрыву капли способствует более высокая инерция капли, а захвату — упругие напряжения в капле. За границу между двумя режимами движения принят диаметр исходной капли d_i = 3.0 мм (рис. 5).

3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Раздел посвящен механизму отрыва капли от пластины. Движение капли через отверстие управляется конкуренцией 1) силы инерции, которая направлена на продолжение полета капли; 2) силы поверхностного натяжения, которая вызывает торможение капли и стремление вернуть ее в отверстие; 3) силы упругого натяжения мостика между каплей и пластиной, также замедляющей каплю; 4) силы тяжести, стремящейся оторвать каплю от пластины. Уравнение данного движения

$m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=-\pi a\gamma +\pi \frac{a^2}{4}\left(p_c-\tau \right)+mg$, (3.1)

где m ≈ ρπd_i³/6 — масса капли жидкости, ρ — плотность жидкости, a — диаметр мостика, z — длина мостика (рис. 1), p_c = γ / (a / 2) — капиллярное давление в мостике (давление Лапласа), γ — поверхностное натяжение, τ — осевая компонента тензора упругого напряжения, a₀ — начальный диаметр мостика (приблизительно совпадающий с диаметром отверстия d_t), θ — время релаксации жидкости, g — ускорение свободного падения. Жидкость считается несжимаемой. Для величины t известна оценка τ = G (a₀ / a)⁴exp(–t / θ) [4, 18].

Первое слагаемое в правой части уравнения (3.1) представляет натяжение мостика, сформированного поверхностным натяжением, второе слагаемое в правой части — вклад упругости, третье слагаемое — сила тяжести. Поверхностное натяжение и упругие напряжения тормозят движение капли, а сила тяжести ускоряет движение. Соотношение данных трех факторов определяет судьбу капли — оторвется ли капля от пластины и улетит прочь (отрыв капли), либо останется внутри отверстия на пластине (захват капли). Варианты движения можно видеть на рис. 2-4.

Для предварительных оценок положим, что удлинение мостика z (t) сопровождается его утончением a(t) c приблизительно постоянным количеством жидкости в мостике π (a / 2)²z ≈ πa₀³ / 6 , подобно тому, как это происходит при метании микроструй [4]. В этом случае уравнение (3.1) сводится к дифференциальному уравнению 2-го порядка:

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=-\frac{\pi {a_0}^{1.5}\gamma m^{-1}}{{\left(6z\right)}^{0.5}}-\frac{3\pi a_{0}G}{8m}z\exp \left(-\frac{t}{\theta }\right)+g$. (3.2)

Начальные условия можно задать в виде t = 0, z ≈ 0, dz/dt = v_i. Решение уравнения (3.2) описывает траекторию движения капли после преодоления отверстия. Уравнение интегрировалось численно при помощи пакета прикладных программ MatLab.

С целью демонстрации роли определяющих факторов вычисления проведены для четырех базовых случаев 1) G = 0, γ = 0, g ≠ 0; 2) G = 0, γ ≠ 0, g = 0; 3) G ≠ 0, γ = 0, g = 0; 4) G ≠ 0, γ ≠ 0, g ≠ 0. Траектории представлены на рис. 6. (На рисунках G, Teta, Gamma и g0 соответствуют параметрам G, θ, γ и g.)

 

Рис. 6. Режимы течения как функции определяющих параметров. Цифрами обозначены варианты: 1 — G = 0, γ = 0, g = 9.81 м/с², 2 — G = 0, γ = 0.072 Н/м, g = 0, 3 — G = 100 Па, θ = 0.1 с, γ = 0.072 Н/м, g = 9.81 м/с², 4 — G = 100 Па, θ = 0.1 с, γ = 0, g = 0. Вычисления проведены c использованием пакета прикладных программ MatLab для случая v_i = 0.49 м/c, a₀ = 3 мм.

 

Рисунки 7-9 представляют сплошными линиями результаты численного решения уравнения (3.2). Реологические параметры G и θ оценены путем подбора наилучшего приближения методом наименьших квадратов [18]. Экспериментальные траектории показаны крестиками/ноликами для случаев отрыва/захвата капель отверстием.

 

Рис. 7. Численные решения уравнения (3.2) (сплошные кривые) в сравнении с экспериментальными данными для падения капель различных жидкостей с высоты h₀ = 5 мм, v_i = 0.2011 м/c (рис. 2). 1 — вода, G = 0, 2 — ПАА100, G = 51 Па, θ = 0.061с, 3 — ПАА1к, G = 146 Па, θ = 0.031с. Нолики отвечают захвату капель отверстием. Реологические параметры G и q оценены путем подбора наилучшего приближения методом наименьших квадратов.

 

Рис. 8. Численные решения уравнения (3.2) в сравнении с экспериментальными данными для падения капель различных жидкостей с высоты h₀ = 10 мм, v_i = 0.2736 м/c (рис. 3). 1 — вода, G = 0, 2 — ПАА100, G = 71 Па, θ = 0.021 с, 3 — ПАА1к, G = 151 Па, θ = 0.021 с. Крестики отвечают отрыву капель от отверстия, нолики — захвату капель отверстием. Реологические параметры G и q оценены путем подбора наилучшего приближения методом наименьших квадратов.

 

Рис. 9. Численные решения уравнения (3.2) в сравнении с экспериментальными данными для падения капель с высоты h₀ = 20 мм, v_i = 0.4931 м/c (рис. 4). 1 — вода, G = 0, 2 — ПАА100, G = 91 Па, θ = 0.011 с, 3 — ПАА1к, G = 151 Па, θ = 0.021 с. Крестики отвечают отрыву капель от отверстия.

 

Данные для h₀ = 5 мм (рис. 2) не описываются теоретической моделью удовлетворительно, так как расчетная конфигурация, показанная на рис. 1, не реализуется. В частности, не формируется жидкий мостик, который управляет отрывом или захватом капли, соответственно, нет оснований для правомерности уравнения (3.2). Каплям при таких ударах не удается преодолеть отверстия и создать конфигурацию рис. 1.

Результаты расчетов для траекторий отрывающихся капель при h₀ = 10 и 20 мм представлены сплошными линиями на рис. 8, 9 и они качественно согласуются с экспериментальными данными (крестики — траектории оторвавшихся капель, нолики — захваченные капли). С увеличением упругости кривые перемещаются вниз. Использование уравнения (3.2) для аппроксимации экспериментальных данных позволило оценить значения параметров реологической модели Максвелла/Олдройда-Б в данном режиме деформирования. Установленные значения приведены на графиках. Модуль упругости оказался заметно выше, а время релаксации примерно совпало со временем релаксации, измеренным методом утончающейся нити [17]. Полученные данные совместно с данными упругих всплесков [18] могут быть использованы для построения реологических моделей упругих полимерных жидкостей в широком диапазоне деформационных параметров.

В работе [4] в рамках предположения о доминировании упругости предложен приближенный критерий разрушения упругой капли при соударении с твердым препятствием

$B=\frac{\pi d_{i}G{\theta }^2}{4m_0}\le 1.45$. (3.3)

Параметр B был рассчитан для экспериментов данной работы и представлен на рис. 2-4. В качестве реологических параметров использованы значения G и θ, полученные в ходе настоящей работы (G и Teta на рис. 7-9). Наблюдается уменьшение параметра B при приближении к ситуации, когда капля отрывается от пластины. Такая зависимость согласуется с тенденцией, предсказанной критерием (3.3).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наблюдения и измерения показали, что, несмотря на совпадение диаметров отверстия и капель, капли двигались через отверстие с касаниями пластины, в результате чего их траектории отличались от траекторий бесконтактного («беспрепятственного») движения через отверстие. Вероятно, контакты обусловлены колебаниями капель в полете. Проведенное исследование показывает, что касания вызывают более сильное торможение при малых высотах падения, когда доминирование инерции подавляется контактами капли и стенок отверстия. Также более интенсивное торможение наблюдается у жидкостей с более высоким уровнем упругих добавок, что свидетельствует о благоприятном эффекте упругости жидкостей при контактах с защитными средствами. Таким образом, именно упругость ротовой жидкости обуславливает использования медицинских масок для защиты от инфекций, переносимых воздушно-капельным путем.

Сопоставление данных численного моделирования и экспериментального моделирования показывает качественное согласие даже в случае некоторого отклонения картины течения от предполагаемой конфигурации отрыва капли от пластины, показанной на рис. 1. В случаях отрыва капель от пластины удается оценить значения параметров реологической модели Максвелла, которые в данном режиме деформирования оказались отличны от данных измерений методом утончающейся нити, в котором реализуются невысокие скорости деформаций.

Авторлар туралы

A. Rudenko

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: arudenko@ipmnet.ru
Ресей, Moscow

A. Rozhkov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Email: rozhkov@ipmnet.ru
Ресей, Moscow

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар