Determination of the threshold solution for an «improved» energy detector in spectrum sensing Rayleigh channel

Full Text

Введение

Улучшенный или усовершенствованный детектор энергии (Improved Energy Detector), используемый при зондировании спектра в сетях когнитивного радио, получается из схемы обычного энергетического детектора модификацией последнего путем замены операции возведения в квадрат амплитуды принимаемого сигнала в обычном энергетическом детекторе (ЭД) на произвольную положительную степень p.

В классической постановке задача зондирования спектра формулируется как задача обнаружения сигнала первичного пользователя (ПП) по сигналам, наблюдаемым вторичными пользователями (ВП), что, в свою очередь, представляет для каждого i-го ВП задачу статистической теории проверки бинарных гипотез [1; 2]:

$y_i\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}{w}_i\left(t\right)\text{\hspace{0.33em}при}\mapsto H_0\\ s_i\left(t\right)+w_i\left(t\right)\text{\hspace{0.33em}при}\mapsto H_1\end{array}\right\},$ (1)

где $y_i\left(t\right)$ – сигнал, принимаемый i-м ВП на интервале зондирования T; $w_i\left(t\right)$ – сигнал помехи типа белый гауссов шум (БГШ) с параметрами $\left(\mathrm{0,}{\sigma }_n^2\right);$ $s_i\left(t\right)$ – сигнал ПП, принимаемый i-м ВП; $H_0$ – состояние радиоканала в отсутствие сигнала $s\left(t\right);$ $H_1$ – состояние радиоканала при наличии сигнала $s\left(t\right);$ $SNR={\sigma }_s^2/{\sigma }_n^2$ – среднее значение отношения мощностей сигнал/шум.

1. Описание усовершенствованного детектора энергии

В этой статье сети когнитивной радиосвязи принимают решение о присутствии или отсутствии первичного пользователя, используя усовершенствованный детектор энергии, структурная схема которого показана на рис. 1.

 

Рис. 1. Структурная схема усовершенствованного детектора энергии

Fig. 1. Block diagram of the improved energy detector

 

Решение выносится сравнением $Y\left(T\right)$ – выходного сигнала усовершенствованного детектора энергии (УЭД) – с пороговым значением схемы решения $\lambda$. Улучшенный или усовершенствованный детектор энергии (Improved Energy Detector), используемый при зондировании спектра в сетях когнитивного радио, получается из схемы обычного энергетического детектора модификацией последнего путем замены операции возведения в квадрат амплитуды принимаемого сигнала в обычном ЭД на произвольную положительную степень p.

Цель перехода к усовершенствованному детектору энергии – сблизить характеристики некогерентного ЭД с характеристиками когерентного детектора, не требуя при этом каких-либо дополнительных априорных сведений ни о природе источника сигнала, ни о радиоканале [3].

В этом усовершенствованном детекторе энергии вместо возведения полученной выборки $y_i\left(t\right)$ в квадрат используется произвольная операция с положительной степенью $\rho >1$ модуля этой выборки. По сравнению с обычным детектором положительное влияние нового детектора энергии на характеристики обнаружения может быть вызвано тем фактом, что операция возведения в квадрат в ЭД может привести к занижению составляющей сигнала в выборке при большом SNR и к завышению составляющей сигнала в выборке при малом SNR.

2. Методика расчета оптимизированного значения нормализованного порога

В работе [1] рассмотрено применение УЭД для обнаружения сигнала, удовлетворяющего условиям (1): по обоим вариантам истинности гипотез $H_0$ и $H_1$ принимаемый сигнал является гауссовским, и для каждого вторичного отличается только дисперсией: по гипотезе $H_0$ дисперсия равна ${\sigma }_n^2,$ а по гипотезе $H_1$ дисперсия равняется ${\sigma }_s^2+{\sigma }_n^2.$ После некоторых алгебраических преобразований в [1] получены выражения для Y – плотности случайной величины на выходе УЭД $(Y={\left|y_i\right|}^{\rho })$ по гипотезам $H_0$ и $H_1$ проинтегрировав которые получают согласно [3, (13) и (14)], что соответствует в (2) $P_{\text{лт}}$ – вероятности «ложной тревоги» и в (3) $P_{\text{пц}}$ – вероятности «пропуска цели»:

$P_{\text{лт}}=\underset{\lambda }{\overset{+\infty }{\int }}{f_{\left.Y\right|}}_{H_0}\left(y\right)dy=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{2},\frac{{\lambda }^{2/\rho }}{2{\sigma }_n^2}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)},$ (2)

$P_{\text{пц}}=\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}{f_{\left.Y\right|}}_{H_1}\left(y\right)dy=\frac{\gamma \left(\frac{1}{2},\frac{{\lambda }^{2/\rho }}{2({\sigma }_s^2+{\sigma }_n^2)}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)},$ (3)

где $\Gamma \left(\mathrm{.,.}\right)$ – неполная верхняя гамма-функция [4, с. 60–62]; $\gamma \left(\mathrm{.,.}\right)$ – неполная нижняя гамма-функция [3, с. 60–62].

В литературе по специальным функциям, и частности в [4, с. 70], показана связь неполной гамма-функции с функцией ошибок, именуемой также $erf\left(x\right)\text{:}$

 (4)

В соотношении (4) и далее учтено, что $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }.$

Если ввести в рассмотрение дополнительную функцию ошибок

$erfc\left(x\right)=1-erf\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-t^2}dt,$ (5)

а также учесть, что, согласно [3]:

$erf\left(x\right)=1-\frac{\Gamma \left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt{\pi }}$ (6)

и

$\frac{1}{\sqrt{\pi }}\gamma \left(\frac{1}{2},x^2\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi }}\Gamma \left(\frac{1}{2},x^2\right)=1$ (7)

в конечном итоге получаем для вероятностей (2) и (3) расчетные формулы:

$P_{\text{лт}}\left(x\right)=1-erf\left(x\right),$ (8)

$P_{\text{пц}}=erf\left(\frac{x}{m}\right),$ (9)

где

$x=\frac{{\lambda }^{1/\rho }}{\sqrt{2}}\frac{1}{{\sigma }_n}; m=\sqrt{\frac{{\sigma }_s^2}{{\sigma }_n^2}}+1=\sqrt{SNR+1}.$ (9а)

Результирующая величина ошибочного обнаружения сигнала PU равна:

$P_e=P\left(H_0\right)P_{\text{лт}}\left(x\right)+P\left(H_1\right)P_{\text{пц}}\left(x\right),$ (10)

Поскольку вероятности событий $P\left(H_0\right)+P\left(H_1\right)=1$ и эти вероятности не имеют обоснованных предпосылок задания их численных значений, зададим $P\left(H_0\right)=P\left(H_1\right)=\mathrm{0,5.}$

Тогда (10) может быть записана как

$P_e\left(x\right)=\mathrm{0,5}\left[1-\left(erf\left(x\right)-erf\left(\frac{x}{\sqrt{m}}\right)\right)\right].$ (11)

Для поиска оптимального значения переменной х приравняем к нулю значение первой производной (11):

$\frac{d{P}_e\left(x\right)}{dx}=\mathrm{0,5}\left(-\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}+\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{\frac{-x^2}{m}}\frac{1}{\sqrt{m}}\right)=0.$ (12)

Решая уравнение (12) относительно переменной $x^2,$ после логарифмирования получаем:

$x^2=\frac{m}{m-1}\ln \sqrt{m.}$ (13)

После подстановки (9а) в (13) имеем:

$\frac{{\lambda }^{2/\rho }}{2{\sigma }_n^2}=\frac{SNR+1}{SNR}\ln \sqrt{SNR+1.}$ (14)

По своей природе системы когнитивного радио с динамическим доступом к ресурсам радиочастотного спектра предполагают неравную стоимость или значимость ошибок обнаружения: цена ошибки 2-го рода, т. е. необнаружение первичного пользователя, должна быть выше, чем ошибка ложной тревоги. В этом случае в оптимизируемое выражение, которое интерпретируется как значение среднего риска обнаружения [5; 8], вводятся весовые коэффициенты ошибок: C₁ и C₂ для ошибок первого и второго рода соответственно, учитывающие наряду с вероятностями P(H₀) и P(H₁) показатели цены ошибок (рис.2). Тогда, повторив описанную выше процедуру определения величины порога по критерию минимума среднего риска R(x):

$R\left(x\right)=C_1{P}_{\text{лт}}\left(x\right)+C_2{P}_{\text{пц}}\left(x\right).$ (15)

получаем решение для (15) в следующем виде:

$x^2=\frac{m}{m-1}\left(\frac{1}{2}\ln m+\ln \frac{C_1}{C_2}\right).$ (16)

 

Рис. 2. График зависимости суммарной вероятности ошибки обнаружения от SNR

Fig. 2. Graph of the dependence of the total probability of detection error on SNR

 

Поскольку в большинстве практически важных случаев $C_1>C_2,$ то значение порога имеет смысл только при условии

$\frac{1}{2}\ln m+\ln \frac{C_1}{C_2}>0.$

Заключение

Выражение (14) оптимизированного значения нормализованного порога демонстрирует результаты, идентичные значениям порога решения

${\lambda }_{\text{opt}}={\left[{\sigma }_n^2\left(m\right)\ln \left(m\right)/SNR\right]}^{\frac{\rho }{2}},$

полученного в [6], как частный случай разнесенного приема с селективным комбинированием в релеевском канале. Положив в (14) $\rho =2$ (случай классического энергетического детектора), имеем хорошее совпадение с результатом в [7]. Графики зависимости суммарной вероятности ошибки обнаружения (11) для оптимизированного значения порога (14) в зависимости от SNR приведены на рис. 2.

About the authors

Sergey N. Eliseev

Moscow Technical University of Communications and Informatics

Author for correspondence.
Email: fgupnrsnr@yandex.ru
SPIN-code: 7148-4192

Doctor of Technical Sciences, professor of the Department of Electric Circuit Theory,

Research interests: cognitive radio, spectrum sensing, optimization of the total probability of detection error

Russian Federation, 8a, Aviamotornaya Street, Moscow, 111024

Natalya V. Stepanova

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: puhleniw@mail.ru
SPIN-code: 1861-2980

senior teacher of the Department Radioelectronic Systems

Research interests: cognitive radio, spectrum sensing, optimization of the total probability of detection error

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

References

Supplementary files