Определение порогового решения «улучшенного» энергетического детектора в релеевском канале зондирования спектра

Полный текст

Введение

Улучшенный или усовершенствованный детектор энергии (Improved Energy Detector), используемый при зондировании спектра в сетях когнитивного радио, получается из схемы обычного энергетического детектора модификацией последнего путем замены операции возведения в квадрат амплитуды принимаемого сигнала в обычном энергетическом детекторе (ЭД) на произвольную положительную степень p.

В классической постановке задача зондирования спектра формулируется как задача обнаружения сигнала первичного пользователя (ПП) по сигналам, наблюдаемым вторичными пользователями (ВП), что, в свою очередь, представляет для каждого i-го ВП задачу статистической теории проверки бинарных гипотез [1; 2]:

$y_i\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}{w}_i\left(t\right)\text{\hspace{0.33em}при}\mapsto H_0\\ s_i\left(t\right)+w_i\left(t\right)\text{\hspace{0.33em}при}\mapsto H_1\end{array}\right\},$ (1)

где $y_i\left(t\right)$ – сигнал, принимаемый i-м ВП на интервале зондирования T; $w_i\left(t\right)$ – сигнал помехи типа белый гауссов шум (БГШ) с параметрами $\left(\mathrm{0,}{\sigma }_n^2\right);$ $s_i\left(t\right)$ – сигнал ПП, принимаемый i-м ВП; $H_0$ – состояние радиоканала в отсутствие сигнала $s\left(t\right);$ $H_1$ – состояние радиоканала при наличии сигнала $s\left(t\right);$ $SNR={\sigma }_s^2/{\sigma }_n^2$ – среднее значение отношения мощностей сигнал/шум.

1. Описание усовершенствованного детектора энергии

В этой статье сети когнитивной радиосвязи принимают решение о присутствии или отсутствии первичного пользователя, используя усовершенствованный детектор энергии, структурная схема которого показана на рис. 1.

 

Рис. 1. Структурная схема усовершенствованного детектора энергии

Fig. 1. Block diagram of the improved energy detector

 

Решение выносится сравнением $Y\left(T\right)$ – выходного сигнала усовершенствованного детектора энергии (УЭД) – с пороговым значением схемы решения $\lambda$. Улучшенный или усовершенствованный детектор энергии (Improved Energy Detector), используемый при зондировании спектра в сетях когнитивного радио, получается из схемы обычного энергетического детектора модификацией последнего путем замены операции возведения в квадрат амплитуды принимаемого сигнала в обычном ЭД на произвольную положительную степень p.

Цель перехода к усовершенствованному детектору энергии – сблизить характеристики некогерентного ЭД с характеристиками когерентного детектора, не требуя при этом каких-либо дополнительных априорных сведений ни о природе источника сигнала, ни о радиоканале [3].

В этом усовершенствованном детекторе энергии вместо возведения полученной выборки $y_i\left(t\right)$ в квадрат используется произвольная операция с положительной степенью $\rho >1$ модуля этой выборки. По сравнению с обычным детектором положительное влияние нового детектора энергии на характеристики обнаружения может быть вызвано тем фактом, что операция возведения в квадрат в ЭД может привести к занижению составляющей сигнала в выборке при большом SNR и к завышению составляющей сигнала в выборке при малом SNR.

2. Методика расчета оптимизированного значения нормализованного порога

В работе [1] рассмотрено применение УЭД для обнаружения сигнала, удовлетворяющего условиям (1): по обоим вариантам истинности гипотез $H_0$ и $H_1$ принимаемый сигнал является гауссовским, и для каждого вторичного отличается только дисперсией: по гипотезе $H_0$ дисперсия равна ${\sigma }_n^2,$ а по гипотезе $H_1$ дисперсия равняется ${\sigma }_s^2+{\sigma }_n^2.$ После некоторых алгебраических преобразований в [1] получены выражения для Y – плотности случайной величины на выходе УЭД $(Y={\left|y_i\right|}^{\rho })$ по гипотезам $H_0$ и $H_1$ проинтегрировав которые получают согласно [3, (13) и (14)], что соответствует в (2) $P_{\text{лт}}$ – вероятности «ложной тревоги» и в (3) $P_{\text{пц}}$ – вероятности «пропуска цели»:

$P_{\text{лт}}=\underset{\lambda }{\overset{+\infty }{\int }}{f_{\left.Y\right|}}_{H_0}\left(y\right)dy=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{2},\frac{{\lambda }^{2/\rho }}{2{\sigma }_n^2}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)},$ (2)

$P_{\text{пц}}=\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}{f_{\left.Y\right|}}_{H_1}\left(y\right)dy=\frac{\gamma \left(\frac{1}{2},\frac{{\lambda }^{2/\rho }}{2({\sigma }_s^2+{\sigma }_n^2)}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)},$ (3)

где $\Gamma \left(\mathrm{.,.}\right)$ – неполная верхняя гамма-функция [4, с. 60–62]; $\gamma \left(\mathrm{.,.}\right)$ – неполная нижняя гамма-функция [3, с. 60–62].

В литературе по специальным функциям, и частности в [4, с. 70], показана связь неполной гамма-функции с функцией ошибок, именуемой также $erf\left(x\right)\text{:}$

 (4)

В соотношении (4) и далее учтено, что $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }.$

Если ввести в рассмотрение дополнительную функцию ошибок

$erfc\left(x\right)=1-erf\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-t^2}dt,$ (5)

а также учесть, что, согласно [3]:

$erf\left(x\right)=1-\frac{\Gamma \left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt{\pi }}$ (6)

и

$\frac{1}{\sqrt{\pi }}\gamma \left(\frac{1}{2},x^2\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi }}\Gamma \left(\frac{1}{2},x^2\right)=1$ (7)

в конечном итоге получаем для вероятностей (2) и (3) расчетные формулы:

$P_{\text{лт}}\left(x\right)=1-erf\left(x\right),$ (8)

$P_{\text{пц}}=erf\left(\frac{x}{m}\right),$ (9)

где

$x=\frac{{\lambda }^{1/\rho }}{\sqrt{2}}\frac{1}{{\sigma }_n}; m=\sqrt{\frac{{\sigma }_s^2}{{\sigma }_n^2}}+1=\sqrt{SNR+1}.$ (9а)

Результирующая величина ошибочного обнаружения сигнала PU равна:

$P_e=P\left(H_0\right)P_{\text{лт}}\left(x\right)+P\left(H_1\right)P_{\text{пц}}\left(x\right),$ (10)

Поскольку вероятности событий $P\left(H_0\right)+P\left(H_1\right)=1$ и эти вероятности не имеют обоснованных предпосылок задания их численных значений, зададим $P\left(H_0\right)=P\left(H_1\right)=\mathrm{0,5.}$

Тогда (10) может быть записана как

$P_e\left(x\right)=\mathrm{0,5}\left[1-\left(erf\left(x\right)-erf\left(\frac{x}{\sqrt{m}}\right)\right)\right].$ (11)

Для поиска оптимального значения переменной х приравняем к нулю значение первой производной (11):

$\frac{d{P}_e\left(x\right)}{dx}=\mathrm{0,5}\left(-\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}+\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{\frac{-x^2}{m}}\frac{1}{\sqrt{m}}\right)=0.$ (12)

Решая уравнение (12) относительно переменной $x^2,$ после логарифмирования получаем:

$x^2=\frac{m}{m-1}\ln \sqrt{m.}$ (13)

После подстановки (9а) в (13) имеем:

$\frac{{\lambda }^{2/\rho }}{2{\sigma }_n^2}=\frac{SNR+1}{SNR}\ln \sqrt{SNR+1.}$ (14)

По своей природе системы когнитивного радио с динамическим доступом к ресурсам радиочастотного спектра предполагают неравную стоимость или значимость ошибок обнаружения: цена ошибки 2-го рода, т. е. необнаружение первичного пользователя, должна быть выше, чем ошибка ложной тревоги. В этом случае в оптимизируемое выражение, которое интерпретируется как значение среднего риска обнаружения [5; 8], вводятся весовые коэффициенты ошибок: C₁ и C₂ для ошибок первого и второго рода соответственно, учитывающие наряду с вероятностями P(H₀) и P(H₁) показатели цены ошибок (рис.2). Тогда, повторив описанную выше процедуру определения величины порога по критерию минимума среднего риска R(x):

$R\left(x\right)=C_1{P}_{\text{лт}}\left(x\right)+C_2{P}_{\text{пц}}\left(x\right).$ (15)

получаем решение для (15) в следующем виде:

$x^2=\frac{m}{m-1}\left(\frac{1}{2}\ln m+\ln \frac{C_1}{C_2}\right).$ (16)

 

Рис. 2. График зависимости суммарной вероятности ошибки обнаружения от SNR

Fig. 2. Graph of the dependence of the total probability of detection error on SNR

 

Поскольку в большинстве практически важных случаев $C_1>C_2,$ то значение порога имеет смысл только при условии

$\frac{1}{2}\ln m+\ln \frac{C_1}{C_2}>0.$

Заключение

Выражение (14) оптимизированного значения нормализованного порога демонстрирует результаты, идентичные значениям порога решения

${\lambda }_{\text{opt}}={\left[{\sigma }_n^2\left(m\right)\ln \left(m\right)/SNR\right]}^{\frac{\rho }{2}},$

полученного в [6], как частный случай разнесенного приема с селективным комбинированием в релеевском канале. Положив в (14) $\rho =2$ (случай классического энергетического детектора), имеем хорошее совпадение с результатом в [7]. Графики зависимости суммарной вероятности ошибки обнаружения (11) для оптимизированного значения порога (14) в зависимости от SNR приведены на рис. 2.

Об авторах

Сергей Николаевич Елисеев

Московский технический университет связи и информатики

Автор, ответственный за переписку.
Email: fgupnrsnr@yandex.ru
SPIN-код: 7148-4192

доктор технических наук, профессор кафедры теории электрических цепей 

Область научных интересов: когнитивное радио, зондирование спектра, оптимизация суммарной вероятности ошибки обнаружения

Россия, 111024, г. Москва, ул. Авиамоторная, 8а

Наталья Вениаминовна Степанова

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: puhleniw@mail.ru
SPIN-код: 1861-2980

старший преподаватель кафедры радиоэлектронных систем

Область научных интересов: когнитивное радио, зондирование спектра, оптимизация суммарной вероятности ошибки обнаружения

Россия, 443010, г. Самара, ул. Л. Толстого, 23

Список литературы

Дополнительные файлы