Численное исследование влияния погрешности температурных данных на определение фрикционного теплообразования

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

Одним из основных трибологических параметров цилиндрических сопряжений является момент силы трения. Измерение его осуществляется индуктивными датчиками момента трения. Однако не удается получить количественную оценку момента трения в подвижных сопряжениях эксплуатируемой техники и в условиях стендовых испытаний в связи с невозможностью размещения датчиков в компактных реальных узлах. Представляется перспективным определение момента трения по процессам, сопровождающим трение и имеющим прямую корреляцию. Таким процессом является фрикционное теплообразование. Известно, что практически вся энергия, затрачиваемая на трение, трансформируется в теплоту [1-2]. Основываясь на этом факте, определение момента трения сводится к задаче восстановления фрикционного теплообразования по температурным данным. Измерение температур в неподвижных элементах трибосистемы можно осуществить термопарами. Таким образом, момент трения можно определить по параметру, измерение которого существенно проще по сравнению с существующими устройствами непосредственного измерения. Метод, позволяющий определять момент трения по фрикционному теплообразованию, назван методом тепловой диагностики трения [3].

Такие задачи определения причинной характеристики (фрикционного теплообразования) по следственному показателю (температуре) относятся к обратным задачам. Особенностью обратных задач является неустойчивость решения к малым погрешностям исходных данных. Некорректные задачи успешно решаются методами регуляризации [4-12]. Одним из перспективных из них является метод итерационной регуляризации, систематическое изложение которого для решения нелинейных некорректных задач приводится в работах [6-7]. Показано, что «итерационные алгоритмы решения нелинейных некорректных задач, построенные формально по той же схеме, что и для линейных, оказываются вполне работоспособными» [13]. Несмотря на эффективность метода итерационной регуляризации для решения многих нелинейных обратных задач, для его успешного использования актуальным остается проведение вычислительных экспериментов по исследованию влияния погрешности на решение обратных задач в различных постановках.

Метод тепловой диагностики трения разработан для подшипников скольжения, в которых вал вращается с достаточно высокой скоростью, позволяющей принять допущение об однородном распределении температуры по поверхности вала [14]. Расчеты показывают, что при скорости вращения менее 5 рад/с однородность распределения температуры по угловой координате нарушается. В этом случае при математическом моделировании теплового процесса необходимо учитывать скорость движения вала и движущийся контакт вала с полимерной втулкой по зоне трения.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Постановка задачи

Рассмотрим систему подшипников, изображенную на рисунке 1. Здесь стальной вал (1) совершает вращающее движение, упираясь на N подшипников скольжения, состоящих из полимерных втулок (2) и стальных корпусов (3).

Рисунок 1. Модель системы подшипников скольжения: 1 – вал; 2 – втулка; 3 – корпус

Считая теплоотдачу с торцевых частей подшипников ничтожно малой, изменяющиеся во времени их температурные поля описывались двумерными нестационарными уравнениями теплопроводности в полярных координатах:

$C_{ik}\left(T_k\right)\frac{\partial T_k}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{\lambda }_{ik}\left(T_k\right)\frac{\partial T_k}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial \phi }\left({\lambda }_{ik}\left(T_k\right)\frac{\partial T_k}{\partial }\right)$,

$R_{2,k}<r<R_{4,k}, -\pi <\phi <\pi , 0<t\le t_m, k=\overline{1,N}, 1=2,3$, (1)

где i = 2 – для втулки, i = 3 – для обоймы.

Для вала динамика температурного поля описывается трехмерным уравнением теплопроводности с конвективным членом, учитывающим скорость его вращения:

$C_1\left(U\right)\frac{\partial U}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{\lambda }_1\left(U\right)\frac{\partial U}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial \phi }\left({\lambda }_1\left(U\right)\frac{\partial U}{\partial \phi }\right)+\Omega C_1\left(U\right)\frac{\partial U}{\partial \phi }+\frac{\partial }{\partial z}\left({\lambda }_1\left(U\right)\frac{\partial U}{\partial z}\right)$,

$0<r<R_1, -\pi <\phi <\pi , 0<t\le t_m$. (2)

В зонах контакта вала с подшипниками задается условие фрикционного теплообразования:

$\frac{{\lambda }_1\left(U\right)}{d_k}{\int }_{L_{2k-1}}^{L_{2k}}\frac{\partial U\left(r,\phi ,z,t\right)}{\partial r}\overline{){}_{r=R_1}}-{\lambda }_2\left(T_k\right)\frac{\partial T_k\left(r,\phi ,t\right)}{\partial r}\overline{){}_{r=R_{2,k}}}=Q_k\left(\phi ,t\right), \left|\phi \right|\le {\phi }_0$, (3)

$\frac{1}{d_k}{\int }_{L_{2k-1}}^{L_{2k}}U\left(R_1,\phi ,z,t\right)dz=T_k\left(R_{2,k},\phi ,t\right)$. (4)

На свободных поверхностях вала, втулок и обойм задаются граничные условия третьего рода. На концах вала задаются граничные условия Дирихле и III-го рода с коэффициентом теплоотдачи ${\alpha }_1$:

$U(r,\phi ,0,t)=T_0, {\lambda }_1\left(U\right)\frac{\partial U\left(r,\phi ,z,t\right)}{\partial z}\overline{){}_{z=L}}=-{\alpha }_1(U\left(r,\phi ,L,t\right)-T_0)$.. (5)

В центре вала задается условие ограниченности решения:

$\underset{r\to 0}{\lim }\left(r{\lambda }_1\left(U\right)\frac{\partial U}{\partial r}\right)=0$ (6)

По угловой координате выполняются условия периодичности:

$\frac{\partial T_k\left(r,\phi ,t\right)}{\partial \phi }\overline{){}_{\phi =-\mathrm{\pi }}}=\frac{\partial T_k\left(r,\phi ,t\right)}{\partial \phi }\overline{){}_{\phi =\mathrm{\pi }}}, T_k\left(r,-\mathrm{\pi },\mathrm{t}\right)=T_k\left(r,\mathrm{\pi },t\right),$ (7)

$\frac{\partial U\left(r,\phi ,z,t\right)}{\partial \phi }\overline{){}_{\phi =-\mathrm{\pi }}}=\frac{\partial U\left(r,\phi ,z,t\right)}{\partial \phi }\overline{){}_{\phi =\mathrm{\pi }}}, U\left(r,-\mathrm{\pi },z,\mathrm{t}\right)=U\left(r,\mathrm{\pi },z,t\right)$. (8)

Начальное распределение температуры в системе подшипников будем считать однородным и постоянным:

$T_k\left(r,\phi ,0\right)=U\left(r,\phi ,z,0\right)=T_0$ (9)

При известных функциях удельной интенсивности теплообразования Q_k (φ,t), k=1,2,...,N определение температурного поля в системе подшипников по формулам (1) – (9) представляет прямую задачу.

Обратная задача

Обратная задача тепловой диагностики трения заключается в следующем. Требуется определить функции Q_k (φ,t), k=1,2,...,N из системы уравнений (1) – (9) при известной дополнительной температурной информации T_k (R_f ,φ,t)=f_k (φ,t) в окрестности зоны трения. Поставленная задача относится к обратным задачам теплопроводности, одним из эффективных методов решения которых является метод итерационной регуляризации [13], основанный на градиентных методах минимизации функционала:

$J\left[Q_1\left(\phi ,t\right),...,Q_N\left(\phi ,t\right)\right]=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^N{\int }_0^{t_m}{\int }_{-{\phi }_0}^{{\phi }_0}{\left[T_k\left(R_f,\phi ,t\right)-f_k\left(\phi ,t\right)\right]}^{2}d\phi dt$. (10)

Для решения поставленной обратной задачи итерационным методом сопряженных градиентов необходимо определить градиент функционала невязки (10). Градиент функционала определялся решением сопряженной краевой задачи [13].

Согласно методу сопряженных градиентов последовательные приближения Q^S_k (φ,t) для функции Q_k (φ,t) вычисляются по следующей итерационной схеме:

$Q_k^{s+1}\left(\phi ,t\right)=Q_k^s\left(\phi ,t\right)-{\beta }_s{S}_k^s\left(\phi ,t\right), s=0,1,2,...$,

$S_k^s\left(\phi ,t\right)=J{\text{'}}_{Q_k\left(\phi ,t\right)}+{\gamma }_k^s{S}_k^{s-1}\left(\phi ,t\right)$, ${\gamma }_k^0=0, {\gamma }_k^s=\frac{{\int }_0^{t_m}{\int }_{-{\phi }_0}^{{\phi }_0}{\left(J{\text{'}}_{Q_k^s\left(\phi ,t\right)}\right)}^{2}d\phi dt}{{\int }_0^{t_m}{\int }_{-{\phi }_0}^{{\phi }_0}{\left(J{\text{'}}_{Q_k^{s-1}\left(\phi ,t\right)}\right)}^{2}d\phi dt}$

Вычислительные эксперименты

Задача решалась методом конечных разностей с расщеплением по пространственным переменным. Рассматривалась система из 4-х полимерных подшипников скольжения, в которой соседние подшипники равноудалены друг от друга на расстояние 5 см. Расчеты проводились для следующих размеров элементов подшипников: R₁=12, R_2,k=12,5, R_3,k=16, R_4,k=30, d_k=20 мм, k =1,…,4. Зависимости теплофизических характеристик материалов подшипников и вала от температуры определялись по формулам [15]:

${\lambda }_2=0,07\left(T-100\right)/150+0,35 (Вт/\left(м·°C\right))$,

$C_2=\left(6·{10}^{-3}\left(T-30\right)+3\right)·{10}^6 \left(Дж/\left({м}^3·°C\right)\right)$.

${\lambda }_1={\lambda }_3=30,5\left(T-100\right)/150+55,5 \left(Вт/\left(м·°C\right)\right)$,

$C_1=C_3=\left(1,2·{10}^{-3}\left(Т-30\right)+3,7\right)·{10}^6 \left(Дж/{м}^3·°С\right))$

Для того, чтобы разностная схема для уравнения (2) с конвективным членом была устойчива, по критерию Куранта – Фридрихса – Леви определялся шаг по времени, который составил 1/18 секунды при частоте вращения вала 30 об/мин и шаге по угловой координате 5°. Угол контакта вала с подшипниками составлял 60°.

Для исследования влияния погрешностей в температурных данных на решение обратной задачи были решены модельные задачи. Функции удельной интенсивности теплообразования задавались следующими формулами:

$Q_1=6,02·\left|\cos \phi \right|·\raisebox{1ex}{$\left(1,3+\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}\right)$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$P_1$}\right.$; $Q_2=6,02·\left|\cos \phi \right|·\raisebox{1ex}{$\left(1+\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}\right)$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$P_2$}\right.$; $Q_3=6,02·\left|\cos \phi \right|·\raisebox{1ex}{$\left(1+\sqrt{{\displaystyle \frac{t}{t+1}}}\right)$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$P_3$}\right.$; $Q_4=6,02·\left|\cos \phi \right|·\raisebox{1ex}{$\cos {\displaystyle \frac{t}{10}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$P_4$}\right.$;

где P_k=8.10^-5π м², k =1,…,4 площади зоны контактов подшипников с валом.

Точные температурные данные f_k (φ,t), k =1,…,4 при R_f = 0,013 м были получены решением прямой задачи. Поскольку все измерительные приборы имеют некую малую погрешность измерения, ошибки измерения имитировались путем добавления к решению прямой задачи случайных помех с уровнем погрешности 10 %:

$\overline{f_k}\left(\phi ,t\right)=f_k\left(\phi ,t\right)+2∆\left(\sigma \left(t\right)-0,5\right), 0<t\le t_m, k=1,...,4$, (11)

где σ(t) – равномерно распределенная на отрезке [0, 1] случайная функция, Δ – уровень погрешности, равный 10 % от максимальных температур в k-м подшипнике.

При малом временном шаге, полученном из условия устойчивости разностной схемы, решение нелинейной обратной задачи требует большого объема оперативной памяти. На каждой итерации необходимо хранить массивы температур по пространственным переменным и времени. В связи с этим решение обратной задачи исследовалось на временном интервале от 0 до 7 секунд. На рисунке 2 показаны результаты определения функций интенсивности теплообразования по возмущенным температурным данным. Приближение соответствовало восьмой итерации.

Рисунок 2. Сравнение заданных (2) и восстановленных (1) функций удельных интенсивностей теплообразования решением обратной задачи по температурным данным с погрешностями на полном временном интервале: а) в первом подшипнике; б) во втором; в) в третьем; г) в четвертом

Итерационный процесс прекращался по критерию невязки при выполнении условия:

$J\left[Q_1\left(\phi ,t\right),Q_2\left(\phi ,t\right),Q_3\left(\phi ,t\right),Q_4\left(\phi ,t\right)\right]<{\delta }^2, {\delta }^2=\sum _{k=1}^4{\int }_0^{t_m}{\int }_{-{\phi }_0}^{{\phi }_0}{D}_k^2(\phi ,t)d\phi dt$,

где D²_k (φ,t) – дисперсии функций температурных данных $\overline{f_k} (\phi ,t)$, k =1,…,4 с погрешностями.

Вычислительные эксперименты показали, что разработанный алгоритм решения нелинейной обратной задачи позволяет восстанавливать функции фрикционных теплообразований с погрешностью, соизмеримой с ошибками измерения температур.

Исследуем возможность использования предлагаемого алгоритма при длительных испытаниях узла трения эксплуатируемой техники. В модельной задаче функции теплообразования восстанавливались на отрезке времени испытаний путем последовательного определения решений обратных задач на коротких полуинтервалах разбиения времени. Затем найденные функции фрикционного теплообразования склеивались. При этом полученное поле температур в конечный момент времени предыдущего полуинтервала бралось за начальное распределение температуры на последующем полуинтервале времени.

На рисунке 3 представлено сравнение восстановленных и заданных функций удельных интенсивностей теплообразования на полном временном интервале. В качестве дополнительной информации при решении обратной задачи использовались возмущенные температурные данные вида (11).

Рисунок 3. Сравнение заданных (2) и восстановленных (1) функций удельных интенсивностей теплообразования решением обратной задачи по температурным данным с погрешностями на полном временном промежутке с разбиением на полуинтервалы по 3 с: а) – в первом подшипнике; б) – во втором; в) – в третьем; г) – в четвертом

Расчеты показали, что при таком подходе уровень погрешности решения обратной задачи не повышается вследствие накопления ошибок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

Погрешность восстановления функций удельной интенсивности теплообразования составила около 10–15 % при уровне погрешности 10 % в температурных данных. Разработанный алгоритм определения удельной интенсивности теплообразования может быть использован для тепловой диагностики трения при стендовых и эксплуатационных испытаниях узлов трения.

Об авторах

Роман Семенович Тихонов

Автор, ответственный за переписку.
Email: roman_tikhon@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9930-3305
SPIN-код: 1064-3402
Scopus Author ID: 56763891300
ResearcherId: AAF-6352-2021

кандидат технических наук, старший научный сотрудник лаборатории климатических испытаний

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рисунок 1. Модель системы подшипников скольжения: 1 – вал; 2 – втулка; 3 – корпус

Скачать (114KB)

Метаданные

3. Рисунок 2. Сравнение заданных (2) и восстановленных (1) функций удельных интенсивностей теплообразования решением обратной задачи по температурным данным с погрешностями на полном временном интервале: а) в первом подшипнике; б) во втором; в) в третьем; г) в четвертом

Скачать (203KB)

Метаданные

4. Рисунок 3. Сравнение заданных (2) и восстановленных (1) функций удельных интенсивностей теплообразования решением обратной задачи по температурным данным с погрешностями на полном временном промежутке с разбиением на полуинтервалы по 3 с: а) – в первом подшипнике; б) – во втором; в) – в третьем; г) – в четвертом

Скачать (306KB)

Метаданные