Decomposition of spectral expansions of the quadratic lyapunov function on state-space variables

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Spectral decomposition of the quadratic Lyapunov function is already known. The modal contribution and modal interaction are the main components of this decomposition, which form the basis of Lyapunov modal analysis. This paper presents the results of a further expansion of these spectral components into individual state variables and into their pairwise combinations. The obtained result can also be considered as a decomposition of the quadratic Lyapunov function not only by elements of the spectrum of the dynamical system (by modes), but also by elements of the state space. On the basis of the proposed decomposition method, new Lyapunov modal analysis indices are formulated, which allow one to evaluate the contribution of individual eigenvalues or their pairwise interaction, but in connection only with the part of the external perturbation that is associated with a particular state variable or a pair of such variables. This, in particular, makes it possible to comprehensively evaluate the joint influence of both the mode and the associated state variable on the energy of the system output signal. It is assumed that the main area of application of the new decompositions will be related to the problems of the model order reduction of the large dynamical systems.

About the authors

Evgeniy Yur'evich Kutyakov

V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RAS

Email: evgeniykutyakov@gmail.com
Moscow

References

  1. ЯДЫКИН И.Б. О свойствах грамианов непрерывных си-стем управления // Автоматика и телемеханика. – 2010. –№6. – С. 39–50.
  2. ЯДЫКИН И.Б., ГАЛЯЕВ А.А. О методах вычисления гра-мианов и их использовании в анализе линейных динамиче-ских систем // Автоматика и телемеханика. – 2013. – №2. –С. 53–74.
  3. ЯДЫКИН И.Б., ИСКАКОВ А.Б. Спектральные разложениядля решений уравнений Сильвестра - Ляпунова - Крейна //Доклады академии наук. – 2017. – Т. 472, №4. – С. 388–392.
  4. AHMAD A.M., DE ABREU-GARCIA J.A. Continuous timeand discrete time Lyapunov equations: review and newdirections // Control and Dynamic Systems – 1996. – Vol. 74. –P. 253–307.
  5. BOUKHOUIMA A., HATTAF K., LOTFI E.M. et al. Lyapunovfunctions for fractional-order systems in biology: Methods andapplications // Chaos, Solitons & Fractals. – 2020. – Vol. 140. –P. 110224.
  6. BROCKETT R.W. Finite Dimensional Linear Systems – NewYork:Wiley, 1970. – 244 p.
  7. CHEN C., WANG X.W., LIU Y.Y Stability of ecologicalsystems: A theoretical review // Physics Reports. – 2024. –Vol. 1088. – P. 1–41.
  8. TANECO-HERNANDEZ M.A., VARGAS-DE-LEON C.Stability and Lyapunov functions for systems withAtangana–Baleanu Caputo derivative: An HIV/AIDS epidemicmodel // Chaos, Solitons & Fractals. – 2020. – Vol. 132. –P. 109586.
  9. ISKAKOV A.B., KUTYAKOV E.Y., KATAEV D.E. Locatingthe source of forced oscillations on the basis of Lyapunov modalanalysis // IFAC-PapersOnLine. – 2024. – Vol. 58, No. 13. –P. 685–690.
  10. ISKAKOV A.B., KUTYAKOV E.Y., TOMIN N.V. et al.Estimation of the location of inter-area oscillations and theirinteractions in electrical power systems using Lyapunov modalanalysis // Int. J. of Electrical Power & Energy Systems. –2023. – Vol. 153. – P. 109374.
  11. ISKAKOV A.B., TOMIN N.V., YADYKIN I.B. et al. SelectiveLQ wide area damping of power networks based on the spectraldecomposition of Gramians // IFAC-PapersOnLine. – 2022. –Vol. 55, No. 9. – P. 152–157.
  12. ISKAKOV A.B., YADYKIN I.B. Lyapunov modal analysis andparticipation factors applied to small-signal stability of powersystems // Automatica. – 2021. – Vol. 132. – P. 109814.
  13. KUNDUR P. Power system stability and control – New York:McGraw-Hill, 1994. – 1200 p.
  14. KUTYAKOV E.Y., DUSHIN S.V., ABRAMENKOV A.N.et al. Quadratic approximation of nonlinear models of thesynchronous machine using the bilinear representation // Proc.of the 13th Int. Conf. «Management of Large-Scale SystemDevelopment» (MLSD). – 2020.
  15. LI F., ZHENG W.X., XU S. et al. A novel e-dependent Lyapunovfunction and its application to singularly perturbed systems //Automatica. – 2021. – Vol. 133. – P. 109749.
  16. LI J., CHEN Y., XI X. et al. An analytical approach toapplying the Lyapunov direct method to an epidemic modelwith age and stage structures // Nonlinear Analysis: Real WorldApplications. – 2025. – Vol. 84. – P. 104312.
  17. LIU L., LIU Y.J., LI D. et al. Barrier Lyapunov Function-BasedAdaptive Fuzzy FTC for Switched Systems and Its Applicationsto Resistance–Inductance–Capacitance Circuit System // IEEETrans. on Cybernetics. – 2020. – Vol. 50, No. 8. – P. 3491–3502.
  18. MAGHENEM M., POSTOYAN R., LORIA A. et al. Lyapunov-based synchronization of networked systems: From continuous-time to hybrid dynamics // Annual Reviews in Control. – 2020. –Vol. 50. – P. 335–342.
  19. MASON P., CHITOUR Y., SIGALOTTI M. On universalclasses of Lyapunov functions for linear switched systems //Automatica. – 2023. – Vol. 155. – P. 111155.
  20. PEREZ-ARRIAGA I.J., VERGHESE G.C., SCHWEPPE F.C.Selective modal analysis with applications to electric powersystems, part I: heuristic introduction // IEEE Trans. on PowerApparatus and Systems. – 1982. – Vol. PAS-101, No. 9. –P. 3117–3125.
  21. RUEDA-ESCOBEDO J.G., MORENO J.A. Strong Lyapunovfunctions for two classical problems in adaptive control //Automatica. – 2021. – Vol. 124. – P. 109250.
  22. SUN W., SU S.F., WU Y. et al. Adaptive Fuzzy ControlWith High-Order Barrier Lyapunov Functions for High-OrderUncertain Nonlinear Systems With Full-State Constraints //IEEE Trans. on Cybernetics. – 2020. – Vol. 50, No. 8. –P. 3424–3432.
  23. ZHANG R., REN X. Lyapunov functions for some epidemicmodel with high risk and vaccinated class // AppliedMathematics Letters. – 2025. – Vol. 163. – P. 109437.
  24. ZHOU P., HU X., ZHU Z. et al. What is the most suitableLyapunov function? // Chaos, Solitons & Fractals. – 2021. –Vol. 150. – P. 111154.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».