Неравенство лордена и скорость сходимости распределения одной обобщённой системы массового обслуживания эрланга – севастьянова

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Во многих прикладных задачах теории надежности и массового обслуживания очень важно не только доказывать существование стационарного распределения, но и уметь оценивать скорость сходимости распределения к стационарному. Стандартные методы получения таких оценок предполагают, что времена обслуживания (ремонта или работы) экспонециальны, входящий поток -- пуассоновский и все формирующие процесс обслуживания (надёжности) случайные величины (сл.в.) независимы. Результаты для таких простейших случаев хорошо известны. Отказ от предположений независимости и экспоненциальности этих сл.в. приводит к довольно сложным случайным процессам, которые очень трудно изучать с помощью стандартных процедур. Для таких процессов нужно использовать более сложную технику. Для этого потребуется некоторое обобщение (и доказательство) ряда известных результатов. Один из таких результатов -- обобщённое неравенство Лордена, используемое в данной статье. "Классическое" неравенство Лордена касается "классических" процессов восстановления. В работе используется обобщение этого неравенства для случая "слабо зависимых" и имеющих в некотором смысле "близкие" распределения интервалов между моментами восстановления. Такое обобщение позволяет изучать скорость сходимости для широкого класса сложных процессов в ТМО и в смежных дисциплинах. В данной работе изучается одна обобщённая система массового обслуживания Эрланга -- Севастьянова.

Об авторах

Галина Александровна Зверкина

ФГБУН Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: zverkina@gmail.com
Москва

Список литературы

  1. Аничкин С. А. Склеивание процессов восстановления и его применение // Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара. – 1984. – М.: ВНИИСИ. – С. 4–24.
  2. Борисов И. С. Методы одного вероятностного пространства для марковских процессов // Тр. Ин-та математики. – 1982. – Т. 1. – С. 4–18.
  3. Боровков А. А. Обобщенные процессы восстановления. – М.: Российская академия наук, 2020. – 453 с.
  4. Севастьянов Б. А. Формулы Эрланга в телефонии при произвольном законе распределения длительности разговора // Труды Третьего Всесоюзного математического съезда, Москва, июнь–июль 1956. – 1959. – Т. 4. – М.: Изд-во АН СССР. – С. 121–135.
  5. Севастьянов Б. А. Эргодическая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным системам с отказами // Теория вероятн. и ее примен. – 1957. – Т. 2, вып. 1. – С. 106–116.
  6. Шелепова А. Д., Саханенко А. И. Об асимптотике вероятности невыхода неоднородного обобщенного процесса восстановления за невозрастающую границу // Сиб. электрон. матем. изв. – 2021. – Т. 18:2. – С. 1667–1688.
  7. Afanasyeva L. G., Tkachenko A. V. On the convergence rate for queueing and reliability models described by regenerative processes // Journal of Mathematical Sciences. – 2016. – Vol. 218, Issue 2. – P. 119–136.
  8. Asmussen S. Applied Probability and Queues. – New York: Springer, 2003.
  9. Chang J. T. Inequalities for the overshoot // The Annals of Applied Probability. – 1994. – Vol. 4(4). – P. 1223.
  10. Doeblin W. Exposé de la théorie des chaînes simples constantes de Markov à un nombre fini d’états // Rev. Math. de l’Union Interbalkanique. – 1938. – Vol. 2. – P. 77–105.
  11. Erlang A. K. Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in automatic telephone exchanges // Elektroteknikeren. – 1917. – Vol. 13. – P. 5–13 (in Danish); Engl. transl.: P. O. Elect. Eng. Journal. – 1918. – Vol. 10. – P. 189–197; Reprinted as: WEB-based edition by permission from the Danish Acad. Techn. Sci. at http://oldwww.com.dtu.dk/teletraffic/Erlang.html.
  12. Ferreira M. A., Andrade M. The M|G|∞ queue busy period distribution exponentiality // Journal of Applied Mathematics. – 2011. – Vol. 4, No. 3. – P. 249–260.
  13. Fortet R. Calcul des probabilités. – Paris: CNRS, 1950.
  14. Griffeath D. A maximal coupling for Markov chains // Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. – 1975. – Vol. 31, Iss. 2. – P. 95–106.
  15. Kalashnikov V. V. Mathematical Methods in Queuing Theory. – Amsterdam: Kluwer Academic Publishers, 1994.
  16. Kalimulina E., Zverkina G. On some generalization of Lorden’s inequality for renewal processes // arXiv.org. – Cornell: Cornell University Library. – 2019. – 1910.03381v1. – P. 1–5.
  17. Kato K. Coupling lemma and its application to the security analysis of quantum key distribution // Tamagawa University Quantum ICT Research Institute Bulletin. – 2014. – Vol. 4, No. 1. – P. 23–30.
  18. Lorden G. On excess over the boundary // The Annals of Mathematical Statistics. – 1970. – Vol. 41(2). – P. 520–527.
  19. Pechinkin A. V. On an invariant queueing system // Math. Operationsforsch. Statist. Ser. Optim. – 1983. – Vol. 14(3). – P. 433–444.
  20. Pechinkin A. V., Solovyev A. D., Yashkov S. F. A system with servicing discipline whereby the order of minimum remaining length is serviced first // Eng. Cybern. – 1979. – Vol. 17(5). – P. 38–45.
  21. Smith W. L. Renewal theory and its ramifications // J. Roy. Statist. Soc. – 1958. – Ser. B, Vol. 20:2. – P. 243–302.
  22. Stadje W. The busy period of the queueing system M|G|∞ // Journal of Applied Probability. – 1985. – Vol. 22. – P. 697–704.
  23. Stoyan D. Qualitative Eigenschaften und Abschätzungen stochastischer Modelle. – Berlin, 1977.
  24. Takács L. Introduction to the Theory of Queues. – Oxford University Press, 1962.
  25. Van Doorn E. A., Zeifman A. I. On the speed of convergence to stationarity of the Erlang loss system // Queueing Systems. – 2009. – Vol. 63. – P. 241–252.
  26. Veretennikov A. Yu. On rate of convergence to the stationary distribution in queueing systems with one serving device // Automation and Remote Control. – 2013. – Vol. 74, Iss. 10. – P. 1620–1629.
  27. Veretennikov A. Yu. On the rate of mixing and convergence to a stationary distribution in Erlang-type systems in continuous time // Problems Inf. Transmiss. – 2010. – Vol. 46(4). – P. 382–389.
  28. Veretennikov A. Yu. The ergodicity of service systems with an infinite number of servomechanisms // Математические заметки. – 1977. – Vol. 22(4). – P. 804–808.
  29. Veretennikov A., Butkovsky O. A. On asymptotics for Vaserstein coupling of Markov chains // Stochastic Processes and their Applications. – 2013. – Vol. 123(9). – P. 3518–3541.
  30. Veretennikov A. Yu., Zverkina G. A. Simple proof of Dynkin’s formula for single-server systems and polynomial convergence rates // Markov Proc. Rel. Fields. – 2014. – Vol. 20, Iss. 3. – P. 479–504; arXiv:1306.2359 [math.PR] (2013).
  31. Zverkina G. On strong bounds of rate of convergence for regenerative processes // Communications in Computer and Information Science. – 2016. – Vol. 678. – P. 381–393.
  32. Zverkina G. Lorden’s inequality and coupling method for backward renewal process // Proc. of XX Int. Conf. on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN–2017, Moscow). – 2017. – P. 484–491.
  33. Zverkina G. On strong bounds of rate of convergence for regenerative processes // Communications in Computer and Information Science. – 2016. – Vol. 678. – P. 381–393.
  34. Zverkina G. About some extended Erlang–Sevast’yanov queueing system and its convergence rate (English and Russian versions) // https://arxiv.org/abs/1805.04915; Фундаментальная и прикладная математика. – 2018. – №22, Iss. 3. – P. 57–82.
  35. Zverkina G., Kalimulina E. On generalized intensity function and its application to the backward renewal time estimation for renewal processes // Proc. of the 5th Int. Conf. on Stochastic Methods (ICSM–5, 2020). – М.: Изд-во РУДН, 2020. – P. 306–310.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать


Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).