Начальная задача для уравнения дробного порядка с производной Герасимова–Капуто с инволюцией

Полный текст

1. Введение

Рассмотрим уравнение

${\partial }_{0x}^{\alpha }u\left(x\right)-\lambda I_{x}u\left(x\right)=f\left(x\right),$   (1)

где ${\partial }_{0x}^{\alpha }$ – дробная производная Герасимова–Капуто порядка $\alpha (0<\alpha <1), I_x$ – оператор инволюции, $f\left(x\right)$ – заданная, а $u\left(x\right)$ – искомая функции. Уравнение (1) будем рассматривать в интервале $0<x<1$.

Производные Римана–Лиувилля и Герасимова–Капуто порядка $\alpha \in ]0,1[$ с началом в точке $x=0$ задаются, соответственно, равенствами [1]

$D_{0x}^{\alpha }g\left(x\right)={\frac{d}{dxD}}_0{D}_{0x}^{\alpha -1}g\left(x\right)$ и $D_{0x}^{\alpha }g\left(x\right)={\frac{d}{dxD}}_0{D}_{0x}^{\alpha -1}g\text{'}\left(x\right)$

где $D_{0x}^{\alpha -1}$ – дробный интеграл Римана–Лиувилля [1],

$D_{{}_{0x}}^{-\beta } u\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\beta \right)}{\int }_0^{x}u\left(t\right)(x-t{)}^{\beta -1}dt (\beta >0)$ .

Отметим, что производная Римана–Лиувилля и производная Герасимова–Капуто связаны соотношением [1]

${\partial }_{0x}^{\alpha }g\left(x\right)=D_{0x}^{\alpha }\left[g\right(x)-g(0\left)\right] (0<\alpha <1)$.

Это соотношение несколько расширяет область определения оператора ${\partial }_{0x}^{\alpha }$, и в дальнейшем мы именно его рассматриваем в качестве определения этого оператора.

Оператор инволюции $I_x$ для функции $g\left(x\right)$, заданной на отрезке $[0,1]$, определяется соотношением

$I_{x}g\left(x\right)≔g(1-x)$.

Уравнение (1) относится к классу обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка с инволюцией. Необходимость исследовать такие уравнения возникает, в частности, при решении уравнений, содержащих композиции производных дробного порядка с различными началами, которые, в свою очередь, выступают основой при моделировании различных физических и геофизических процессов. Так, в работе [2] был предложен подход к решению краевых задач для уравнений дробного порядка, содержащих композицию лево- и правосторонних производных дробного порядка в смысле Римана–Лиувилля и Герасимова–Капуто, возникающих при моделировании диссипативных колебательных систем [3–8], основанный на редукции изучаемых задач к исследованию уравнений дробного порядка с инволюцией. В работе [9]  рассмотрено  уравнение  вида  (1)  с производной Римана–Лиувилля. В частности, найдено фундаментальное решение, построено представление решения исследуемой задачи.

В настоящей работе, используя результаты работы [9], мы решаем начальную задачу для уравнения (1), доказываем теорему существования и единственности рассматриваемой задачи и в терминах фундаментального решения, найденного в работе [9], строим явное представление решения.

2. Постановка задачи и вспомогательные утверждения

Регулярным решением уравнения (1) будем называть функцию $u\left(x\right)\in AC[0,1]$ удовлетворяющую уравнению (1) во всех точках интервала $]0,1[$. Здесь, как обычно, $AC[0,1]$ будет обозначать пространство абсолютно непрерывных на отрезке $[0,1]$ функций.

Начальная задача формулируется следующим образом: найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

$u\left(0\right)=u_0.$  (2)

Рассмотрим функцию $F_{\alpha ,\lambda }(x,t)$, которая определяется [9] как решение интегрального уравнения

$F_{\alpha ,\lambda }(x,t)=\lambda Q_x^{\alpha }{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t)+q_0(x,t) (0<x,t<1),$  (3)

где оператор  $Q_x^{\alpha }$ и функция $q_0(x,t)$ задаются соответственно равенствами

$Q_x^{\alpha }:=D_{0x}^{-\alpha }{I}_x$

и

 

$q_0(x,t)≔\frac{{(x-t)}_{+}^{\alpha -1}}{\Gamma \left(\alpha \right)}$

Здесь и далее

$z_{+}^{\mu }≔\left\{\begin{array}{l}{z}^{\mu }, при z>0\\ 0, при z=0\end{array}\right. (\mu \in R)$

В работе [9] показано, что оператор $Q_x^{\alpha }$ можно представить в виде

$Q_x^{\alpha }g\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\int }_{1-x}^1{(s+x-1)}^{\alpha -1} g\left(s\right)ds$ ,

и, кроме того, справедливо включение

$Q_x^{\alpha }\left(L\right[0,1\left]\right)\subset L[0,1]$

Примем следующие обозначения:

$\Vert g\left(x\right){\Vert }_{(a,\mu )}≔\underset{[0,1]}{sup}\frac{\left|g\right(x\left)\right|}{|x-a{|}^{-\mu }+|x+a-1{|}^{-\mu }}$

и

$M_a^{\mu }[0,1]≔\left\{g\right(x)\in C([0,1] \backslash \{a,1-a\}): {\Vert g\left(x\right)\Vert }_{(a,\mu ) }<\infty \}$

Определение. Множество всех $\lambda \in \mathrm{ℂ}$ , для которых уравнение

 $g\left(x\right)=\lambda Q_x^{\alpha }g\left(x\right) (0<x<1)$

не имеет в пространстве $M_t^{1-\alpha }[0,1]$  для всех $t\in [0,1]$ отличных от тождественного нуля решений, обозначим через $S_{\alpha }$ .

Как доказано в [9], принадлежность $\lambda$ множеству $S_{\alpha }$ гарантирует однозначную разрешимость уравнения (3) и существование функции $F_{\alpha ,\lambda }(x,t)$.

В работе [9], в частности, показано, что

$\left\{\lambda \in \mathrm{ℂ}:\left|\lambda \right|<\frac{1}{C_{\alpha }}\right\}\subset S_{\alpha }$ ,

где

$C_{\alpha }=\frac{1}{\Gamma (\alpha +1)}+\frac{\Gamma \left(\alpha \right)}{\Gamma \left(2\alpha \right)}$ .

Таким образом, неравенство $\left|\lambda \right|<\frac{1}{C_{\alpha }}$ является достаточным условием существования функции $F_{\alpha ,\lambda }(x,t)$.

3. Основной результат

Пусть $u\left(x\right)$ – регулярное решение задачи (1), (2). Принимая во внимание определения операторов дробного дифференцирования (см. Введение) и условие (2), можем записать

${\partial }_{0x}^{\alpha }u\left(x\right)=D_{0x}^{\alpha }\left[u\right(x)-u(0\left)\right]=D_{0x}^{\alpha }u\left(x\right)-\frac{u_0{x}^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )} .$ (4)

С учетом (4) уравнение (1) примет вид

$D_{0x}^{\alpha }u\left(x\right)-\lambda I_{x}u\left(x\right)=f\left(x\right)+\frac{u_0{x}^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )} .$(5)

Принимая во внимание непрерывность регулярного решения вплоть до нуля, имеем

$\underset{x\to 0}{lim} D_{0x}^{\alpha -1}u\left(x\right)=0.$  (6)

Таким образом, мы показали, что всякое регулярное решение задачи (1), (2) является решением задачи (5), (6). Теперь, если $\lambda \in C_{\alpha }$ и $f\left(x\right)\in M_0^{(}1-\alpha \left)\right[0,1]$, то, как показано в [9], решение задачи (5), (6) и, следовательно, решение задачи (1), (2) имеет вид

$u\left(x\right)={\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t)\left[f\right(t)+\frac{u_0{t}^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )} dt=$

$={\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t)f\left(t\right) dt+\frac{u_0}{\Gamma (1-\alpha )}{\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t)t^{-\alpha } dt$

Нетрудно заметить, что

$\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )}{\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t)t^{-\alpha } dt=[D_1{t}^{\alpha -1} F_{\alpha ,\lambda }(x,t){]}_{t=0}$ ,

где

$D_{1t}^{\alpha -1}g\left(t\right)≔\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )}{\int }_t^{1}g\left(s\right)(s-t{)}^{-\alpha } ds$

– (правосторонний) дробный интеграл Римана–Лиувилля порядка $1-\alpha$ с началом в точке $t=1$.

Теорема. Пусть $\lambda \in C_{\alpha }$ , $\alpha \in [0,1]$  и $f\left(x\right)\in C[0,1]$ . Тогда регулярное решение задачи (1), (2) существует, единственно и имеет вид

$u\left(x\right)=u_0\left[D_{1t}^{\alpha -1}{F}_{\alpha ,\lambda }\right(x,t){]}_{t=0}+{\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t\left)f\right(t) dt.$  (7)

Доказательство. Тот факт, что регулярное решение задачи (1), (2), в случае его существования, имеет вид (7), следует из рассуждений, приведенных перед формулировкой теоремы. Отсюда, в частности, в силу линейности задачи (1), (2) следует единственность решения.

Докажем, что функция $u\left(x\right)$, представимая в виде (7), является решением задачи (1), (2). Примем обозначения

$G_0\left(x\right)≔\left[D_{tx}^{\alpha -1}{F}_{\alpha ,\lambda }\right(x,t){]}_{t=0} и G_f(x)≔{\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t\left)f\right(t) dt.$  (8)

Рассмотрим функцию

$G(x,t)=D_{1t}^{\alpha -1}{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t).$   (9)

С учетом обозначения (9), подействовав на обе части равенства (3), имеем

$G(x,t)=\lambda Q_x^{\alpha }G(x,t)+D_{1t}^{\alpha -1}{q}_0(x,t)$

Нетрудно заметить, что

$D_{1t}^{\alpha -1}{q}_0(x,t)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)\Gamma (1-\alpha )}{\int }_t^1(x-s{)}_{+}^{\alpha -1}(s-t{)}^{-\alpha } ds$

Отсюда следует, что $D_{1t}^{\alpha -1}{q}_0(x,t)=0$, если $x\le t$ и

$D_{1t}^{\alpha -1}{q}_0(x,t)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)\Gamma (1-\alpha )}{\int }_t^x{(x-s)}^{\alpha -1} {(s-t)}^{-\alpha } ds=1$

если $x>t$. То есть

$D_{1t}^{\alpha -1}{q}_0(x,t)=H(x-t),$

где $H\left(z\right)$ – функция Хевисайда,

$H\left(z\right):=\left\{\begin{array}{l}0, если z\le 0,\\ 1, если z>0.\end{array}\right.$

Таким образом, функция $G(x,t)$ является решением уравнения

$G(x,t)=\lambda Q_x^{\alpha }G(x,t)+H(x-t)$ .

И, в частности,

$G(x,0)=\lambda Q_x^{\alpha }G(x,0)+1$ .

Отсюда следует, что

$\underset{x\to 0}{lim}G(x,0)=1$

и с учетом (4)

${\partial }_{0x}^{\alpha }G(x,0)=D_{0x}^{\alpha }\left[G\right(x,0)-1]=\lambda I_{x}G(x,0)$ .

Принимая во внимание обозначения (8) и (9), нетрудно заметить, что $G_0\left(x\right)=G(x,0)$. Таким образом, получаем, что функция $G_0\left(x\right)$ является решением исследуемой задачи для однородного уравнения:

${\partial }_{0x}^{\alpha }{G}_0\left(x\right)-\lambda I_x{G}_0\left(x\right)=0, G_0\left(0\right)=1.$  (10)

Далее, в силу свойств $F_{\alpha ,\lambda }(x,t)$ (см. лемму 4, а также формулу (24) в [9]) имеем

$G_f\left(0\right)=0$

и, принимая во внимание (4), получаем

$$\begin{gathered} {\partial }_{0x}^{\alpha }{G}_f\left(x\right)=D_{0x}^{\alpha }{G}_f\left(x\right)=\frac{\lambda d}{dx}{\int }_0^1\left[D_{0x}^{-1}{I}_x{F}_{\alpha ,\lambda }\right(x,t)-H(x-t\left)\right]f\left(t\right) dt= \\ =\lambda {\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(1-x,t)f\left(t\right) dt+f\left(x\right)=\lambda I_x{G}_f\left(x\right)+f\left(x\right). \end{gathered}$$

Таким образом, $G_f\left(x\right)$ является решением задачи

${\partial }_{0x}^{\alpha }{G}_f\left(x\right)-\lambda I_x{G}_f\left(x\right)=f\left(x\right), G_f\left(0\right)=0.$  (11)

Из (10) и (11), с учетом обозначений (8), следует, что функция $u\left(x\right)$, определенная равенством (7), является искомым решением задачи (1), (2). Это завершает доказательство теоремы.

Заключение

В работе для рассматриваемого уравнения исследована начальная задача в единичном интервале. Доказана теорема существования и единственности решения исследуемой задачи, построено явное представление решения.

Об авторах

Л. М. Энеева

Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук

Автор, ответственный за переписку.
Email: Eneeva72@list.ru
ORCID iD: 0000-0003-2530-5022
SPIN-код: 3403-8412

Институт прикладной математики и автоматизации, канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. отдела математического моделирования геофизических процессов

Россия, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А

Список литературы

Дополнительные файлы