Initial value problem for a fractional order equation with the Gerasimov–Caputo derivative with involution

Full Text

1. Введение

Рассмотрим уравнение

${\partial }_{0x}^{\alpha }u\left(x\right)-\lambda I_{x}u\left(x\right)=f\left(x\right),$   (1)

где ${\partial }_{0x}^{\alpha }$ – дробная производная Герасимова–Капуто порядка $\alpha (0<\alpha <1), I_x$ – оператор инволюции, $f\left(x\right)$ – заданная, а $u\left(x\right)$ – искомая функции. Уравнение (1) будем рассматривать в интервале $0<x<1$.

Производные Римана–Лиувилля и Герасимова–Капуто порядка $\alpha \in ]0,1[$ с началом в точке $x=0$ задаются, соответственно, равенствами [1]

$D_{0x}^{\alpha }g\left(x\right)={\frac{d}{dxD}}_0{D}_{0x}^{\alpha -1}g\left(x\right)$ и $D_{0x}^{\alpha }g\left(x\right)={\frac{d}{dxD}}_0{D}_{0x}^{\alpha -1}g\text{'}\left(x\right)$

где $D_{0x}^{\alpha -1}$ – дробный интеграл Римана–Лиувилля [1],

$D_{{}_{0x}}^{-\beta } u\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\beta \right)}{\int }_0^{x}u\left(t\right)(x-t{)}^{\beta -1}dt (\beta >0)$ .

Отметим, что производная Римана–Лиувилля и производная Герасимова–Капуто связаны соотношением [1]

${\partial }_{0x}^{\alpha }g\left(x\right)=D_{0x}^{\alpha }\left[g\right(x)-g(0\left)\right] (0<\alpha <1)$.

Это соотношение несколько расширяет область определения оператора ${\partial }_{0x}^{\alpha }$, и в дальнейшем мы именно его рассматриваем в качестве определения этого оператора.

Оператор инволюции $I_x$ для функции $g\left(x\right)$, заданной на отрезке $[0,1]$, определяется соотношением

$I_{x}g\left(x\right)≔g(1-x)$.

Уравнение (1) относится к классу обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка с инволюцией. Необходимость исследовать такие уравнения возникает, в частности, при решении уравнений, содержащих композиции производных дробного порядка с различными началами, которые, в свою очередь, выступают основой при моделировании различных физических и геофизических процессов. Так, в работе [2] был предложен подход к решению краевых задач для уравнений дробного порядка, содержащих композицию лево- и правосторонних производных дробного порядка в смысле Римана–Лиувилля и Герасимова–Капуто, возникающих при моделировании диссипативных колебательных систем [3–8], основанный на редукции изучаемых задач к исследованию уравнений дробного порядка с инволюцией. В работе [9]  рассмотрено  уравнение  вида  (1)  с производной Римана–Лиувилля. В частности, найдено фундаментальное решение, построено представление решения исследуемой задачи.

В настоящей работе, используя результаты работы [9], мы решаем начальную задачу для уравнения (1), доказываем теорему существования и единственности рассматриваемой задачи и в терминах фундаментального решения, найденного в работе [9], строим явное представление решения.

2. Постановка задачи и вспомогательные утверждения

Регулярным решением уравнения (1) будем называть функцию $u\left(x\right)\in AC[0,1]$ удовлетворяющую уравнению (1) во всех точках интервала $]0,1[$. Здесь, как обычно, $AC[0,1]$ будет обозначать пространство абсолютно непрерывных на отрезке $[0,1]$ функций.

Начальная задача формулируется следующим образом: найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

$u\left(0\right)=u_0.$  (2)

Рассмотрим функцию $F_{\alpha ,\lambda }(x,t)$, которая определяется [9] как решение интегрального уравнения

$F_{\alpha ,\lambda }(x,t)=\lambda Q_x^{\alpha }{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t)+q_0(x,t) (0<x,t<1),$  (3)

где оператор  $Q_x^{\alpha }$ и функция $q_0(x,t)$ задаются соответственно равенствами

$Q_x^{\alpha }:=D_{0x}^{-\alpha }{I}_x$

и

 

$q_0(x,t)≔\frac{{(x-t)}_{+}^{\alpha -1}}{\Gamma \left(\alpha \right)}$

Здесь и далее

$z_{+}^{\mu }≔\left\{\begin{array}{l}{z}^{\mu }, при z>0\\ 0, при z=0\end{array}\right. (\mu \in R)$

В работе [9] показано, что оператор $Q_x^{\alpha }$ можно представить в виде

$Q_x^{\alpha }g\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\int }_{1-x}^1{(s+x-1)}^{\alpha -1} g\left(s\right)ds$ ,

и, кроме того, справедливо включение

$Q_x^{\alpha }\left(L\right[0,1\left]\right)\subset L[0,1]$

Примем следующие обозначения:

$\Vert g\left(x\right){\Vert }_{(a,\mu )}≔\underset{[0,1]}{sup}\frac{\left|g\right(x\left)\right|}{|x-a{|}^{-\mu }+|x+a-1{|}^{-\mu }}$

и

$M_a^{\mu }[0,1]≔\left\{g\right(x)\in C([0,1] \backslash \{a,1-a\}): {\Vert g\left(x\right)\Vert }_{(a,\mu ) }<\infty \}$

Определение. Множество всех $\lambda \in \mathrm{ℂ}$ , для которых уравнение

 $g\left(x\right)=\lambda Q_x^{\alpha }g\left(x\right) (0<x<1)$

не имеет в пространстве $M_t^{1-\alpha }[0,1]$  для всех $t\in [0,1]$ отличных от тождественного нуля решений, обозначим через $S_{\alpha }$ .

Как доказано в [9], принадлежность $\lambda$ множеству $S_{\alpha }$ гарантирует однозначную разрешимость уравнения (3) и существование функции $F_{\alpha ,\lambda }(x,t)$.

В работе [9], в частности, показано, что

$\left\{\lambda \in \mathrm{ℂ}:\left|\lambda \right|<\frac{1}{C_{\alpha }}\right\}\subset S_{\alpha }$ ,

где

$C_{\alpha }=\frac{1}{\Gamma (\alpha +1)}+\frac{\Gamma \left(\alpha \right)}{\Gamma \left(2\alpha \right)}$ .

Таким образом, неравенство $\left|\lambda \right|<\frac{1}{C_{\alpha }}$ является достаточным условием существования функции $F_{\alpha ,\lambda }(x,t)$.

3. Основной результат

Пусть $u\left(x\right)$ – регулярное решение задачи (1), (2). Принимая во внимание определения операторов дробного дифференцирования (см. Введение) и условие (2), можем записать

${\partial }_{0x}^{\alpha }u\left(x\right)=D_{0x}^{\alpha }\left[u\right(x)-u(0\left)\right]=D_{0x}^{\alpha }u\left(x\right)-\frac{u_0{x}^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )} .$ (4)

С учетом (4) уравнение (1) примет вид

$D_{0x}^{\alpha }u\left(x\right)-\lambda I_{x}u\left(x\right)=f\left(x\right)+\frac{u_0{x}^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )} .$(5)

Принимая во внимание непрерывность регулярного решения вплоть до нуля, имеем

$\underset{x\to 0}{lim} D_{0x}^{\alpha -1}u\left(x\right)=0.$  (6)

Таким образом, мы показали, что всякое регулярное решение задачи (1), (2) является решением задачи (5), (6). Теперь, если $\lambda \in C_{\alpha }$ и $f\left(x\right)\in M_0^{(}1-\alpha \left)\right[0,1]$, то, как показано в [9], решение задачи (5), (6) и, следовательно, решение задачи (1), (2) имеет вид

$u\left(x\right)={\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t)\left[f\right(t)+\frac{u_0{t}^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )} dt=$

$={\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t)f\left(t\right) dt+\frac{u_0}{\Gamma (1-\alpha )}{\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t)t^{-\alpha } dt$

Нетрудно заметить, что

$\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )}{\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t)t^{-\alpha } dt=[D_1{t}^{\alpha -1} F_{\alpha ,\lambda }(x,t){]}_{t=0}$ ,

где

$D_{1t}^{\alpha -1}g\left(t\right)≔\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )}{\int }_t^{1}g\left(s\right)(s-t{)}^{-\alpha } ds$

– (правосторонний) дробный интеграл Римана–Лиувилля порядка $1-\alpha$ с началом в точке $t=1$.

Теорема. Пусть $\lambda \in C_{\alpha }$ , $\alpha \in [0,1]$  и $f\left(x\right)\in C[0,1]$ . Тогда регулярное решение задачи (1), (2) существует, единственно и имеет вид

$u\left(x\right)=u_0\left[D_{1t}^{\alpha -1}{F}_{\alpha ,\lambda }\right(x,t){]}_{t=0}+{\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t\left)f\right(t) dt.$  (7)

Доказательство. Тот факт, что регулярное решение задачи (1), (2), в случае его существования, имеет вид (7), следует из рассуждений, приведенных перед формулировкой теоремы. Отсюда, в частности, в силу линейности задачи (1), (2) следует единственность решения.

Докажем, что функция $u\left(x\right)$, представимая в виде (7), является решением задачи (1), (2). Примем обозначения

$G_0\left(x\right)≔\left[D_{tx}^{\alpha -1}{F}_{\alpha ,\lambda }\right(x,t){]}_{t=0} и G_f(x)≔{\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t\left)f\right(t) dt.$  (8)

Рассмотрим функцию

$G(x,t)=D_{1t}^{\alpha -1}{F}_{\alpha ,\lambda }(x,t).$   (9)

С учетом обозначения (9), подействовав на обе части равенства (3), имеем

$G(x,t)=\lambda Q_x^{\alpha }G(x,t)+D_{1t}^{\alpha -1}{q}_0(x,t)$

Нетрудно заметить, что

$D_{1t}^{\alpha -1}{q}_0(x,t)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)\Gamma (1-\alpha )}{\int }_t^1(x-s{)}_{+}^{\alpha -1}(s-t{)}^{-\alpha } ds$

Отсюда следует, что $D_{1t}^{\alpha -1}{q}_0(x,t)=0$, если $x\le t$ и

$D_{1t}^{\alpha -1}{q}_0(x,t)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)\Gamma (1-\alpha )}{\int }_t^x{(x-s)}^{\alpha -1} {(s-t)}^{-\alpha } ds=1$

если $x>t$. То есть

$D_{1t}^{\alpha -1}{q}_0(x,t)=H(x-t),$

где $H\left(z\right)$ – функция Хевисайда,

$H\left(z\right):=\left\{\begin{array}{l}0, если z\le 0,\\ 1, если z>0.\end{array}\right.$

Таким образом, функция $G(x,t)$ является решением уравнения

$G(x,t)=\lambda Q_x^{\alpha }G(x,t)+H(x-t)$ .

И, в частности,

$G(x,0)=\lambda Q_x^{\alpha }G(x,0)+1$ .

Отсюда следует, что

$\underset{x\to 0}{lim}G(x,0)=1$

и с учетом (4)

${\partial }_{0x}^{\alpha }G(x,0)=D_{0x}^{\alpha }\left[G\right(x,0)-1]=\lambda I_{x}G(x,0)$ .

Принимая во внимание обозначения (8) и (9), нетрудно заметить, что $G_0\left(x\right)=G(x,0)$. Таким образом, получаем, что функция $G_0\left(x\right)$ является решением исследуемой задачи для однородного уравнения:

${\partial }_{0x}^{\alpha }{G}_0\left(x\right)-\lambda I_x{G}_0\left(x\right)=0, G_0\left(0\right)=1.$  (10)

Далее, в силу свойств $F_{\alpha ,\lambda }(x,t)$ (см. лемму 4, а также формулу (24) в [9]) имеем

$G_f\left(0\right)=0$

и, принимая во внимание (4), получаем

$$\begin{gathered} {\partial }_{0x}^{\alpha }{G}_f\left(x\right)=D_{0x}^{\alpha }{G}_f\left(x\right)=\frac{\lambda d}{dx}{\int }_0^1\left[D_{0x}^{-1}{I}_x{F}_{\alpha ,\lambda }\right(x,t)-H(x-t\left)\right]f\left(t\right) dt= \\ =\lambda {\int }_0^1{F}_{\alpha ,\lambda }(1-x,t)f\left(t\right) dt+f\left(x\right)=\lambda I_x{G}_f\left(x\right)+f\left(x\right). \end{gathered}$$

Таким образом, $G_f\left(x\right)$ является решением задачи

${\partial }_{0x}^{\alpha }{G}_f\left(x\right)-\lambda I_x{G}_f\left(x\right)=f\left(x\right), G_f\left(0\right)=0.$  (11)

Из (10) и (11), с учетом обозначений (8), следует, что функция $u\left(x\right)$, определенная равенством (7), является искомым решением задачи (1), (2). Это завершает доказательство теоремы.

Заключение

В работе для рассматриваемого уравнения исследована начальная задача в единичном интервале. Доказана теорема существования и единственности решения исследуемой задачи, построено явное представление решения.

About the authors

L. M. Eneeva

Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: Eneeva72@list.ru
ORCID iD: 0000-0003-2530-5022
SPIN-code: 3403-8412

Institute of Applied Mathematics and Automation, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher of Department of Mathematical Modeling of Geophysical Processes at the Institute of Applied Mathematics and Automation

Russian Federation, 360000, Nalchik, 89 A Shortanov street

References

Supplementary files