Mathematical modeling of mutual influence of atmospheric precipitation and hydrolithospheric processes on inclined surfaces

Full Text

Введение

Эрозионные процессы на склоновых территориях представляют собой сложный геоморфологический процесс, значительно влияющий на состояние окружающей среды и сельскохозяйственное производство. Интенсивность эрозии определяется взаимодействием множества факторов, главными из которых являются характеристики атмосферных осадков и геоморфологические параметры склонов. Традиционные методы оценки эрозии часто оказываются недостаточно точными и не позволяют учитывать все сложности этого процесса.

В связи с этим широкое применение находит математическое моделирование, позволяющее учитывать множество факторов и прогнозировать изменения эрозионных процессов при различных условиях. Модель учитывает ключевые факторы, влияющие на формирование поверхностного и подземного стока, эрозию почвы и изменение рельефа.

Рассмотрим моделирование гидролитосферных процессов при выпадении осадков на ровную плоскую поверхность (рис. 1, а) и на наклонную плоскую поверхность (рис. 1, б)

 

Рис. 1. Схемы выпадения осадков

Fig. 1. Precipitation patterns

 

Разделим наклонную поверхность на секции. Положим, что число таких секций по координатам $х$ и $у$ задано в виде:

$1<\eta <N_x{;}_{}1<\gamma <N_y.$

Рассмотрим моделирование гидролитосферных процессов при выпадении осадков на наклонную поверхность, показанную на рисунке 2. При этом рассмотрим вариант, когда каждая секция имеет свои углы наклонов по пространственным координатам $х$ и $у$ (${\alpha }_{\eta ,\gamma }$ и ${\beta }_{\eta ,\gamma }$) относительно ровной плоской поверхности (рис. 2).

Разделим наклонную плоскость на секции ($\eta$, $\gamma$ секции показаны на рис. 2). При наклоне поверхности водяной поток со скоростью ${V_{\eta ,\gamma }}_{}$ перетекает на соседние секции (скорость потока может изменяться в зависимости от углов наклона (${{\alpha }_{\eta ,\gamma }}_{}$ и ${{\beta }_{\eta ,\gamma }}_{}$)).

 

Рис. 2. Схема выпадения осадков и распределения скоростей потока

Fig. 2. Precipitation pattern and flow velocity distribution

 

За время $∆\tau$ коэффициент перетекания по осям $х$ и $у$ составит:

$\begin{array}{l}{\text{k}}_{\text{pх},\eta \text{,}\gamma }=(\Delta \text{х}/{\text{v}}_{\text{х,}\eta \text{,}\gamma }\text{(}{\alpha }_{\eta ,\gamma }\text{))}\cdot \Delta \tau {,}_{}({\text{k}}_{\text{pх},\eta \text{,}\gamma }\le 1),\\ {\text{k}}_{\text{py},\eta \text{,}\gamma }=(\Delta \text{у}/{\text{v}}_{\text{y,}\eta \text{,}\gamma }\text{(}{\beta }_{\eta ,\gamma }\text{))}\cdot \Delta \tau {,}_{}({\text{k}}_{\text{py},\eta \text{,}\gamma }\le 1).\end{array}$ (1)

Методика моделирования процессов при выпадении осадков на наклонную поверхность (рис. 2) распадается на следующие этапы.

Полагая в начальный момент $\tau =0$,

${\text{h}}_{\text{в,}\eta \text{,}\gamma }={\text{0;}}_{}1<\eta <N_x{;}_{}1<\gamma <N_y.$

Запишем для текущего времени $\tau =\tau +\tau \Delta$ алгоритм вычисления среднего уровня слоя воды:

1. Средний уровень слоя воды в квадрате $∆х\bullet ∆у$ при интенсивности потока $I$, с учетом углов наклона рассматриваемого квадрата по пространственным координатам, без учета перетекания, за время $\Delta \tau$ определяется из следующего соотношения:

$\begin{array}{c}{\text{h}}_{\text{в,}\eta \text{,}\gamma }={\text{h}}_{\text{в,}\eta \text{,}\gamma }+\text{I}\cdot (\Delta х\cdot \text{cos}({\alpha }_{\eta ,\gamma })\cdot \Delta y\cdot \text{cos}({\beta }_{\eta ,\gamma }\left)\right)\cdot \Delta \tau /(\Delta х\cdot \Delta у)=\\ =I\cdot \text{cos}\left({\alpha }_{\eta ,\gamma }\right)\cdot \text{cos}\left({\beta }_{\eta ,\gamma }\right)\cdot \Delta \tau {,}_{}1<\eta <N_x{;}_{}1<\gamma <N_y.\end{array}$(2)

Перетекание уровня слоя воды по координатам $х$, $у$ за время $∆\tau$ составит:

$h_{\text{врx,}\eta ,\gamma }=I\cdot \text{cos}\left({\alpha }_{\eta ,\gamma }\right)\cdot \Delta \tau \cdot k_{p,\eta ,\gamma }{,}_{}1<\eta <N_x; 1<\gamma <N_y,$

$h_{\text{врy,}\eta ,\gamma }=I\cdot \text{cos}\left({\alpha }_{\eta ,\gamma }\right)\cdot \Delta \tau \cdot k_{p,\eta ,\gamma }{,}_{}1<\eta <N_x; 1<\gamma <N_y.$ (3)

2. Средний уровень слоя воды в ($\eta$, $\gamma$) секциях, с учетом перетекания по координатам $х$, $у$ , за время $\Delta \tau$ определяется из соотношений:

$\begin{array}{c}{\text{h}}_{\text{в,}\eta \text{,}\gamma }=I\cdot \text{cos}\left({\alpha }_{\eta ,\gamma }\right)\cdot \Delta \tau -{\text{h}}_{\text{врx,}\eta \text{,}\gamma }-{\text{h}}_{\text{врy,}\eta \text{,}\gamma },\\ i{f}_{}{\text{h}}_{\text{в,}\eta \text{,}\gamma }<0_{}the{n}_{}{\text{h}}_{\text{в,}\eta \text{,}\gamma }=\mathrm{0,}\\ 1<\eta <N_x{;}_{}1<\gamma <N_y.\end{array}$(4)

3. Рассмотрим случай, когда перетекание осуществляется из верхних секций в секции, которые расположены «ниже». Определим средний уровень слоя воды в «нижних» секциях ${h_{в,\eta ,\gamma }}_{}$:

$\begin{array}{c}{\text{h}}_{\text{в,}\eta \text{,}\gamma }={\text{h}}_{\text{вр,}\eta \text{,}\gamma }+{\text{h}}_{\text{врх,}\eta -\mathrm{1,}\gamma }+{\text{h}}_{\text{врy,}\eta \text{,}\gamma -1},\\ 2<\eta <N_x{;}_{}2<\gamma <N_y.\end{array}$(5)

4. В рассматриваемый алгоритм следует добавить граничные условия, описывающие изменение уровня в граничных секциях:

$\begin{array}{l}\eta ={\mathrm{1,}}_{}1<\gamma <N_y{;}_{}\\ \eta =N_x{,}_{}1<\gamma <N_y;\\ \gamma ={\mathrm{1,}}_{}1<\eta <N_x{;}_{}\\ \gamma =N_y{,}_{}1<\eta <N_x.\end{array}$ (6)

Предложим, что процессы, происходящие на границах 1 и 2 (рис. 3), не влияют на процессы в рассматриваемой области (водяные потоки не попадают на рассматриваемую поверхность). Дискретная модель, описывающая процессы на рассматриваемой границе, записывается в виде:

$\begin{array}{l}{\text{h}}_{\text{в,}\eta \text{,}\gamma }={\text{h}}_{\text{в,}\eta \text{,}\gamma }{,}_{}\\ \eta ={\mathrm{1,}}_{}1<\gamma <N_y{;}_{}\\ \gamma ={\mathrm{1,}}_{}1\le \eta \le N_x.\end{array}$ (7)

Если осуществляется взаимодействие процессов, происходящих на границах 1, 2, то эти взаимодействия следует учесть в рассматриваемом алгоритме.

Процессы, происходящие на границах 3 и 4 в рассматриваемом примере, учтены в п. 2.

 

Рис. 3. Схема моделирования гидролитосферных процессов

Fig. 3. Scheme of modeling hydrolithospheric processes

 

Рассмотрим пример моделирования гидролитосферных процессов для объекта, схема которого приведена на рисунке 3.

1. Будем полагать, что не осуществляется перетекание потока в грунтовые воды. Значения геометрических параметров рассматриваемого объекта приведены ниже.

 

Таблица 1. Значения геометрических параметров объекта

Table 1. Values ​​of geometric parameters of the object

	Обозначения	Размер, м
Длина моделируемой области	$L_x$	120
Ширина моделируемой области	$L_y$	140

 

Углы наклона по координатам $х$ и $у$ и скорости перетекания соответственно равны:

${\alpha }_{ \eta \gamma }=\pi /7$ рад., ${\beta }_{ \eta \gamma } =\pi /8$ рад.; $v_{x,\eta \gamma } =$0.004 м/сек. _, $v_{у,\eta \gamma } =$0.002 м/сек.

На рисунках 4, 5 приведены графики изменения среднего уровня слоя воды в зависимости от продолжительности выпадения осадков.

 

Рис. 4. Средний уровень изменения слоя воды в точке [1, 45]

Fig. 4. Average level of change of water layer at point [1.45]

 

Рис. 5. Средний уровень изменения слоя воды в точках [10, 45] и [20, 45]

Fig. 5. Average level of change of water layer at points: [10.45] and [20.45]

 

Рис. 6. Средний уровень изменения слоя воды в точке [40, 45]

Fig. 6. Average level of change of water layer at point [40, 45]

 

2. Будем полагать, что осуществляется перетекание потока в грунтовые воды.

Геометрические параметры моделируемой области приведены в таблице 1. Полагая, что через поверхностный слой осуществляется перетекание воды в грунт (коэффициент перетекания $b_n$), математическая модель рассматриваемого процесса записывается в виде:

$\begin{array}{c}{h}_{\text{в}}\left(x,y,L_{z_1},\tau \right)=h_{в}\left(x,y,L_{z_1},\tau \right)+b_{п}\cdot \left({\text{h}}_1\left(x,y\mathrm{,0,}\tau \right)-h_{в}\left(x,y,L_{z_1},\tau \right)\right)\cdot \partial \tau ,\\ h_1\left(x,y\mathrm{,0,}\tau \right)=h_1\left(x,y\mathrm{,0,}\tau \right)-b_{п}\cdot \left({\text{h}}_1\left(x,y\mathrm{,0,}\tau \right)-h_{в}\left(x,y,L_{z_1},\tau \right)\right)\cdot \partial \tau .\end{array}$(8)

 В соответствии с [1–3] запишем уравнения, описывающие гидролитосферный процесс в слое грунта:

$\begin{array}{c}\frac{\partial h_1(x,y,z,\tau )}{\partial \tau }={\text{k}}_{\text{1,x}}\cdot \frac{{\partial }^2{h}_1(x,y,z,\tau )}{\partial x^2}+{\text{k}}_{\text{1,y}}\cdot \frac{{\partial }^2{h}_1(x,y,z,\tau )}{\partial {у}^2}+{\text{k}}_{\text{1,z}}\cdot \frac{{\partial }^2{h}_1(x,y,z,\tau )}{\partial z^2}),\\ k_{\mathrm{1,}х}={\overline{К}}_{х}\cdot {\text{h}}_{\text{ср}}/\mu {,}_{}{k}_{\mathrm{1,}y}={\overline{К}}_y\cdot {\text{h}}_{\text{ср}}/\mu {,}_{}{k}_{\mathrm{1,}х}={\overline{К}}_z\cdot {\text{h}}_{\text{ср}}/\mu ,\\ \text{0}<\text{x}<L_x\mathrm{,0}<y<L_y\mathrm{,0}<z<L_z.\end{array}$(9)

где $x$, $y$, $z$ – пространственные координаты; $t$ – время; $h_1$ – напор в горизонте грунтовых вод; $k_{1,x}$, $k_{1,у}$ , $k_{1,z}$ – коэффициенты уровнепроводности по соответствующим координатам в м²/сут; ${\overline{К}}_{х}\text{,}{\overline{К}}_y\text{,}{\overline{К}}_z$– коэффициенты фильтрации по соответствующим координатам; $h_{ср}$ – средний уровень грунтовых вод; $\mu$ – коэффициент грунтовой водоотдачи; $L_x$, $L_y$ , $L_z$ – заданные значения (см. табл. 1 и 2).

 

Таблица 2 / Table 2

Толщина грунта	$L_z$	0.4
Высота грунтовых вод		0.0 м

 

Численные значения физических параметров при моделировании рассмотренных выше процессов приведены в таблице 3.

 

Таблица 3. Значения физических параметров грунтовых вод

Table 3. Values ​​of physical parameters of groundwater

Грунтовые воды

$k_{x1}$=3.92/86400 $k_{y1}$=3.92/86400 $k_{z1}$=2.52/86400 $b_n$=0.006,

 

где $k_x$,$k_y$,$k_z$ – коэффициенты фильтрации по соответствующим координатам;

$b_n$ – коэффициент перетекания (значения параметров приведены в системе «СИ»).

Число точек дискретизации пространственной координаты $z$ и шаг дискретизации были заданы в виде: $Nz = 9$; $dz: = Lz/(Nz-1)$ (остальные параметры, используемые при моделировании рассматриваемого процесса, приведены в п. 1).

 

Рис. 7. Графики изменения уровня в выбранных точках

Fig. 7. Graphs of level changes at selected points

 

Заключение

Рассматриваемая методика моделирования гидролитосферных процессов при выпадении осадков в зоне формирования эрозионных процессов позволяет прогнозировать развитие рассматриваемых процессов и определить перечень мероприятий, препятствующих негативному развитию процессов.

About the authors

Mariana A. Georgieva

Southern Federal University; Kabardino-Balkarian State University named after Kh.M. Berbekov

Author for correspondence.
Email: maryana.g@list.ru
ORCID iD: 0000-0002-2134-6719
SPIN-code: 8765-7500

Postgraduate Student, Institute of Computer Technologies and Information Security, Department of Synergetics and Control Processes named after Prof. Anatoly Arkadievich Kolesnikov, Senior Lecturer, Department of Computer Technologies and Information Security

Russian Federation, 347922, Taganrog, 2 Chekhov street, building “I”; 360004, Nalchik, 173 Chernyshevsky street

Ivan M. Pershin

Kabardino-Balkarian State University named after Kh.M. Berbekov

Email: ivmp@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-7618-1173
SPIN-code: 2734-5711

Doctor of Engineering Sciences, Professor of the Department of Synergetics and Control Processes named after Prof. Kolesnikov Anatoly Arkadievich, Institute of Computer Technologies and Information Security, Southern Federal University

Russian Federation, 360004, Nalchik, 173 Chernyshevsky street

References

Supplementary files