Modeling of freezing processes by an one-dimensional thermal conductivity equation with fractional differentiation operators


Cite item

Full Text

Abstract

We have studied the Stefan problem with Caputo fractional order time derivatives. The difference scheme is built. The algorithm and the program for a numerical solution of the Stefan problem with fractional differentiation operator are created. For the given entry conditions and freezing ground parameters we have obtained the space-time temperature dependences for different values of parameter α. The functional dependences of the interface motion for the generalized Stefan conditions depending on the value of α are estimated. Finally we have found that the freezing process is slowed down during the transition to fractional derivatives.

About the authors

Vetlugin D Beybalaev

Dagestan State University; Institute of Geothermal Problems, Dagestan Scientific Center of RAS

Email: kaspij_03@mail.ru
Cand. Phis.& Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics; Senior Researcher, Lab. of Mathematical Modeling of Geothermal Objects 43a, M. Gadzhiev st., Makhachkala, 367025, Russian Federation; 39a, Shamilya av., Makhachkala, 367030, Russian Federation

Abutrab A Aliverdiev

Dagestan State University; Institute of Geothermal Problems, Dagestan Scientific Center of RAS

Email: aliverdi@mail.ru
Dr. Phis.& Math. Sci., Professor; Professor, Dept. of Applied Mathematics; Head of the Laboratory, Lab. of Mathematical Modeling of Geothermal Objects 43a, M. Gadzhiev st., Makhachkala, 367025, Russian Federation; 39a, Shamilya av., Makhachkala, 367030, Russian Federation

Ramazan A Magomedov

Institute of Geothermal Problems, Dagestan Scientific Center of RAS

Email: ramazan_magomedov@rambler.ru
Senior Researcher; Lab. of Mathematical Modeling of Geothermal Objects 39a, Shamilya av., Makhachkala, 367030, Russian Federation

Rashid R Meilanov

Institute of Geothermal Problems, Dagestan Scientific Center of RAS

Junior Researcher; Lab. of Mathematical Modeling of Geothermal Objects 39a, Shamilya av., Makhachkala, 367030, Russian Federation

Enver N Akhmedov

Institute of Geothermal Problems, Dagestan Scientific Center of RAS

Email: aen-code@yandex.ru
Junior Researcher; Lab. of Mathematical Modeling of Geothermal Objects 39a, Shamilya av., Makhachkala, 367030, Russian Federation

References

  1. Liu Junyi, Xu Mingyu Some exact solutions to Stefan problems with fractional differential equations // J. Math. Anal. Appl., 2009. vol. 351, no. 2. pp. 536-542. doi: 10.1016/j.jmaa.2008.10.042.
  2. Мейланов Р. П., Бейбалаев В. Д., Шахбанова М. Р. Прикладные аспекты дробного исчисления. Saarbrücken: Palmarium Academic Publishing, 2012. 135 с.
  3. Алхасов А. Б., Мейланов Р. П., Шабанова М. Р. Уравнение теплопроводности в производных дробного порядка // ИФЖ, 2011. Т. 84, № 2. С. 309-317.
  4. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  5. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  6. Tadjeran C., Meerschaert M. M., Scheeffler H.-P. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation // Journal of Computational Physics, 2006. vol. 213, no. 1. pp. 205-213. doi: 10.1016/j.jcp.2005.08.008.
  7. Meerschaert M. M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sided spacefractional partial differential equations // Applied Numerical Mathematics, 2006. vol. 56, no. 1. pp. 80-90. doi: 10.1016/j.apnum.2005.02.008.
  8. Лафишева M. M., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2008. Т. 48, № 10. С. 1878-1887.
  9. Алиханов А. А. Разностные методы решения краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. № 2(17). С. 13-20. doi: 10.14498/vsgtu606.
  10. Бейбалаев В. Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. № 1(18). С. 267-270. doi: 10.14498/vsgtu643.
  11. Бейбалаев В. Д. Математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой // Матем. моделирование, 2009. Т. 21, № 5. С. 55-62.
  12. Таукенова Ф. И., Шхануков-Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2006. Т. 46, № 10. С. 1871-1881.
  13. Головизнин В. М., Короткин И. А. Методы численного решения некоторых одномерных уравнений с дробными производными // Дифференц. уравнения, 2006. Т. 42, № 7. С. 907-913.
  14. Бейбалаев В. Д., Абдуллаев И. А., Наврузова К. А., Гаджиева Т. Ю. О разностных методах решения задачи Коши для ОДУ с оператором дробного дифференцирования // Вестник дагестанского государственного университета. Сер. 1. Естественные науки, 2014. № 6. С. 53-61.
  15. Кузнецов Г. В., Шеремет М. А. Разностные методы решения задач теплопроводности. Томск: Томск. политехн. ун-т, 2007. 172 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).