Email this article On the correctness of boundary value problems for the mixed type equation of the second kind
- Authors: Sabitov K.B.1, Egorova I.P.2
-
Affiliations:
- Sterlitamak Branch of Bashkir State University
- Samara State Technical University
- Issue: Vol 23, No 3 (2019)
- Pages: 430-451
- Section: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/1991-8615/article/view/20623
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1718
- ID: 20623
Cite item
Full Text
Abstract
In this paper, the intervals of change in the exponent of the degree of degeneration of a mixed-type equation with characteristic degeneration are established. The first boundary problem and the modified boundary problem (analogue of the Keldysh problem) with the conditions of periodicity are correctly set. In the case of the first problem, a criterion for the uniqueness of its solution is manifested. It is shown that the solution of the analogue of the Keldysh problem is unique up to a term of a linear function. Solutions are constructed as the sum of series of eigenfunctions of the corresponding one-dimensional spectral problem. In justifying the convergence of a series representing the solution of the first boundary-value problem, the problem of small denominators of a more complex structure arises in the class of regular solutions of this equation than in previously known works. The estimate on separation from zero is established with the corresponding asymptotic. Based on this estimate, sufficient conditions are found for the boundary functions to substantiate the uniform convergence of the series and their derivatives up to the second order inclusive.
Full Text
##article.viewOnOriginalSite##About the authors
Kamil Basirovich Sabitov
Sterlitamak Branch of Bashkir State University
Email: sabitov_fmf@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor 37, Lenina prospekt, Sterlitamak, 453103, Russian Federation
Irina Petrovna Egorova
Samara State Technical University
Email: ira.egorova81@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
References
- Келдыш М. В., "О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области", Докл. АН СССР, 77:2 (1951), 181-184
- Кароль И. Л., "Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа", Докл. АН СССР, 88:2 (1953), 197-200
- Франкль Ф. И., "Обобщение задачи Трикоми и его применение к решению прямой задачи теории сопла Лаваля", Матем. сб., 54(96):2 (1961), 225-236
- Сабитов К. Б., "О единственности решения задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа второго рода", Дифференциальные уравнения с частными производными, Труды международной конференции, посвященной 70-летию академика С. Л. Соболева, Наука, Новосибирск, 1980, 48-50
- Сабитов К. Б., "О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго порядка на границе бесконечной области", Сиб. матем. журн., 21:4 (1980), 146-150
- Сабитов К. Б., "Задача типа Трикоми для уравнений смешанного типа с сильным характеристическим вырождением", Дифференц. уравнения, 20:2 (1984), 333-337
- Франкль Ф. И., "О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений", Изв. АН СССР. Сер. матем., 9:2 (1945), 121-142
- Франкль Ф. И., Избранные труды по газовой динамике, Наука, М., 1973, 703 с.
- Шабат Б. В., "Примеры решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа", Докл. АН СССР, 112:3 (1957), 386-389
- Бицадзе А. В., "Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в смешанных областях", Докл. АН СССР, 122:2 (1958), 167-170
- Нахушев А. М., "Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области", Дифференц. уравнения, 6:1 (1970), 190-191
- Солдатов А. П., "Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I. Теоремы единственности", Докл. РАН, 332:6 (1993), 696-698
- Солдатов А. П., "Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. II. Теоремы существования", Докл. РАН, 333:1 (1993), 16-18
- Cannon J. R., "A Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinuous coefficient", Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser., 61 (1963), 371-377
- Хачев М. М., "Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области", Дифференц. уравнения, 14:1 (1978), 136-139
- Хачев М. М., Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа, Эльбрус, Нальчик, 1998, 169 с.
- Сохадзе Р. И., "О первой краевой задаче для уравнения смешанного типа в прямоугольнике", Дифференц. уравнения, 19:1 (1983), 127-134
- Сабитов К. Б., "Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области", Докл. РАН, 413:1 (2007), 23-26
- Моисеев Е. И., "О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи", Дифференц. уравнения, 35:8 (1999), 1094-1100
- Сабитов К. Б., Сулейманова А. Х., "Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области", Изв. вузов. Матем., 2007, № 4, 45-53
- Сабитов К. Б., Сидоренко О. Г., "Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа", Дифференц. уравнения, 46:1 (2010), 105-113
- Егорова И. П., "Задача с условиями периодичности для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением", Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2009, № 8(74), 15-27
- Арнольд В. И., "Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике", УМН, 18:6(114) (1963), 91-192
- Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G., Higher transcendental functions, v. 2, Bateman Manuscript Project, McGraw-Hill Book Co., Inc., New York, Toronto, London, 1953, xvii+396 pp.
Supplementary files
