On quadratic corrections of constitutive equations for a hemitropic micropolar elastic solid

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In the present paper, cubic approximations of energy forms for the potentials of force and couple stresses in hemitropic micropolar elastic solids are proposed and discussed. H/E/A-representations for these potentials were introduced in earlier studies. However, the A-form allows us to obtain a cubic approximation for the stress potential in the form of a polynomial combination of invariants, comprising integer powers of individual and joint base rational algebraic invariants and pseudoinvariants. Some of these pseudoinvariants have “pseudo-tensor pre-images” that are sensitive to mirror reflections and inversions of three-dimensional space.
Within the framework of this study, a complete irreducible set of individual and joint linear, quadratic, and cubic integer rational algebraic invariants is obtained for a set consisting of the symmetric and antisymmetric parts of the asymmetric strain tensor and the wryness tensor. A cubic energy form for a hemitropic micropolar solid is determined, and a complete set of 37 constitutive moduli is specified. Additionally, constitutive equations for force and couple stresses in arbitrary curvilinear coordinates are derived, including quadratic corrections.

About the authors

Evgenii V. Murashkin

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: murashkin@ipmnet.ru
ORCID iD: 0000-0002-3267-4742
Scopus Author ID: 12760003400
ResearcherId: F-4192-2014
https://www.mathnet.ru/rus/person53045

Cand. Phys. & Math. Sci., PhD, MD, Senior Researcher, Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101–1

Yuri N. Radayev

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: radayev@ipmnet.ru
ORCID iD: 0000-0002-0866-2151
Scopus Author ID: 6602740688
ResearcherId: J-8505-2019
https://www.mathnet.ru/rus/person39479

D.Sc. (Phys. & Math. Sci.), Ph.D., M.Sc., Professor, Leading Researcher, Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101–1

References

  1. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des corps déformables. Paris, Herman et Fils, 1909, vi+226 pp.
  2. Kessel S. Lineare Elastizitätstheorie des anisotropen Cosserat-Kontinuums, Abh. Braunschw. Wiss. Ges., 1964, vol. 16, pp. 1–22. DOI: https://doi.org/10.24355/dbbs.084-201301181342-0.
  3. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua, In: Applied Mechanics; eds. H. Görtler. Berlin, Heidelberg, Springer, 1966, pp. 153–158. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-29364-5_16.
  4. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity, Course held at the Department for Mechanics of Deformable Bodies, July 1970, Udine, International Centre for Mechanical Sciences. Courses and Lectures, vol. 25. Wien, New York, Springer, 1972, 286 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2720-9.
  5. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity, Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, vol. 15. Berlin, Springer, 2004, xv+356 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-45286-7.
  6. Besdo D. Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat-Kontinuums, Acta Mech., 1974, vol. 20, no. 1, pp. 105–131. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01374965.
  7. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, Pergamon Press, 1986, viii+383 pp.
  8. Radayev Yu. N. The Lagrange multipliers method in covariant formulations of micropolar continuum mechanics theories, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2018, vol. 22, no. 3, pp. 504–517 (In Russian). EDN: YOYJQD. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1635.
  9. Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of relative tensors, Trans. Amer. Math. Soc., 1924, vol. 26, no. 3, pp. 373–377. DOI: https://doi.org/10.2307/1989146.
  10. Veblen O. Invariants of Quadratic Differential Forms, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 24. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1927, viii+102 pp.
  11. Gurevich G. B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen, The Netherlands, P. Noordhoff, 1964, viii+429 pp.
  12. Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicist. Oxford, Clarendon Press, 1951, 434 pp.
  13. Synge J. L., Schild A. Tensor Calculus. New York, Dover Publ., 1978, xi+324 pp.
  14. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Reducing natural forms of hemitropic energy potentials to conventional ones, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 4, pp. 108–115 (In Russian). EDN: DTZTJY. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.54.4.009.
  15. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On two base natural forms of asymmetric force and couple stress tensors of potential in mechanics of hemitropic solids, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 3, pp. 86–100 (In Russian). EDN: YOEHQV. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.53.3.010.
  16. Murashkin E. V. On the relationship of micropolar constitutive parameters of thermodynamic state potentials, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 1, pp. 110–121 (In Russian). EDN: JXXIAX. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.55.1.012.
  17. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Wave criteria for ultratropic micropolar elastic solids, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2023, no. 4, pp. 128–138 (In Russian). DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2024.62.4.009.
  18. Radayev Yu. N. Tensors with constant components in the constitutive equations of hemitropic micropolar solids, Mech. Solids, 2023, vol. 58, no. 5, pp. 1517–1527. EDN: SQQPGJ. DOI: https://doi.org/10.3103/S0025654423700206.
  19. Spencer A. J. M. Theory of invariants, In: Continuum Physics, vol. 1. New York, Academic Press, 1971, pp. 240–353. DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-240801-4.50008-X.
  20. Nye J. F. Physical Properties of Crystals. Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford, Clarendon Press, 1957, xv+322 pp.
  21. Wooster W. A. Experimental Crystal Physics. Oxford, Clarendon Press, 1957, viii+115 pp.
  22. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik (mit Ausschluß der Kristalloptik). Leipzig, B.G. Teubner, 1928, xxvi+978 pp. (In German)
  23. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Two-dimensional Nye figures for some micropolar elastic solids, Mech. Solids, 2023, vol. 58, no. 6, pp. 2254–2268. EDN: AIPHVE. DOI: https://doi.org/10.3103/s0025654423700243.
  24. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Two-dimensional Nye figures for hemitropic micropolar elastic solids, Izv. Saratov Univ. Math. Mech. Inform., 2024, vol. 24, no. 1, pp. 109–122 (In Russian). EDN: FKFRHA. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-1-109-122.
  25. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On a method of constructing Nye figures for asymmetric theories of micropolar elasticity, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2023, no. 3, pp. 100–111 (In Russian). EDN: KSSOKR. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.57.3.009.
  26. Krylova E. Yu., Murashkin E. V., Radayev Y. N. The Nye cells and figures for athermic hemitropic, isotropic and ultraisotropic micropolar elastic solids, Mech. Solids, 2024, vol. 59, no. 3, pp. 1311–1320. DOI: https://doi.org/10.1134/S0025654424603719.
  27. Murashkin E. V., Radayev Y. N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity, Lobachevskii J. Math., 2023, vol. 44, no. 6, pp. 2440–2449. EDN: PINYDI. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223060392.
  28. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Theory of Poisson’s ratio for a thermoelastic micropolar acentric isotropic solid, Lobachevskii J. Math., 2024, vol. 45, no. 5, pp. 2378–2390. EDN: ASGCQB. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080224602480.
  29. Radayev Yu. N., Murashkin E. V. Pseudotensor formulation of the mechanics of hemitropic micropolar media, Problems of Strength and Plasticity, 2020, vol. 82, no. 4, pp. 399–412 (In Russian). EDN: TODIFV. DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.
  30. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Heat conduction of micropolar solids sensitive to mirror reflections of three-dimensional space, Uchen. Zap. Kazan. Univ. Ser. Fiz.-Matem. Nauki, 2023, vol. 165, no. 4, pp. 389–403 (In Russian). EDN: HTQAHJ. DOI: https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.4.389-403.
  31. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Coupled thermoelasticity of hemitropic media. Pseudotensor formulation, Mech. Solids, 2023, vol. 58, no. 3, pp. 802–813. EDN: CISJLW. DOI: https://doi.org/10.3103/s0025654423700127.
  32. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Heat transfer in anisotropic micropolar solids, Mech. Solids, 2023, vol. 58, no. 9, pp. 3111–3119. EDN: WBUGBA. DOI: https://doi.org/10.3103/S0025654423700255.
  33. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On the polyvariance of the base equations of coupled micropolar thermoelasticity, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2023, no. 3, pp. 112–128 (In Russian). EDN: RQUKBG. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.57.3.010.
  34. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On the polyvariance of the base equations of coupled micropolar thermoelasticity, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2023, no. 4, pp. 86–120 (In Russian). EDN: RQUKBG. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.58.4.010.
  35. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On algebraic triple weights formulation of micropolar thermoelasticity, Mech. Solids, 2024, vol. 59, no. 1, pp. 555–580. EDN: GBHEKM. DOI: https://doi.org/10.1134/s0025654424700274.
  36. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Thermomechanical states of gyrotropic micropolar solids, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2023, vol. 27, no. 4, pp. 659–678 (In Russian). EDN: CRRHLO. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu2062.
  37. Rozenfel’d B. A. Mnogomernye prostranstva [Multidimensional Spaces]. Moscow, Nauka, 1966, 648 pp. (In Russian)
  38. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Algebraic algorithm for the systematic reduction of one-point pseudotensors to absolute tensors, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 1, pp. 17–27 (In Russian). EDN: ZJWFGT. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.51.1.002.
  39. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces. Elements of the theory, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 2, pp. 106–115 (In Russian). EDN: FQVGRK. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.012.
  40. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces. Applications to continuum mechanics, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 2, pp. 118–127 (In Russian). EDN: ESTJSA. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.013.
  41. Sushkevich A. K. Osnovy vysshei algebry [Fundamentals of Higher Algebra]. Moscow, ONTI, 1937, 476 pp. (In Russian)
  42. Zhilin P. A. Ratsional’naya mekhanika sploshnykh sred [Rational Continuum Mechanics Media]. St. Petersburg, Polytechn. Univ., 2012, 584 pp. (In Russian)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».