Сингулярные краевые задачи для квазилинейных уравнений со смешанной реакцией-диффузией

Мы изучаем существование решений задачи

\[\label{A1}
\begin{array}{rl}
-\Delta u+u^p-M|\nabla u|^q=0 & \text{в }\;\Omega,\\
u=\mu & \text{на }\;\partial\Omega
\end{array}\]

в ограниченной области \(\Omega\), где \(p>1\), \(1, \(M>0\), \(\mu\) "— неотрицательная мера Радона в \(\partial\Omega,\) а также связанной с ней задачи с изолированной граничной особенностью в точке \(a\in\partial\Omega,\)

\[\label{A2}
\begin{array}{rl}
-\Delta u+u^p-M|\nabla u|^q=0 & \text{в }\;\Omega,\\
u=0 & \text{на }\;\partial\Omega\setminus\{a\}.
\end{array}\]

Трудность заключается в оппозиции двух нелинейных членов, имеющих разную природу. Существование решений задачи [A1] достигается при емкостном условии

\[\mu(K)\leq
c\min\left\{cap^{\partial\Omega}_{\frac{2}{p},p'},cap^{\partial\Omega}_{\frac{2-q}{q},q'}\right\}\quad\text{для
всех компактов }K\subset\partial\Omega.\]

Задача [A2] зависит от нескольких критических условий на \(p\) и \(q\), а также от соотношения величин \(q\) и \(\dfrac{2p}{p+1}\).