Равносходимость разложений по корневым функциям дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье

Рассматривается несамосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор, определяемый на конечном отрезке линейным дифференциальным выражением \( n \)-го порядка с ненулевым коэффициентом при \( (n-1) \)-й производной и двухточечными регулярными по Биркгофу краевыми условиями. Исследуется вопрос о равномерной равносходимости разложений заданной функции в биортогональный ряд по собственным и присоединенным или, кратко, корневым функциям этого оператора и в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также об оценке разности соответствующих частичных сумм (или, коротко, о скорости равносходимости) при самых общих условиях на разлагаемую функцию и коэффициент при \( (n-1) \)-й производной. Получены оценки разности разложений в терминах общих (интегральных) модулей непрерывности разлагаемой функции и коэффициента при \( (n-1) \)-й производной, равномерные внутри основного интервала. Из этих оценок выводятся соответствующие оценки в случае, когда модули непрерывности оцениваются сверху медленно меняющимися функциями и, в частности, логарифмическими функциями. На основе этого сформулированы достаточные условия равносходимости в указанных случаях. Эти результаты получаются с использованием полученной ранее автором оценки разности частичных сумм  разложений заданной функции в биортогональный ряд по собственным и присоединенным функциям рассматриваемого дифференциального оператора и в модифицированный тригонометрический ряд Фурье, а также аналогов теоремы Штейнгауза. Модификация тригонометрического ряда Фурье заключается в применении к обычному тригонометрическому ряду Фурье вполне конкретного ограниченного оператора, выражающегося через коэффициент при \( (n-1) \)-й производной, а к разлагаемой функции --- обратного к нему оператора.