Spectral decomposition of self-adjoint operators in Pontryagin and Krein spaces
- Authors: Strauss V.A.1
-
Affiliations:
- South Ural State University (national research university)
- Issue: Vol 71, No 3 (2025): Proceedings of the Crimean Autumn Mathematical School-Symposium
- Pages: 524-546
- Section: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/2413-3639/article/view/347350
- DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2025-71-3-524-546
- EDN: https://elibrary.ru/FOVYRO
- ID: 347350
Cite item
Full Text
Abstract
We consider a self-adjoint operator acting in a Krein space and possessing an invariant subspace that is maximal nonnegative and decomposes into a direct sum of a uniformly positive (i.e., equivalent to a Hilbert space with respect to the inner pseudoscalar product) and a finite-dimensional neutral subspace. We prove the existence of a difference expression that transforms the moment sequence generated by this operator into a sequence representable as the difference of positive moment sequences. In the case of a cyclic operator, this result is applied to construct a function space in which the operator under study is modeled as the operator of multiplication by an independent variable.
About the authors
V. A. Strauss
South Ural State University (national research university)
Author for correspondence.
Email: vstrauss@mail.ru
Chelyabinsk, Russia
References
- Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Линейные операторы в гильбертовых пространствах с G-метрикой// Усп. мат. наук. - 1971. - 26, № 4. - C. 43-92.
- Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой и их приложения// Итоги науки и техн. Сер. Мат. анализ. - 1979. - 17. - C. 113-205
- Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986.
- Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д. Введение в теорию пространств Понтрягина: Специальный курс лекций. - Симферополь: ТНУ, 2008.
- Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д. Введение в теорию пространств Крейна: Специальный курс лекций. - Симферополь: ФОРМА, 2010.
- Ароншайн Н. Квадратичные формы на векторных пространствах// Математика. - 1964. - 8, № 5. - C. 102-155.
- Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. - М.: Физматгиз, 1961.
- Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. - M.: Наука, 1965.
- Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 3. Спектральные операторы. - М.: Мир, 1974.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - M.: Физматлит, 2009.
- Крейн М. Г., Лангер Г. К. О спектральной фунции самосопряжённого оператора в пространстве с индефинитной метрикой// Докл. АН СССР. - 1963. - 152, № 1. - C. 39-42.
- Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. - M.: ФМЛ, 1960.
- Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. - СПб: Лань, 2009.
- Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1977.
- Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - M.: Мир, 1979.
- Севастьянов В. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука, 1982.
- Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. - М.: Мир, 1970.
- Штраус В. А. Модели унитарных и самосопряжённых операторов в пространствах Понтрягина// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2022. - 68, № 3. - С. 522-552.
- Azizov T. Ya., Iokhvidov I. S. Linear operators in Hilbert spaces with G-metric// Russ. Math. Surv. - 1971. - 26, № 4. - C. 45-97.
- Azizov T. Ya., Iokhvidov I. S. Linear operators in spaces with indefinite metric. - New York: Wiley, 1989.
- Azizov T. Ya., Strauss V. A. Spectral decompositions for special classes of self-adjoint and normal operators on Krein spaces. Spectral Theory and its Applications// В сб.: «Proceedings dedicated to the 70-th birthday of Prof. I. Colojoar˘a». - Bucharest: Theta, 2003. - С. 45-67.
- Azizov T. Ya., Strauss V. A. On a spectral decomposition of a commutative operator family in spaces with indefinite metric// Methods Funct. Anal. Topology - 2005. - 11, № 1. - C. 10-20.
- Boas R. P. The Stieltjes moment problem for functions of bounded variation// Bull. Am. Math. Soc. - 1939. - 45. - C. 399-404.
- Colojoara˘ I., Foia¸s C. Theory of generalized spectral operators. - New York: Gordon and Breach, 1968.
- Jonas P., Langer H., Textorius B. Models and unitary equivalence of ciclic selfadjoint operators in Pontrjagin spaces// В сб.: «Operator Theory and Complex Analysis». - Basel: Birkhauser, 1992. - С. 252- 284.
- Langer H. Spectraltheorie linearer Operatoren in J -ra¨umen und enige Anwendungen auf die Shar L(λ) = λ2I + λB + C. // Докт. дисс. - Dresden: Dresden Tech. Univ., 1965.
- Langer H. Spectral functions of definitizable operators in Krein space// Lect. Notes Math. - 1982. - 948.- С. 1-46.
- Navarro L. J., Strauss V. Some class of real sequences having indefinite Hankel forms.// Methods Funct. Anal. Topology. - 2011. - 17, № 1. - С. 65-74.
Supplementary files
