Equiconvergence of expansions in root functions of a differential operator and in a trigonometric Fourier series

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

We consider a non-self-adjoint ordinary differential operator defined on a finite interval by an \( n \)th-order linear differential expression with a nonzero coefficient of the \( (n-1) \)th derivative and two-point Birkhoff regular boundary conditions. We study the uniform equiconvergence of expansions of a given function in a biorthogonal series in eigenfunctions and associated functions (or, briefly, root functions) of this operator and in an ordinary trigonometric Fourier series, as well as an estimate of the difference of the corresponding partial sums (or, briefly, the rate of equiconvergence) under the most general conditions on the expanded function and the coefficient of the  \( (n-1) \)th derivative. We obtain estimates for the difference of the expansions in terms of general (integral) moduli of continuity of the expanded function and the coefficient of the  \( (n-1) \)th derivative uniform inside the fundamental interval. From these estimates, corresponding estimates are derived in the case where moduli of continuity are bounded from above by slowly varying functions and, in particular, by logarithmic functions. Based on this, sufficient conditions for equiconvergence in the indicated cases are formulated. These results are obtained using the author's previously obtained estimate for the difference between the partial sums of expansions of a given function in a biorthogonal series in eigenfunctions and associated functions of the differential operator under consideration and in a modified trigonometric Fourier series, as well as analogues of the Steinhaus theorem. The modification of the trigonometric Fourier series consisted in applying a very specific bounded operator to the ordinary trigonometric Fourier series expressed through the coefficient of the  \( (n-1) \)th derivative and its inverse operator to the expanded function.

About the authors

V. S. Rykhlov

Saratov State University named after N. G. Chernyshevsky

Author for correspondence.
Email: RykhlovVS@yandex.ru
Saratov, Russia

References

  1. Афонин С. В., Ломов И. С. О сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами нечетного порядка с негладкими коэффициентами// Докл. РАН. -2010. - 431, № 2. - С. 151-153.
  2. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. -М.: Физматгиз, 1961.
  3. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Равномерная равносходимость ряда Фурье по собственным функциям первой краевой задачи и тригонометрического ряда Фурье// Докл. РАН. -2001. - 380, № 6. - С. 731-735.
  4. Волков В. Е., Йо И. Оценка разности частичных сумм спектральных разложений, отвечающих двум операторам Шредингера// Дифф. уравн. -1986. - 22, № 11. -С. 1865-1876.
  5. Гомилко А. М., Радзиевский Г. В. Равносходимость рядов по собственным функциям обыкновенных функционально-дифференциальных операторов// Докл. АН СССР. -1991. - 316, № 2. -С. 265-270.
  6. Ильин В. А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье// Докл. АН СССР. -1975. - 223, № 3. -С. 548-551.
  7. Ильин В. А. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по собственным функциям пучка М. В. Келдыша обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов// Докл. АН СССР. -1975. - 225, № 3. -С. 497-499.
  8. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I// Дифф. уравн. -1980. - 16, № 5. -С. 771-794.
  9. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II// Дифф. уравн. -1980. - 16, № 6. -С. 980-1009.
  10. Ильин В. А. Равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом из класса L1// Дифф. уравн. -1991. - 27, № 4. -С. 577-597.
  11. Ильин В. А. Покомпонентная равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым вектор-функциям оператора Шредингера с матричным неэрмитовым потенциалом, все элементы которого только суммируемы// Дифф. уравн. -1991. - 27, № 11. -С. 1862-1879.
  12. Ильин В. А., Йо И. Оценка разности частичных сумм разложений, отвечающих двум произвольным неотрицательным самосопряженным расширениям двух операторов типа Штурма-Лиувилля, для абсолютно непрерывной функции// Докл. АН СССР. -1978. - 243, № 6. -С. 1381-1383.
  13. Ильин В. А., Йо И. Оценка разности частичных сумм разложений, отвечающих двум произвольным неотрицательным самосопряженным расширениям двух операторов типа Штурма-Лиувилля, для абсолютно непрерывной функции// Дифф. уравн. -1979. - 15, № 7. -С. 1175-1193.
  14. Корнев В. В., Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях// Мат. сб. -2001. - 192, № 10. -С. 33-55. - doi: 10.4213/sm601.
  15. Купцов Н. П. Теорема равносходимости для разложении Фурье в пространствах Банаха// Мат. заметки. -1967. - 1, № 4. -С. 469-474.
  16. Курбанов В. М. О неравенстве Хаусдорфа-Юнга для систем корневых вектор-функций дифференциального оператора n-го порядка// Дифф. уравн. -1997. - 33, № 3. -С. 358-367.
  17. Курбанов В. М. О скорости равносходимости спектральных разложений// Докл. РАН. -1999. - 365, № 4. -С. 444-449.
  18. Курбанов В. М. Равносходимость биортогональных разложений по корневым функциям дифференциальных операторов. I// Дифф. уравн. -1999. - 35, № 12. -С. 1619-1633. - http://mi.mathnet.ru/ de10045.
  19. Курбанов В. М. Равносходимость биортогональных разложений по корневым функциям дифференциальных операторов. II// Дифф. уравн. -2000. - 36, № 3. -С. 319-335. - http://mi.mathnet.ru/ de10107. p
  20. Лажетич Н. О сходимости спектральных разложений, отвечающих неотрицательным самосопряженным расширениям оператора Штурма-Лиувилля, для функций из класса Hα// Дифф. уравн. - 1981. - 17, № 12. -С. 2149-2159. p
  21. Лажетич Н. О сходимости спектральных разложений, отвечающих неотрицательным самосопряженным расширениям оператора Штурма-Лиувилля, для функций из класса Hα// Дифф. уравн. - 1984. - 20, № 1. -С. 61-68.
  22. Лебедь Г. К. Нервенства для полиномов и их производных// Докл. АН СССР. -1957. - 117, № 4. - С. 570-572.
  23. Ломов И. С. О скорости равносходимости рядов Фурье по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля в интегральной метрике// Дифф. уравн. -1982. - 18, № 9. -С. 1480-1493.
  24. Ломов И. С. Об аппроксимации функций на отрезке спектральными разложениями оператора Шредингера// Докл. РАН. -1995. - 342, № 6. -С. 735-738.
  25. Ломов И. С. Об аппроксимации функций на отрезке спектральными разложениями оператора Шредингера// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. -1995. -№ 4. -С. 43-54.
  26. Ломов И. С. Коэффициентные условия сходимости в Lp(0, 1) биортогональных разложений функций// Дифф. уравн. -1998. - 34, № 1. -С. 31-39.
  27. Ломов И. С. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциальных операторов на скорость равносходимости спектральных разложений. I// Дифф. уравн. -1998. - 34, № 5. -С. 619- 628. - https://mi.mathnet.ru/de9712.
  28. Ломов И. С. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциальных операторов на скорость равносходимости спектральных разложений. II// Дифф. уравн. -1998. - 34, № 8. -С. 1066- 1077. - https://www.mathnet.ru/rus/de9749.
  29. Ломов И. С. Формула среднего значения Е. И. Моисеева для обыкновенных дифференциальных операторов четного порядка с негладкими коэффициентами// Дифф. уравн. -1999. - 35, № 8. -С. 1046- 1057.
  30. Ломов И. С. О локальной сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами с негладкими коэффициентами. I// Дифф. уравн. -2001. - 37, № 3. -С. 328-342. - doi: 10.1023/A:1019242515472.
  31. Ломов И. С. О локальной сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами с негладкими коэффициентами. II// Дифф. уравн. -2001. - 37, № 5. -С. 648-660. - doi: 10.1023/A:1019268615898.
  32. Ломов И. С. Равномерная сходимость и сходимость в Lp на замкнутом интервале спектральных разложений неклассических обыкновенных дифференциальных операторов// Дисс. д.ф.-м.н. -Москва, 2002.
  33. Ломов И. С. Сходимость биортогональных разложений функций на отрезке для дифференциальных операторов высокого порядка// Дифф. уравн. -2005. - 41, № 5. -С. 632-646.
  34. Ломов И. С. Зависимость оценок скорости локальной сходимости спектральных разложений от расстояния внутреннего компакта до границы// Дифф. уравн. -2010. - 46, № 10. -С. 1409-1420.
  35. Ломов И. С. Оценки скорости сходимости и равносходимости спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Мат. Мех. Инф. -2015. - 15, № 4. -С. 405-418. -doi: 10.18500/1816-9791-2015-15-4-405-418.
  36. Ломов И. С., Марков А. С. Оценки скорости локальной сходимости спектральных разложений дифференциальных операторов четного порядка// Дифф. уравн. -2013. - 49, № 5. -С. 557-563. - doi: 10.1134/S03740641130.
  37. Минкин А. М. Теоремы равносходимости для дифференциальных операторов// Дисc. к.ф.-м.н. -Саратов, 1982.
  38. Минкин А. М. Разложение по собственным функциям одного класса негладких дифференциальных операторов// Дифф. уравн. -1990. - 26, № 2. -С. 356-358.
  39. Моисеев Е. И. Формула среднего значения для регулярного решения обыкновенного дифференциального уравнения// Докл. АН СССР. -1975. - 223, № 3. -С. 562-565.
  40. Моисеев Е. И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения дифференциального уравнения// Дифф. уравн. -1980. - 16, № 5. -С. 827-844.
  41. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. -М.: Наука, 1969.
  42. Никольская Е. И. Оценка разности между частичными суммами разложений абсолютно непрерывной функции по корневым функциям, отвечающим двум одномерным операторам Шредингера с комплексными потенциалами из класса L1// Дифф. уравн. -1992. - 28, № 4. -С. 598-612.
  43. Радзиевский Г. В. Краевые задачи и связанные с ними модули непрерывности// Функц. анал. и его прил. -1995. - 29, № 3. -С. 87-90.
  44. Рыхлов В. С. Разложение по собственным и присоединенным функциям квазидифференциальных и интегральных операторов// Дисс. к.ф.-м.н. -Саратов, 1981.
  45. Рыхлов В. C. Асимптотика системы решений квазидифференциального уравнения// В сб.: «Дифференциальные уравнения и теория функций. Разложение и сходимость. Вып. 5». -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1983. -С. 51-59.
  46. Рыхлов В. С. О скорости равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (n - 1)-й производной// Докл. АН СССР. -1984. - 279, № 5. -С. 1053-1056.
  47. Рыхлов В. С. Скорость равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (n - 1)-й производной// Дифф. уравн. -1990. - 26, № 6. -С. 975-989.
  48. Рыхлов В. С. О скорости равносходимости в аналоге теоремы Штейнгауза// ТВИМ. -2015. -№ 3. - С. 62-81.
  49. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Мат. заметки. -1999. - 66, № 6. -С. 897-912.
  50. Садовничая И. В. О скорости равносходимости разложений в ряды по тригонометрической системе и по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением// Дифф. уравн. -2008. - 44, № 5. -С. 656-664.
  51. Садовничая И. В. О равносходимости разложений в ряды по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями// Мат. сб. - 2010. - 201, № 9. -С. 61-76. - doi: 10.4213/sm7598.
  52. Садовничая И. В. Равносходимость в пространствах Соболева и Гельдера разложений по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями// Докл. РАН. -2011. - 437, № 2. -С. 162-163.
  53. Садовничая И. В. Равносходимость спектральных разложений для системы Дирака с потенциалом из пространств Лебега// Тр. МИАН. -2016. - 293. -С. 296-324. -doi: 10.1134/S0371968516020205.
  54. Садовничая И. В. Вопросы равносходимости для операторов Штурма-Лиувилля и Дирака// Дисс. д.ф.-м.н. -Москва, 2016.
  55. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. -М.: Наука, 1985.
  56. Стеклов В. А. Sur les expressions asymptotiques de certaines fonctions definies par les equations diff´erentielles du second ordre et leurs applications au probl´eme du dev´eloppement d’une fonction arbitraire en s´erie proc´edant suivant les dites fonctions// Сообщ. Харьк. мат. об-ва. -1907. - 10. -С. 97-199.
  57. Стеклов В. А. Об асимптотическом выражении некоторых функций, определяемых линейным дифференциальным уравнением второго порядка и их применении к задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям. -Харьков: Изд-во Харьк. гос. ун-та, 1956.
  58. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложение произвольных функций в ряды. -Петроград: Тип. М. П. Фроловой, 1917.
  59. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 2. -М.: ИЛ, 1961.
  60. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов// Мат. сб. -1981. - 114, № 3. -С. 378-405. -doi: 10.1070/SM1982v042n03ABEH002257.
  61. Хромов А. П. Спектральный анализ дифференциальных операторов на конечном интервале// Дифф. уравн. -1995. - 31, № 10. -С. 1691-1696.
  62. Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. -2000. -№ 2. -С. 21-26.
  63. Хромов А. П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях// Мат. сб. - 2006. - 197, № 11. -С. 115-142. - doi: 10.4213/sm1534.
  64. Черных Н. И. О приближении функций полиномами со связями// Тр. МИАН. -1967. - 88. -С. 75- 130.
  65. Юрко В. А. О дифференциальных операторах высших порядков с регулярной особенностью// Мат. сб. -1995. - 186, № 6. -С. 133-160.
  66. Alimov Sˇ. A., Joo´ I. Equiconvergence theorem with exact order// Stud. Sci. Math. Hung. -1980. - 15.- С. 431-439.
  67. Djakov P., Mityagin B. Unconditional convergence of spectral decompositions of 1D Dirac operators with regular boundary conditions// Indiana Univ. Math. J. -2012. - 61, № 1. -С. 359-398.
  68. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme// Math. Ann. -1910. - 69. -С. 331-371. - doi: 10.1007/BF01456326.
  69. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme// Math. Ann. -1911. - 71. -С. 38-53. -doi: 10.1007/BF01456927.
  70. Hobson E. W. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by series of normal functions// Proc. London Math. Soc. -1908. - 6. -С. 349-395.
  71. Karamata J. Sur certains «Tauberian theorems» de M. M. Hardy et Littlewood// Mathematica (Cluj). - 1930. - 3. -С. 33-48.
  72. Kurbanov V. M. Dependence rate of equiconvergence on the module of continuity of potential of the Sturm- Liouville operator// Stud. Sci. Math. Hung. -2004. - 41, № 3. -С. 347-364.
  73. Minkin A. М. Equiconvergence theorems for differential operators// J. Math. Sci. -1999. - 96, № 6. - С. 3631-3715. -doi: 10.1007/bf02172664.
  74. Parameswaran S. Partition functions whose logarithms are slowly oscillating// Trans. Am. Math. Soc. - 1961. - 100. -С. 217-240.
  75. Radzieskii G. V. The rate of convergence of decompositions of ordinary functional-differential operators by eigenfunctions// В сб.: «Some Problems of the Modern Theory of Differential Equations». -Kiev: Inst. Math. Ukr. Nat. Acad. Sci., 1994. -С. 14-27.
  76. Rykhlov V. S. On the rate of equiconvergence for differential operators with nonzero coefficient of the (n - 1)-st derivative// Sov. Math. Dokl. -1984. - 30, № 3. -С. 777-779.
  77. Rykhlov V. S. Rate of equiconvergence for differential operators with nonzero coefficient of the (n - 1)-th derivative// Differ. Equ. -1990. - 26, № 6. -С. 704-715.
  78. Rykhlov V. S. Equiconvergence rate in terms of general moduli of continuity for differential operators// Res. Math. -1996. - 29. -С. 153-168. - doi: 10.1007/BF03322215.
  79. Sadovnichaya I. V. Equiconvergence theorems for Sturm-Lioville operators with singular potentials (rate of equiconvergence in W θ -norm)// Eurasian Math. J. -2010. - 1, № 1. -С. 137-146.
  80. Steinhaus H. Sur le d´eveloppment du produit de deux fonctions en une s´erie de Fourier// Bull. Intern. de l’Acad. de Cracovie. -Krako´w, 1913. -С. 113-116.
  81. Stone M. H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff// Trans. Am. Math. Soc. -1926. - 28.- С. 695-761.
  82. Tamarkine J. D. Sur quelques points de la theory des equations differentielles lineaires ordinaires et sur la generalisation de la serie de Fourier// Rend. Circ. Mat. Palermo. -1912. - 34. -С. 345-382.
  83. Tamarkin J. D. Some general problems of the theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions// Math. Z. -1928. - 27, № 1. -С. 1-54. - doi: 10.1007/bf01171084.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».