Статистическая эргодическая теорема в симметричных пространствах для бесконечных мер

Пусть (Ω,μ) - измеримое пространство с σ-конечной непрерывной мерой, μ(Ω)=∞. Линейный оператор T:L₁(Ω)+L_∞(Ω)→L₁(Ω)+L_∞(Ω) называют оператором Данфорда-Шварца, если ||T(f)||₁<||f||₁ (соответственно, ||T(f)||_∞<||f||_∞) для всех f∈L₁(Ω) (соответственно, f∈L_∞(Ω)). Если {T_t}_t>0 - сильно непрерывная в L₁(Ω) полугруппа операторов Данфорда-Шварца, то каждый оператор ${{{A_t(f)} ={\frac{1}{t}} {\int_0^t} {T_s(f)} ds \in L_1(\Omega)}}$ имеет единственное продолжение до оператора Данфорда-Шварца, которое также обозначается через A_t, t>0. Доказывается, что во вполне симметричном пространстве измеримых функций на (Ω,μ) средние A_t сильно сходятся при t→+∞ для каждой сильно непрерывной в L₁(Ω) полугруппы {T_t}_t>0 операторов Данфорда-Шварца в том и только в том случае, когда норма ||.||_E(Ω) порядково непрерывна.