Дискретные модели кинетических уравнений типа Больцмана

Известные нелинейные кинетические уравнения, в частности, волновое кинетическое уравнение и квантовые уравнения Нордхейма—Улингa—Уленбека, рассматриваются как естественное обобщение классического пространственно-однородного уравнения Больцмана. С этой целью введем общее кинетическое уравнение типа Больцмана, зависящее от функции четырех действительных переменных \(F(x,y;
v,w).\) Предполагается, что функция \(F\) удовлетворяет некоторым простым соотношениям. Изучены основные свойства этого кинетического уравнения. Показано, что упомянутым выше частным кинетическим уравнениям соответствуют различные полиномиальные формы функции \(F.\) Далее рассматривается задача дискретизации общего кинетического уравнения типа Больцмана на основе идей, аналогичных тем, что используются для построения дискретных скоростных моделей уравнения Больцмана. Основное внимание уделено дискретным моделям волнового кинетического уравнения. Показано, что такие модели имеют монотонный функционал, аналогичный \(H\)-функции Больцмана. Сформулирована и исследована теорема существования, единственности и сходимости к равновесию решений задачи Коши с произвольными положительными начальными условиями. Также кратко обсуждаются различия в долговременном поведении решений волнового кинетического уравнения и решений его дискретных моделей.