Bazisnost' Rissa so skobkami dlya sistemy Diraka s summiruemym potentsialom


如何引用文章

全文:

详细

В работе изучается оператор Дирака LP,U, порожденныйв пространстве H = (L2[0, π])2 дифференциальным выражением lP(y)=By'+Py, где B=(-i 0,0 i), P(x)=(p1(x) p2(x),p3(x) p4(x)), y(x)=(y1(x) y2(x)), и регулярными краевыми условиями U(y)=(u11 u12, u21 u22)(y1(0) y2(0))+(u13 u14,u23 u24)(y1(π) y2(π))=0. Элементы матрицы P предполагаются суммируемыми на [0, π] комплекснозначными функциями. Мы покажем, что оператор LP,U имеет дискретный спектр, состоящий из собственных значений {λn}n∈Z, причем λn = λ0n + o(1) при |n| → ∞, где {λ0n}n∈Z - спектр оператора L0,U с нулевым потенциалом и теми же краевыми условиями. Если краевые условия сильно регулярны, то спектр оператора LP,U является асимптотически простым. Мы покажем, что в этом случае система собственных и присоединенных функций оператора LP,U образует базис Рисса в пространстве H (при условии нормировки собственных функций). В случае регулярных, но не сильно регулярных краевых условий все собственные значения оператора L0,U двукратны, а собственные значения оператора LP,U асимптотически двукратны. В этом случае мы покажем, что система, составленная из соответствующих двумерных корневых подпространств оператора LP,U, образует базис Рисса из подпространств (базис Рисса со скобками) в пространстве H.

作者简介

A. Savchuk

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Email: artem_savchuk@mail.ru
Россия, Москва

I. Sadovnichaya

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Email: ivsad@yandex.ru
Россия, Москва

参考

  1. Амиров Р. Х., Гусейнов И. М. Некоторые классы операторов Дирака с сингулярными потенциалами// Дифф. уравн. - 2004. - 40, № 7. - С. 999-1001.
  2. Баскаков А. Г., Дербушев А. В., Щербаков А. О. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом// Изв. РАН. Сер. Мат. - 2011. - 75, № 3. - С. 3-28.
  3. Велиев О. А., Шкаликов А. А. О базисности Рисса собственных и присоединенных функций периодической и антипериодической задач Штурма-Лиувилля// Мат. заметки. - 2009. - 85, № 5. - С. 671-686.
  4. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. - М.: Мир, 1984.
  5. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1965.
  6. Кацнельсон В. Э. Об условиях базисности системы корневых векторов некоторых классов операторов// Функц. анализ и его прилож. - 1967. - 1, № 2.- С. 39-51.
  7. Келдыш М. В. О полноте собственых функций некоторых классов несамосопряженных уравнений// Усп. мат. наук. - 1971. - 27, № 4. - С. 15-47.
  8. Кесельман Г. М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям конкретных дифференциальных операторов// Изв. вузов. Сер. Мат. - 1964. - 39, № 2.- С. 82-93.
  9. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория Обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Изд. Иностранной Лит., 1958.
  10. Корнев В. В., Хромов А. П. Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и антипериодическими краевыми условиями// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Мат. Мех. Информ. - 2013. - 13, № 3. - С. 28-35.
  11. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. - М.: Наука, 1988.
  12. Лунев А. А., Маламуд М. М. О полноте системы корневых векторов для систем первого порядка. Применение к задаче Редже// Докл. РАН. - 2013. - 453, № 3. - С. 256-261.
  13. Лунев А. А., Маламуд М. М. О базисности Рисса системы корневых векторов для 2 × 2-системы типа Дирака// Докл. РАН. - 2014. - 458, № 3. - С. 1-6.
  14. Маркус А. С. О разложении по корневым векторам слабо возмущенного самосопряженного оператора// Докл. АН СССР. - 1962. - 142, № 3. - С. 538-541.
  15. Маркус А. С., Мацаев В. И. Теоремы сравнения спектров линейных операторов и спектральные асимптотики// Тр. Моск. Мат. об-ва. - 1982. - 45. - С. 133-181.
  16. Минкин А. М. Теоремы равносходимости для дифференциальных операторов// Итоги науки и техн. Совр. матем. и ее прилож. - 1997. - 49. - С. 3631-3715.
  17. Михайлов В. П. О базисности Рисса в L2(0, 1)// Докл. АН СССР. - 1962. - 144. - С. 981-984.
  18. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. - М.: Наука, 1969.
  19. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - М.: Мир, 1979.
  20. Савчук А. М., Садовничая И. В. Асимптотические формулы для фундаментальных решений системы Дирака с комплекснозначным суммируемым потенциалом// Дифф. уравн. - 2013. - 49, № 5. - С. 573- 584.
  21. Садовничая И. В. О равносходимости разложений в ряды по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями// Мат. сб. - 2010. - 201, № 9. - С. 61-76.
  22. Садовничая И. В. Равносходимость в пространствах Гельдера разложений по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями// Дифф. уравн. - 2012. - 48, № 5. - С. 674-685.
  23. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольной функции в ряды. - Петроград, 1917.
  24. Шкаликов А. А. О свойстве базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора// Усп. мат. наук. - 1979. - 34, № 5. - C. 235-236.
  25. Шкаликов А. А. Граничные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в краевых условиях// Тр. сем. им. И. Г. Петровского - 1983. - 9. - С. 190-229.
  26. Шкаликов А. А. Некоторые вопросы теории полиномиальных операторных пучков// Усп. мат. наук - 1983. - 38, № 3. - С. 189-190.
  27. Albeverio S., Hryniv R. O., Mykytyuk Ya. Inverse spectral problems for Dirac operators with summable potentials// Russ. J. Math. Phys. - 2005. - 12, № 4. - С. 406-423.
  28. Birkho G. D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear di erential equations containing a parameter// Trans. Am. Math. Soc. - 1908. - 9. - С. 21-231.
  29. Birkho G. D. Boundary value and expansion ploblems of ordinary linear di erential equations// Trans. Am. Math. Soc. - 1908. - 9. - С. 373-395.
  30. Birkho G. D., Langer R. E. The boundary problems and developments associated with a system of ordinary di erential equations of the rst order// Proc. Am. Acad. Arts Sci. - 1923. - 58. - С. 49-128.
  31. Djakov P., Mityagin B. Bari-Markus property for Riesz projections of 1D periodic Dirac operators// Math. Nachr. - 2010. - 283, № 3. - С. 443-462.
  32. Djakov P., Mityagin B. Criteria for existence of Riesz bases consisting of root functions of Hill and 1D Dirac operators// J. Funct. Anal. - 2012. - 263. - С. 2300-2332.
  33. Djakov P., Mityagin B. Unconditional convergence of spectral decompositions of 1D Dirac operators with regular boundary conditions// Indiana Univ. Math. J. - 2012. - 61, № 1. - С. 359-398.
  34. Dunford N. A survey of the theory of spectral operators// Bull. Am. Math. Soc. - 1958. - 64. - С. 217- 274.
  35. Lindelo¨f E. Sur un principe ge´ne´ral de l’analyse et ses applications a´ conforme// Acta. Soc. Sc. Fennicae. - 1915. - 46, № 4. - С. 6
  36. Malamud M. M., Oridoroga L. L. On the completeness of root subspaces of boundary value problems for rst order systems of ordinary di erential equations//j. Funct. Anal. - 2012. - 263. - С. 1939-1980
  37. Sadovnichaya I. V. Equiconvergence theorems for Sturm-Liouville operators with singular potentials (rate of equiconvergence in Wθ -norm)// Eurasian Math. J. - 2010. - 1, № 1. - С. 137-146
  38. Savchuk A. M. Spectral Properties of Dirac Operators on (0, 1) with summable potentials// The Sixth International Conference on Di erential and Functional Di erential Equations. Abstracts, Moscow. - 2011. - С. 63
  39. Savchuk A. M., Shkalikov A. A. The Dirac operator with complex-valued summable potential// Math. Notes. - 2014. - 96, № 5. - С. 777-810.
  40. Tamarkin J. D. Sur quelques points de la the´orie des e´quations di e´rentielles line´aires ordinaires et sur la ge´ne´ralisation de la se´rie de Fourier// Rend. Circ. Mat. Palermo. - 1912. - 34, № 2.- С. 345-382.
  41. Tamarkin J. D. Some general problems of the theory of linear di erential equations and expansions of an arbitrary function in series of fundamental functions// Math. Z. - 1928. - 27, № 1. - С. 1-54.
  42. Trooshin I., Yamamoto M. Riesz basis of root vectors of a nonsymmetric system of rst-order ordinary di erential operators and application to inverse eigenvalue problems// Appl. Anal. - 2001. - 80.- С. 19- 51.
  43. Trooshin I., Yamamoto M. Spectral properites and an inverse eigenvalue problem for nonsymmetric systems of ordinary di erential equations// J. Inverse Ill-Posed Probl. - 2002. - 10, № 6. - С. 643-658.

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML
下载

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».