Том 66, № 3 (2020): Спектральный анализ

Год: 2020
Статей: 1
URL: https://journal-vniispk.ru/2413-3639/issue/view/22174
DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2020-66-3

Весь выпуск

Статьи

Спектральный анализ одномерной системы Дирака с суммируемым потенциалом и оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентами-распределениями

Савчук А.М., Садовничая И.В.

Аннотация

Мы рассматриваем одномерный оператор Дирака L_P,U. Краевые условия предполагаются регулярными по Биркгофу, а потенциал P(x) - суммируемым на [0, $π$ ]. Вводятся понятия сильно и слабо регулярного оператора. В обоих случаях найдены асимптотические формулы для собственных значений. В этих формулах мы выписываем главные асимптотические члены и оцениваем остатки, которые специфицируем в зависимости от функционального класса потенциала: L_p[0, $π$ ], где p ∈ [1, 2], и пространства Бесова $B_{p, p'}^{θ} [0, π]$ , где p ∈ [1, 2], а θ ∈ (0, 1/p). Дополнительно мы доказываем равномерность наших оценок по шарам ${||P||}_{p, θ} \leq R$ . Затем мы получаем асимптотические формулы длянормированных собственных функций в сильно регулярном случае с такими же оценками остатковв равномерной на [0, $π$ ] метрике. В слабо регулярном случае собственные значения асимптотически двукратны, и мы проводим аналогичные оценки для соответствующих двумерных спектральных проекторов. Далее мы доказываем базисность Рисса в пространстве (L₂[0, $π$ ])² системы собственных и присоединенных функций произвольного сильно регулярного оператора L_P,U. В слабо регулярном случае доказана базисность Рисса двумерных подпространств.

Параллельно с оператором L_P,U мы рассматриваем оператор Штурма-Лиувилля L_q,U , порожденный дифференциальным выражением -y'' + q(x)y с потенциалом q первого порядка сингулярности (т. е. предполагаем, что первообразная u = q^(-1) лежит в L₂[0, $π$ ]) и регулярными по Биркгофукраевыми условиями. С помощью подобия мы сводим к этому случаю операторы более общего вида $- (τ_{1} y')' + i (σ y)' + i σ y' + τ_{0} y$ , где $τ'_{1}, σ, τ_{0}^{(- 1)} \in L_{2}$ и $τ_{1} > 0$ . Для оператора L_q,U получаем такие же результаты об асимптотике собственных значений, собственных функций, результаты о базисности, как и для L_P,U.

Затем для оператора Дирака L_P,U мы доказываем равномерность базисности Рисса по шарам ${||P||}_{p, θ} \leq R$ при p>1 или θ>0. Задача об условной базисности естественным образом обобщается до задачи о равносходимости спектральных разложений в различных метриках. Мы доказываем результат о равносходимости, варьируя три индекса: $f \in L_{μ} [0, π]$ (раскладываемая функция), $P \in L_{ℵ} [0, π]$ (потенциал) и $||S_{m} - S_{m}^{0}|| \to 0, m \to \infty$ , в $L_{ν} [0, π]$ (равносходимость спектральных разложений посоответствующей норме). В завершение мы доказываем теоремы об условной и безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций оператора L_P,U в пространствах $L_{μ} [0, π], μ \neq 2$ , и в различных пространствах Бесова $B_{p, q}^{θ} [0, π]$ .

Показать

Скрыть

Современная математика. Фундаментальные направления. 2020;66(3):373-530

373-530

(Rus)

(JATS XML)

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация