Development of the theoretical model to construct the lines of influence of vertical displacements in a three-hinged arch section

Full Text

Введение

Первые расчеты стержневых конструкций берут свое начало еще в XIX веке. Методика построения линий влияния зародилась в 1854 году. Французский инженер Ж. А. К. Бресс составил таблицы «чисел влияния» для распора и опорных моментов бесшарнирной арки [1].

Через 13 лет после Бресса линии влияния для балки с заделанными концами, а затем и для арки построил Г. Винклер [2], доведя до конца идею Бресса и заслужив славу изобретателя линий влияния. В 1876 году Френкель применил этот метод к расчету статически определимой балки.

Для решения сложных задач позже были разработаны методы моментных точек Мюллера-Бреслау (1887 г.), Абрамова (1935 г.); метод замены стержней Геннеберга (1886 г.); метод замены связей (1901 г.); метод ложного положения.

В наши дни большой вклад в развитие стрежневых структур внес доктор физико-математических наук М. Н. Кирсанов. Он рассматривает методы оптимизации стержневых структур, занимается популяризацией метода индукции в расчетах ферм [3-5].

В научных и методических изданиях авторов Ю. И. Бутенко и Н. А. Засятько изложены различные способы построения линий влияния перемещений в консольных балках. Это отражено в учебниках по строительной механике указанных авторов [6].

В работе Е. Ф. Ежова и М. В. Мишина [7] предложены формулы для построения линий влияния шарнирно-опертых, статически определимых балок.

В. А. Киселевым рассмотрены расчеты двухшарнирных арок с очертанием по веревочной кривой [8]. Он приводит способы построения линий влияния внутренних усилий (изгибающих моментов М_k, поперечных сил Q_k и продольных сил N_k) в заданном сечении k трехшарнирной арки. При этом используются методы нулевых точек, кинематический и способ наложения. Недостатком этих способов является отсутствие уравнений, описывающих величину искомых усилий М_k, Q_k и N_k в зависимости от положения единичной вертикальной силы P = 1, расположенной на расстоянии х от правой опоры трехшарнирной арки.

В работе [9] Е. Ф. Ежовым и соавторами получены формулы, устраняющие неудобства вышеупомянутых методов. Однако здесь не приведены конкретные примеры расчета арки на подвижную нагрузку.

В статье [10] на основе теоретических выкладок из предыдущей работы саранскими учёными даются решения характерных практических задач. Эти задачи предлагаются в качестве расчетно-проектировочных работ для студентов строительных специальностей Архитектурно-строительного института Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарёва.

Анализ теоретической и научно-методической литературы по расчету арок показывает, что отсутствуют сведения о линиях влияния перемещений сечения арок, что обусловливает актуальность данного исследования.

Цель исследований – разработка теоретических методов расчета трехшарнирных арок.

В данной работе получены формулы, позволяющие построить линию влияния перемещений сечения (k) трехшарнирной арки от действия единичной подвижной силы.

Математическое моделирование

1.1. Определим опорные реакции от единичной силы Р_к = 1, приложенной в точке определения вертикального перемещения (k) (рис. 1–3).

 

Рис. 1. Исходная расчетная схема трехшарнирной арки для определения усилий при в ≤ x ≤ l (а); эпюра моментов $\overline{{М}_k}$ от действия единичной силы Р_k = 1, приложенной в сечении k (б); эпюра моментов $\overline{{М}_k}$ от действия единичной силы Р_n = 1, приложенной в произвольном сечении n (в)

Fig. 1. The initial calculation scheme of a three-hinged arch for determining forces at b ≤ x ≤ l (a); the plot of moments from the action of a single force P_k = 1 applied in section k (b); the plot of moments from the action of a single force Р_п = 1 applied in an arbitrary section n (c)

 

Рис. 2. Исходная расчетная схема трехшарнирной арки для определения усилий при (а); эпюра моментов $\overline{{М}_k}$ от действия единичной силы Р_k = 1, приложенной в сечении k (б); эпюра моментов $\overline{{М}_k}$ от действия единичной силы Р_n = 1, приложенной в произвольном сечении n (в)

Fig. 2. The initial design scheme of a three-hinged arch for determining the forces at l / 2 ≤ x ≤ b (a); the plot of moments from the action of a single force P_k = 1 applied in section k (b); the plot of moments from the action of a single force Р_п = 1 applied in an arbitrary section n (c)

 

Рис. 3. Исходная расчетная схема трехшарнирной арки для определения усилий при 0 ≤ l/2 (а); эпюра моментов $\overline{{М}_k}$ от действия единичной силы Р_k = 1, приложенной в сечении k (б); эпюра моментов $\overline{{М}_k}$ от действия единичной силы Р_n = 1, приложенной в произвольном сечении n (в)

Fig. 3. The initial calculation scheme of a three-hinged arch for determining forces at 0 ≤ l/2 (a); the plot of moments from the action of a single force P_k = 1 applied in section k (b); the plot of moments from the action of a single force P_п = 1 applied in an arbitrary section n (c)

 

$\sum M_b=\mathrm{0,}$ $R_a\cdot l-1\cdot b=\mathrm{0,}$ $R_a=b/l;$

$\sum {M_c}^{л}=\mathrm{0,}$

$R_a\cdot l/2-H_a\cdot f-1\cdot (b-l/2)=\mathrm{0,}$

$H_a=\frac{R_a\cdot l}{2\cdot f}-\frac{(b-l/2)}{f}=\frac{b}{2f}-\frac{(b-l/2)}{f}$.

Примем $\frac{b}{2f}-\frac{(b-l/2)}{f}=c$.

Упростим выражение

$\frac{b}{2f}-\frac{(b-l/2)}{f}=c,$ $c=\frac{l-b}{2f};$ $H_a=c$.

Примем $\frac{b}{l}=t$, тогда $R_a=\frac{b}{l}=t$.

$\sum Y=0;$ $R_a-1+R_b=\mathrm{0,}$

$R_b=1-R_a=(1-\frac{b}{l}),$

$R_b=(1-t),$ $H_b=c$.

1.2. Определим опорные реакции от единичной силы Р_n = 1, расположенной на растоянии x от правой опоры (см. рис. 1).

$M_1=R_a(l-x)-H_a\cdot y=t(l-x)-c\frac{4f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2};$

$M_2=(1-t)\cdot x-c\cdot \frac{4f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2}$;

$R_a^{}\cdot l-P_n\cdot m=0;$ $R_a=\frac{Pn\cdot m}{l}=\frac{m}{l}$.

Примем выражение $\frac{m}{l}=v$, тогда

$-H_a\cdot f+R_a\cdot l/2-1\cdot (m-l/2),$

$H_a=\frac{m}{2f}-\frac{m-l/2}{f}$.

Примем $\frac{m}{2f}-\frac{m-l/2}{f}=g$,

тогда $H_a=g,$ $H_b=g,$ $R_b=1-v$.

1.3. Запишем уравнения изгибающих моментов на участках 1 (${\overline{M}}_1$), 2 (${\overline{M}}_2$), 3 (${\overline{M}}_3$) и на участке 4 (${\overline{M}}_4$).

${\overline{M}}_1=R_a(l-x)-H_a\cdot y=t(l-x)-c\frac{4f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2};$

${\overline{M}}_2=(1-t)\cdot x-c\cdot \frac{4f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2}$;

${\overline{M}}_3=v(l-x)-g\left(\frac{4f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2}\right)$;

${\overline{M}}_4=(1-v)\cdot x-g\left(\frac{4f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2}\right)$.

2. Выведем уравнения для случая, когда единичная сила P_n = 1 находится между точками k и А для сечения с координатой в ≤ $x$ ≤ $l$.

В этом случае (случай 1) для точки с координатой в ≤ $x$ ≤ $l$ значения моментов ${\overline{M}}_k={\overline{M}}_2$, ${\overline{M}}_n={\overline{M}}_4$, а для любого сечения с координатой в ≤ $x$ ≤ $l$ – k значения моментов ${\overline{M}}_k={\overline{M}}_1$, ${\overline{M}}_n={\overline{M}}_4$. Если абсцисса сечения находится в интервале $l$ – k ≤ $x$ ≤ $l$, значения моментов будут составлять ${\overline{M}}_k={\overline{M}}_1$, ${\overline{M}}_n={\overline{M}}_3$.

2.1. Вертикальные перемещения сечения (k) вычислим с помощью интеграла Мора, учитывая лишь влияние изгибающих моментов. Влияние поперечных и продольных сил на искомое перемещение незначительно, что будет видно из сравнения наших результатов с данными, полученными при помощи программного комплекса LIRA.

Принимаем, что арка имеет постоянную жесткость при изгибе по всей длине. ($E{J}_0=\mathrm{const}$).

${\delta }_{kn}^1=\underset{0}{\overset{b}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{k}{\overset{a}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{m}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx=$

$=\underset{0}{\overset{b}{\int }}\frac{{\overline{M}}_2\cdot {\overline{M}}_4}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{k}{\overset{a}{\int }}\frac{{\overline{M}}_1\cdot {\overline{M}}_4}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{m}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_1\cdot {\overline{M}}_3}{E{J}_0}\cdot dx.$

Вычислим почленно три интеграла и просуммируем их, получив окончательно величину ${\delta }_{kn}^1$ для случая, когда сила Р_n = 1 находится в пределах от опоры А до сечения k.

В конечном итоге для первого случая, когда P_n = 1 находится между точками А и k, получим выражение (1).

$\begin{array}{l}=\frac{1}{E{J}_0}\cdot \left[\frac{b^3}{3}\right(1-v-\frac{4gv}{l}+\frac{4gf}{l^2}-t+tv+\frac{4gtf}{l}-\frac{4cf}{l}+\frac{4cvf}{l}+\frac{16cg{f}^2}{l^2})+\\ +\frac{b^4}{4}(\frac{4cf}{l{}^2}-\frac{4cvf}{l^2}-\frac{16cf}{l^3}-\frac{4gft}{l^2}-\frac{cg{f}^2}{l^3})+\frac{b^5}{5}\left(\frac{16cg{f}^2}{l^4}\right)]+\\ +\frac{1}{E{J}_0}\cdot [\frac{(a^2-k^2)}{2}\cdot (tk-\frac{4fck}{l})+\frac{a^3-k^3}{3}(tv-\frac{4gtf}{l}-\frac{4fcv}{l}+\frac{16f^{2}gc}{l^2}-t+\frac{4fc}{l}+\frac{4fck}{l^2})+\\ +\frac{a^4-k^4}{4}(\frac{4ftg}{l^2}-\frac{16f^{2}gc}{l^3}+\frac{4fcv}{l^2}-\frac{16f^{2}gc}{l^3}-\frac{4fc}{l^2})+\frac{a^5-k^5}{5}\left(\frac{16f^{2}gc}{l^4}\right)]+\\ +\frac{1}{E{J}_0}\cdot \left[\frac{k^3}{3}\right(vt-\frac{4gft}{l}-\frac{4fcv}{l}+\frac{16f^{2}cg}{l^2})+\frac{k^4}{4}(\frac{4fgt}{l^2}-\frac{16f^{2}cg}{l^3}+\frac{4cfv}{l^2}-\frac{16f^{2}gc}{l^3})+\\ +\frac{k^5}{5}\left(\frac{16f^{2}cg}{l^4}\right)];\end{array}$ (1)

3. Рассмотрим случай, когда сила Р_n находится правее сечения k, но левее ключевого шарнира С ($l/2$ ≤ $x$ ≤ m).

Значения опорных реакций останутся теми же.

$H_a=c,$ здесь $c=\frac{l-b}{2f};$ $R_a=\frac{b}{l}=t;$ $R_b=(1-t).$

Поменяются лишь пределы интегрирования и произведения выражений моментов в интеграле Мора.

Выведем уравнения для случая, когда единичная сила P_n = 1 находится между точками k и С для точки с координатой $l/x$ ≤ $x$ ≤ в.

В этом случае (случай 2) для сечения с координатой в ≤ $x$ ≤ l значения моментов ${\overline{M}}_k={\overline{M}}_2$, ${\overline{M}}_n={\overline{M}}_4$. Для сечения с координатой в ≤ $x$ ≤ $l-k$ значения моментов ${\overline{M}}_k={\overline{M}}_1$, ${\overline{M}}_n={\overline{M}}_4$. Для точки с координатой $l-k$ ≤ $x$ ≤ $l$ значения моментов будут составлять ${\overline{M}}_k={\overline{M}}_1$, ${\overline{M}}_n={\overline{M}}_3$.

3.1. Для определения вертикальных перемещений сечения (k) снова воспользуемся интегралом Мора, учитывая лишь влияние изгибающих моментов (влияние поперечных и продольных сил на искомое перемещение незначительно, что также будет видно из сравнения наших результатов с полученными при помощи программного комплекса LIRA).

${\delta }_{kn}^2=\underset{0}{\overset{m}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{m}{\overset{b}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{b}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx;$

${\delta }_{kn}^2=\underset{0}{\overset{m}{\int }}\frac{{\overline{M}}_2\cdot {\overline{M}}_4}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{k}{\overset{a}{\int }}\frac{{\overline{M}}_1\cdot {\overline{M}}_4}{E{J}_0}\cdot dz+\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{{\overline{M}}_1\cdot {\overline{M}}_3}{E{J}_0}\cdot dz.$

Вычислим почленно три интеграла и просуммируем их, получив окончательно величину . В итоге для второго случая, когда единичная сила Р_n = 1 находится в пределах от сечения k до ключевого шарнира С (см. рис. 2), получим выражение (2).

${\delta }_{kn}^2=\underset{0}{\overset{m}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{k}{\overset{a}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dz+\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dz=$

$\begin{array}{l}=\frac{1}{E{J}_0}\left[\frac{m^3}{3}\right(1-v-\frac{4gv}{l}+\frac{4gf}{l^2}-t+tv+\frac{4gtf}{l}-\frac{4cf}{l}+\frac{4cvf}{l}+\frac{16cg{f}^2}{l^2})+\\ +\frac{m^4}{4}(\frac{4cf}{l{}^2}-\frac{4cvf}{l^2}-\frac{16cf}{l^3}-\frac{4gft}{l^2}-\frac{cg{f}^2}{l^3})+\frac{m^5}{5}\left(\frac{16cg{f}^2}{l^4}\right)]+\\ \frac{1}{E{J}_0}\cdot \left[\frac{k^2-a{}^2}{2}\right(av-\frac{4gaf}{l})+\frac{k^3-a{}^3}{3}(tv-\frac{4gtf}{l}-\frac{4fcv}{l}+\frac{16f^{2}gc}{l^2}-v+\\ +\frac{4fg}{l}+\frac{4fga}{l^2})+\frac{k^4-a{}^4}{4}(\frac{4ftg}{l^2}-\frac{16f^{2}gc}{l^3}+\frac{4fcv}{l^2}-\frac{16f^{2}gc}{l^3}-\frac{4fg}{l^2})+\frac{k^5-a{}^5}{5}(\frac{16f^{2}gc}{l^4}\left)\right]+\\ +\frac{1}{E{J}_0}\cdot \left[\frac{a^3}{3}\right(vt-\frac{4gft}{l}-\frac{4fcv}{l}+\frac{16f^{2}cg}{l^2})+\frac{a^4}{4}(\frac{4fgt}{l^2}-\frac{16f^{2}cg}{l^3}+\frac{4cfv}{l^2}-\frac{16f^{2}gc}{l^3})+\\ +\frac{a^5}{5}\left(\frac{16f^{2}cg}{l^4}\right)];\end{array}$

4. Рассмотрим случай, когда сила Р_n находится правее ключевого шарнира С и левее опоры В $(0\le x\le \frac{l}{2}).$

4.1. Опорные реакции от единичной силы Р_к = 1, приложенной в точке определения вертикальных перемещений (k), были вычислены в пункте 1.1:

$H_a=c,$ здесь $c=\frac{l-b}{2f};$ $R_a=\frac{b}{l}=t;$ $R_b=(1-t).$

4.2. Вычислим опорные реакции от единичной силы Р_n = 1, расположенной на расстоянии х от правой опоры (0 ≤ х ≤ l/2) (см. рис. 3):

$\sum M_c^{л}=0;$ $R_a\cdot \frac{l}{2}-H_a\cdot f=0;$ $R_a=\frac{P_n\cdot m}{l}=\frac{m}{l}$;

$\sum M_c^{л}=0;$ $R_a\cdot \frac{l}{2}-H_a\cdot f=0;$ $H_a=\frac{R_a\cdot l}{2f}=\frac{m}{l}\cdot \frac{l}{2f}=\frac{m}{2f}=H_a=H_b;$

$\sum M_{с}^{пр}=\mathrm{0,}$ $-P_n(x-m)+R_b\cdot \frac{l}{2}-H_b\cdot f=0;$ $R_b=\frac{H_b\cdot f+x-m}{l/2};$

$-P_n\cdot k+R_b\cdot l=0;$ $R_b=\frac{k}{l}=\frac{l-m}{l}=1-\frac{m}{l};$

4.3. Запишем уравнения моментов (рис. 3) на участках 3 (${\overline{M}}_3$) и 4 (${\overline{M}}_4$):

${\overline{M}}_3=R_a(l-x)-H_a\cdot y=\frac{m}{l}(l-x)-\frac{m}{2f}\left(\frac{4fx(l-x)}{l^2}\right)=\frac{m}{l}(l-x)-\frac{2mx(l-x)}{l^2};$

${\overline{M}}_4=R_b\cdot x-H_b\cdot y=\frac{k}{l}\cdot x-\frac{m}{2f}\cdot \frac{4fx(l-x)}{l^2};$ в пределах от нуля до m;

${\overline{M}}_4=R_b\cdot x-H_b\cdot y-P_n(x-m)=\frac{k}{l}\cdot x-\frac{m}{2f}\cdot \frac{4fx(l-x)}{l^2}-x+m;$ в пределах от m до b.

4.4. Для определения перемещения сечения (k) от действия единичной силы, приложенной в произвольном сечении (n) на расстоянии $x$ от правой опоры $(0\le x\le \frac{l}{2}),$ снова воспользуемся интегралом Мора.

Определим перемещения сечения (k), проинтегрировав соответствующие выражения моментов:

${{\delta }^3}_{kn}=\sum \underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx=\underset{0}{\overset{m}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx+\underset{m}{\overset{b}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx+\underset{b}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx$.

Почленно проинтегрируем каждое слагаемое.

В итоге для третьего случая, когда единичная сила Р_n = 1 находится между ключевым шарниром С и опорой В (см. рис. 3), получим выражение (3).

$\begin{array}{l}{{\delta }^3}_{kn}=\sum \underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx=\underset{0}{\overset{m}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx+\underset{m}{\overset{b}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx+\underset{b}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx=\\ =\frac{1}{E{J}_0}\cdot \left[\frac{m^3}{3}\right(\frac{a(2m-k)}{l^2})+\frac{x^4}{4}(\frac{2a(k-3m)}{l^3})+\frac{4m^6}{5l^4}]+\frac{1}{E{J}_0}\cdot \left[\frac{b^3-m^3}{3}\right(\frac{am}{l^2}+\frac{3am}{l^2})+\\ +\frac{b^4-m^4}{4}(\frac{-6am}{l^3}-\frac{2am}{l^3})-\frac{b^2-m^2}{2}\cdot \frac{am}{l}+\frac{b^5-m^5}{5}\cdot \frac{4am}{l^4}]+\frac{1}{E{J}_0}\cdot [(\frac{a^3}{3}\cdot \frac{m(2a-b)}{l^2}+\\ +\frac{a^4}{4}\left(\frac{2m(b-3a)}{l^3}\right)+\frac{4am{a}^5}{5l^4}\left)\right];\end{array}$ (3)

Выводы

Получены аналитические выражения для построения линии влияния перемещения произвольного сечения (k) трехшарнирной арки при движении единичной силы в интервалах: в первом случае – $в\le x\le l$; во втором – $l/2\le x\le в;$ в третьем случае – $0\le x\le l/2.$

Проведенный численный анализ полученных результатов с помощью программного комплекса LIRA дает хороший итог.

Внедрение новой методики осуществляется при подготовке инженеров строительных специальностей в вузах, а также при проведении проверочных расчетов в работах по обследованию технического состояния строительных конструкций, при разработке способов восстановления их работоспособности.

About the authors

Rinat A. Bikbaev

National Research Mordovia State University

Author for correspondence.
Email: bikbaevra@yandex.ru

Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor of the Department of Applied Mechanics of the Institute of Architecture and Construction. Research interests – safety of operation of buildings and structures. Author of more than 100 publications.

Russian Federation, Saransk

Egor F. Ezhov

National Research Mordovia State University

Email: eef1950@mail.ru

Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor, retired. Research interests – static and dynamic precipitation of structures. Author of more than 100 publications.

Russian Federation, Saransk

References

Supplementary files