Разработка теоретической модели для построения линий влияния вертикальных перемещений сечения трехшарнирной арки

Полный текст

Введение

Первые расчеты стержневых конструкций берут свое начало еще в XIX веке. Методика построения линий влияния зародилась в 1854 году. Французский инженер Ж. А. К. Бресс составил таблицы «чисел влияния» для распора и опорных моментов бесшарнирной арки [1].

Через 13 лет после Бресса линии влияния для балки с заделанными концами, а затем и для арки построил Г. Винклер [2], доведя до конца идею Бресса и заслужив славу изобретателя линий влияния. В 1876 году Френкель применил этот метод к расчету статически определимой балки.

Для решения сложных задач позже были разработаны методы моментных точек Мюллера-Бреслау (1887 г.), Абрамова (1935 г.); метод замены стержней Геннеберга (1886 г.); метод замены связей (1901 г.); метод ложного положения.

В наши дни большой вклад в развитие стрежневых структур внес доктор физико-математических наук М. Н. Кирсанов. Он рассматривает методы оптимизации стержневых структур, занимается популяризацией метода индукции в расчетах ферм [3-5].

В научных и методических изданиях авторов Ю. И. Бутенко и Н. А. Засятько изложены различные способы построения линий влияния перемещений в консольных балках. Это отражено в учебниках по строительной механике указанных авторов [6].

В работе Е. Ф. Ежова и М. В. Мишина [7] предложены формулы для построения линий влияния шарнирно-опертых, статически определимых балок.

В. А. Киселевым рассмотрены расчеты двухшарнирных арок с очертанием по веревочной кривой [8]. Он приводит способы построения линий влияния внутренних усилий (изгибающих моментов М_k, поперечных сил Q_k и продольных сил N_k) в заданном сечении k трехшарнирной арки. При этом используются методы нулевых точек, кинематический и способ наложения. Недостатком этих способов является отсутствие уравнений, описывающих величину искомых усилий М_k, Q_k и N_k в зависимости от положения единичной вертикальной силы P = 1, расположенной на расстоянии х от правой опоры трехшарнирной арки.

В работе [9] Е. Ф. Ежовым и соавторами получены формулы, устраняющие неудобства вышеупомянутых методов. Однако здесь не приведены конкретные примеры расчета арки на подвижную нагрузку.

В статье [10] на основе теоретических выкладок из предыдущей работы саранскими учёными даются решения характерных практических задач. Эти задачи предлагаются в качестве расчетно-проектировочных работ для студентов строительных специальностей Архитектурно-строительного института Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарёва.

Анализ теоретической и научно-методической литературы по расчету арок показывает, что отсутствуют сведения о линиях влияния перемещений сечения арок, что обусловливает актуальность данного исследования.

Цель исследований – разработка теоретических методов расчета трехшарнирных арок.

В данной работе получены формулы, позволяющие построить линию влияния перемещений сечения (k) трехшарнирной арки от действия единичной подвижной силы.

Математическое моделирование

1.1. Определим опорные реакции от единичной силы Р_к = 1, приложенной в точке определения вертикального перемещения (k) (рис. 1–3).

 

Рис. 1. Исходная расчетная схема трехшарнирной арки для определения усилий при в ≤ x ≤ l (а); эпюра моментов $\overline{{М}_k}$ от действия единичной силы Р_k = 1, приложенной в сечении k (б); эпюра моментов $\overline{{М}_k}$ от действия единичной силы Р_n = 1, приложенной в произвольном сечении n (в)

Fig. 1. The initial calculation scheme of a three-hinged arch for determining forces at b ≤ x ≤ l (a); the plot of moments from the action of a single force P_k = 1 applied in section k (b); the plot of moments from the action of a single force Р_п = 1 applied in an arbitrary section n (c)

 

Рис. 2. Исходная расчетная схема трехшарнирной арки для определения усилий при (а); эпюра моментов $\overline{{М}_k}$ от действия единичной силы Р_k = 1, приложенной в сечении k (б); эпюра моментов $\overline{{М}_k}$ от действия единичной силы Р_n = 1, приложенной в произвольном сечении n (в)

Fig. 2. The initial design scheme of a three-hinged arch for determining the forces at l / 2 ≤ x ≤ b (a); the plot of moments from the action of a single force P_k = 1 applied in section k (b); the plot of moments from the action of a single force Р_п = 1 applied in an arbitrary section n (c)

 

Рис. 3. Исходная расчетная схема трехшарнирной арки для определения усилий при 0 ≤ l/2 (а); эпюра моментов $\overline{{М}_k}$ от действия единичной силы Р_k = 1, приложенной в сечении k (б); эпюра моментов $\overline{{М}_k}$ от действия единичной силы Р_n = 1, приложенной в произвольном сечении n (в)

Fig. 3. The initial calculation scheme of a three-hinged arch for determining forces at 0 ≤ l/2 (a); the plot of moments from the action of a single force P_k = 1 applied in section k (b); the plot of moments from the action of a single force P_п = 1 applied in an arbitrary section n (c)

 

$\sum M_b=\mathrm{0,}$ $R_a\cdot l-1\cdot b=\mathrm{0,}$ $R_a=b/l;$

$\sum {M_c}^{л}=\mathrm{0,}$

$R_a\cdot l/2-H_a\cdot f-1\cdot (b-l/2)=\mathrm{0,}$

$H_a=\frac{R_a\cdot l}{2\cdot f}-\frac{(b-l/2)}{f}=\frac{b}{2f}-\frac{(b-l/2)}{f}$.

Примем $\frac{b}{2f}-\frac{(b-l/2)}{f}=c$.

Упростим выражение

$\frac{b}{2f}-\frac{(b-l/2)}{f}=c,$ $c=\frac{l-b}{2f};$ $H_a=c$.

Примем $\frac{b}{l}=t$, тогда $R_a=\frac{b}{l}=t$.

$\sum Y=0;$ $R_a-1+R_b=\mathrm{0,}$

$R_b=1-R_a=(1-\frac{b}{l}),$

$R_b=(1-t),$ $H_b=c$.

1.2. Определим опорные реакции от единичной силы Р_n = 1, расположенной на растоянии x от правой опоры (см. рис. 1).

$M_1=R_a(l-x)-H_a\cdot y=t(l-x)-c\frac{4f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2};$

$M_2=(1-t)\cdot x-c\cdot \frac{4f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2}$;

$R_a^{}\cdot l-P_n\cdot m=0;$ $R_a=\frac{Pn\cdot m}{l}=\frac{m}{l}$.

Примем выражение $\frac{m}{l}=v$, тогда

$-H_a\cdot f+R_a\cdot l/2-1\cdot (m-l/2),$

$H_a=\frac{m}{2f}-\frac{m-l/2}{f}$.

Примем $\frac{m}{2f}-\frac{m-l/2}{f}=g$,

тогда $H_a=g,$ $H_b=g,$ $R_b=1-v$.

1.3. Запишем уравнения изгибающих моментов на участках 1 (${\overline{M}}_1$), 2 (${\overline{M}}_2$), 3 (${\overline{M}}_3$) и на участке 4 (${\overline{M}}_4$).

${\overline{M}}_1=R_a(l-x)-H_a\cdot y=t(l-x)-c\frac{4f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2};$

${\overline{M}}_2=(1-t)\cdot x-c\cdot \frac{4f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2}$;

${\overline{M}}_3=v(l-x)-g\left(\frac{4f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2}\right)$;

${\overline{M}}_4=(1-v)\cdot x-g\left(\frac{4f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2}\right)$.

2. Выведем уравнения для случая, когда единичная сила P_n = 1 находится между точками k и А для сечения с координатой в ≤ $x$ ≤ $l$.

В этом случае (случай 1) для точки с координатой в ≤ $x$ ≤ $l$ значения моментов ${\overline{M}}_k={\overline{M}}_2$, ${\overline{M}}_n={\overline{M}}_4$, а для любого сечения с координатой в ≤ $x$ ≤ $l$ – k значения моментов ${\overline{M}}_k={\overline{M}}_1$, ${\overline{M}}_n={\overline{M}}_4$. Если абсцисса сечения находится в интервале $l$ – k ≤ $x$ ≤ $l$, значения моментов будут составлять ${\overline{M}}_k={\overline{M}}_1$, ${\overline{M}}_n={\overline{M}}_3$.

2.1. Вертикальные перемещения сечения (k) вычислим с помощью интеграла Мора, учитывая лишь влияние изгибающих моментов. Влияние поперечных и продольных сил на искомое перемещение незначительно, что будет видно из сравнения наших результатов с данными, полученными при помощи программного комплекса LIRA.

Принимаем, что арка имеет постоянную жесткость при изгибе по всей длине. ($E{J}_0=\mathrm{const}$).

${\delta }_{kn}^1=\underset{0}{\overset{b}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{k}{\overset{a}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{m}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx=$

$=\underset{0}{\overset{b}{\int }}\frac{{\overline{M}}_2\cdot {\overline{M}}_4}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{k}{\overset{a}{\int }}\frac{{\overline{M}}_1\cdot {\overline{M}}_4}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{m}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_1\cdot {\overline{M}}_3}{E{J}_0}\cdot dx.$

Вычислим почленно три интеграла и просуммируем их, получив окончательно величину ${\delta }_{kn}^1$ для случая, когда сила Р_n = 1 находится в пределах от опоры А до сечения k.

В конечном итоге для первого случая, когда P_n = 1 находится между точками А и k, получим выражение (1).

$\begin{array}{l}=\frac{1}{E{J}_0}\cdot \left[\frac{b^3}{3}\right(1-v-\frac{4gv}{l}+\frac{4gf}{l^2}-t+tv+\frac{4gtf}{l}-\frac{4cf}{l}+\frac{4cvf}{l}+\frac{16cg{f}^2}{l^2})+\\ +\frac{b^4}{4}(\frac{4cf}{l{}^2}-\frac{4cvf}{l^2}-\frac{16cf}{l^3}-\frac{4gft}{l^2}-\frac{cg{f}^2}{l^3})+\frac{b^5}{5}\left(\frac{16cg{f}^2}{l^4}\right)]+\\ +\frac{1}{E{J}_0}\cdot [\frac{(a^2-k^2)}{2}\cdot (tk-\frac{4fck}{l})+\frac{a^3-k^3}{3}(tv-\frac{4gtf}{l}-\frac{4fcv}{l}+\frac{16f^{2}gc}{l^2}-t+\frac{4fc}{l}+\frac{4fck}{l^2})+\\ +\frac{a^4-k^4}{4}(\frac{4ftg}{l^2}-\frac{16f^{2}gc}{l^3}+\frac{4fcv}{l^2}-\frac{16f^{2}gc}{l^3}-\frac{4fc}{l^2})+\frac{a^5-k^5}{5}\left(\frac{16f^{2}gc}{l^4}\right)]+\\ +\frac{1}{E{J}_0}\cdot \left[\frac{k^3}{3}\right(vt-\frac{4gft}{l}-\frac{4fcv}{l}+\frac{16f^{2}cg}{l^2})+\frac{k^4}{4}(\frac{4fgt}{l^2}-\frac{16f^{2}cg}{l^3}+\frac{4cfv}{l^2}-\frac{16f^{2}gc}{l^3})+\\ +\frac{k^5}{5}\left(\frac{16f^{2}cg}{l^4}\right)];\end{array}$ (1)

3. Рассмотрим случай, когда сила Р_n находится правее сечения k, но левее ключевого шарнира С ($l/2$ ≤ $x$ ≤ m).

Значения опорных реакций останутся теми же.

$H_a=c,$ здесь $c=\frac{l-b}{2f};$ $R_a=\frac{b}{l}=t;$ $R_b=(1-t).$

Поменяются лишь пределы интегрирования и произведения выражений моментов в интеграле Мора.

Выведем уравнения для случая, когда единичная сила P_n = 1 находится между точками k и С для точки с координатой $l/x$ ≤ $x$ ≤ в.

В этом случае (случай 2) для сечения с координатой в ≤ $x$ ≤ l значения моментов ${\overline{M}}_k={\overline{M}}_2$, ${\overline{M}}_n={\overline{M}}_4$. Для сечения с координатой в ≤ $x$ ≤ $l-k$ значения моментов ${\overline{M}}_k={\overline{M}}_1$, ${\overline{M}}_n={\overline{M}}_4$. Для точки с координатой $l-k$ ≤ $x$ ≤ $l$ значения моментов будут составлять ${\overline{M}}_k={\overline{M}}_1$, ${\overline{M}}_n={\overline{M}}_3$.

3.1. Для определения вертикальных перемещений сечения (k) снова воспользуемся интегралом Мора, учитывая лишь влияние изгибающих моментов (влияние поперечных и продольных сил на искомое перемещение незначительно, что также будет видно из сравнения наших результатов с полученными при помощи программного комплекса LIRA).

${\delta }_{kn}^2=\underset{0}{\overset{m}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{m}{\overset{b}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{b}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx;$

${\delta }_{kn}^2=\underset{0}{\overset{m}{\int }}\frac{{\overline{M}}_2\cdot {\overline{M}}_4}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{k}{\overset{a}{\int }}\frac{{\overline{M}}_1\cdot {\overline{M}}_4}{E{J}_0}\cdot dz+\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{{\overline{M}}_1\cdot {\overline{M}}_3}{E{J}_0}\cdot dz.$

Вычислим почленно три интеграла и просуммируем их, получив окончательно величину . В итоге для второго случая, когда единичная сила Р_n = 1 находится в пределах от сечения k до ключевого шарнира С (см. рис. 2), получим выражение (2).

${\delta }_{kn}^2=\underset{0}{\overset{m}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dx+\underset{k}{\overset{a}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dz+\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k\cdot {\overline{M}}_n}{E{J}_0}\cdot dz=$

$\begin{array}{l}=\frac{1}{E{J}_0}\left[\frac{m^3}{3}\right(1-v-\frac{4gv}{l}+\frac{4gf}{l^2}-t+tv+\frac{4gtf}{l}-\frac{4cf}{l}+\frac{4cvf}{l}+\frac{16cg{f}^2}{l^2})+\\ +\frac{m^4}{4}(\frac{4cf}{l{}^2}-\frac{4cvf}{l^2}-\frac{16cf}{l^3}-\frac{4gft}{l^2}-\frac{cg{f}^2}{l^3})+\frac{m^5}{5}\left(\frac{16cg{f}^2}{l^4}\right)]+\\ \frac{1}{E{J}_0}\cdot \left[\frac{k^2-a{}^2}{2}\right(av-\frac{4gaf}{l})+\frac{k^3-a{}^3}{3}(tv-\frac{4gtf}{l}-\frac{4fcv}{l}+\frac{16f^{2}gc}{l^2}-v+\\ +\frac{4fg}{l}+\frac{4fga}{l^2})+\frac{k^4-a{}^4}{4}(\frac{4ftg}{l^2}-\frac{16f^{2}gc}{l^3}+\frac{4fcv}{l^2}-\frac{16f^{2}gc}{l^3}-\frac{4fg}{l^2})+\frac{k^5-a{}^5}{5}(\frac{16f^{2}gc}{l^4}\left)\right]+\\ +\frac{1}{E{J}_0}\cdot \left[\frac{a^3}{3}\right(vt-\frac{4gft}{l}-\frac{4fcv}{l}+\frac{16f^{2}cg}{l^2})+\frac{a^4}{4}(\frac{4fgt}{l^2}-\frac{16f^{2}cg}{l^3}+\frac{4cfv}{l^2}-\frac{16f^{2}gc}{l^3})+\\ +\frac{a^5}{5}\left(\frac{16f^{2}cg}{l^4}\right)];\end{array}$

4. Рассмотрим случай, когда сила Р_n находится правее ключевого шарнира С и левее опоры В $(0\le x\le \frac{l}{2}).$

4.1. Опорные реакции от единичной силы Р_к = 1, приложенной в точке определения вертикальных перемещений (k), были вычислены в пункте 1.1:

$H_a=c,$ здесь $c=\frac{l-b}{2f};$ $R_a=\frac{b}{l}=t;$ $R_b=(1-t).$

4.2. Вычислим опорные реакции от единичной силы Р_n = 1, расположенной на расстоянии х от правой опоры (0 ≤ х ≤ l/2) (см. рис. 3):

$\sum M_c^{л}=0;$ $R_a\cdot \frac{l}{2}-H_a\cdot f=0;$ $R_a=\frac{P_n\cdot m}{l}=\frac{m}{l}$;

$\sum M_c^{л}=0;$ $R_a\cdot \frac{l}{2}-H_a\cdot f=0;$ $H_a=\frac{R_a\cdot l}{2f}=\frac{m}{l}\cdot \frac{l}{2f}=\frac{m}{2f}=H_a=H_b;$

$\sum M_{с}^{пр}=\mathrm{0,}$ $-P_n(x-m)+R_b\cdot \frac{l}{2}-H_b\cdot f=0;$ $R_b=\frac{H_b\cdot f+x-m}{l/2};$

$-P_n\cdot k+R_b\cdot l=0;$ $R_b=\frac{k}{l}=\frac{l-m}{l}=1-\frac{m}{l};$

4.3. Запишем уравнения моментов (рис. 3) на участках 3 (${\overline{M}}_3$) и 4 (${\overline{M}}_4$):

${\overline{M}}_3=R_a(l-x)-H_a\cdot y=\frac{m}{l}(l-x)-\frac{m}{2f}\left(\frac{4fx(l-x)}{l^2}\right)=\frac{m}{l}(l-x)-\frac{2mx(l-x)}{l^2};$

${\overline{M}}_4=R_b\cdot x-H_b\cdot y=\frac{k}{l}\cdot x-\frac{m}{2f}\cdot \frac{4fx(l-x)}{l^2};$ в пределах от нуля до m;

${\overline{M}}_4=R_b\cdot x-H_b\cdot y-P_n(x-m)=\frac{k}{l}\cdot x-\frac{m}{2f}\cdot \frac{4fx(l-x)}{l^2}-x+m;$ в пределах от m до b.

4.4. Для определения перемещения сечения (k) от действия единичной силы, приложенной в произвольном сечении (n) на расстоянии $x$ от правой опоры $(0\le x\le \frac{l}{2}),$ снова воспользуемся интегралом Мора.

Определим перемещения сечения (k), проинтегрировав соответствующие выражения моментов:

${{\delta }^3}_{kn}=\sum \underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx=\underset{0}{\overset{m}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx+\underset{m}{\overset{b}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx+\underset{b}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx$.

Почленно проинтегрируем каждое слагаемое.

В итоге для третьего случая, когда единичная сила Р_n = 1 находится между ключевым шарниром С и опорой В (см. рис. 3), получим выражение (3).

$\begin{array}{l}{{\delta }^3}_{kn}=\sum \underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx=\underset{0}{\overset{m}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx+\underset{m}{\overset{b}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx+\underset{b}{\overset{l}{\int }}\frac{{\overline{M}}_k{\overline{M}}_n}{E{J}_0}dx=\\ =\frac{1}{E{J}_0}\cdot \left[\frac{m^3}{3}\right(\frac{a(2m-k)}{l^2})+\frac{x^4}{4}(\frac{2a(k-3m)}{l^3})+\frac{4m^6}{5l^4}]+\frac{1}{E{J}_0}\cdot \left[\frac{b^3-m^3}{3}\right(\frac{am}{l^2}+\frac{3am}{l^2})+\\ +\frac{b^4-m^4}{4}(\frac{-6am}{l^3}-\frac{2am}{l^3})-\frac{b^2-m^2}{2}\cdot \frac{am}{l}+\frac{b^5-m^5}{5}\cdot \frac{4am}{l^4}]+\frac{1}{E{J}_0}\cdot [(\frac{a^3}{3}\cdot \frac{m(2a-b)}{l^2}+\\ +\frac{a^4}{4}\left(\frac{2m(b-3a)}{l^3}\right)+\frac{4am{a}^5}{5l^4}\left)\right];\end{array}$ (3)

Выводы

Получены аналитические выражения для построения линии влияния перемещения произвольного сечения (k) трехшарнирной арки при движении единичной силы в интервалах: в первом случае – $в\le x\le l$; во втором – $l/2\le x\le в;$ в третьем случае – $0\le x\le l/2.$

Проведенный численный анализ полученных результатов с помощью программного комплекса LIRA дает хороший итог.

Внедрение новой методики осуществляется при подготовке инженеров строительных специальностей в вузах, а также при проведении проверочных расчетов в работах по обследованию технического состояния строительных конструкций, при разработке способов восстановления их работоспособности.

Об авторах

Ринат Арифович Бикбаев

Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва

Автор, ответственный за переписку.
Email: bikbaevra@yandex.ru

кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной механики Института архитектуры и строительства. Сфера научных интересов связана с проблемами обеспечения безопасности эксплуатации зданий и сооружений. Автор более 100 научных и учебно-методических трудов.

Россия, г. Саранск

Егор Федорович Ежов

Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва

Email: eef1950@mail.ru

кандидат технических наук, доцент, пенсионер. Сфера научных интересов – статические и динамические осадки сооружений. Автор более 100 научных и учебно-методических трудов.

Россия, г. Саранск

Список литературы

Дополнительные файлы