О вычислении размерности инвариантных множеств динамических систем


Цитировать

Полный текст

Аннотация

В работе рассматриваются численные подходы к оценке размерности инвариантных множеств, на которые навиваются траектории динамических систем: методы расчёта фрактальной и корреляционной размерности. Классическая фрактальная размерность становится вычислительно трудоёмкой при работе с пространствами размерности выше двух, тогда как корреляционная размерность представляет собой более эффективную альтернативу. Разработан и реализован вычислительный метод для оценки корреляционной размерности больших дискретных наборов точек, полученных в результате численного интегрирования дифференциальных уравнений. Отмечена аналогия данного подхода с методом Ричардсона--Калиткина для оценки погрешности численного метода. Предложенный метод протестирован на двух характерных примерах: консервативной системе, чья орбита лежит на двумерном торе, и системе Лоренца --- классическом примере хаотической система с нецелой размерностью аттрактора. В обоих случаях полученные оценки корреляционной размерности согласуются с теорией и ранее опубликованными результатами. Разработанное программное обеспечение послужит эффективным инструментом для анализа инвариантных многообразий динамических систем и подходит для дальнейших исследований, в особенности для компьютерных экспериментов с использованием обратимых разностных схем, а также для систем высокой размерности.

Об авторах

В. М. Кадров

Российский университет дружбы народов

Email: vmkadrov@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0008-9394-4874

Student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence

Россия, ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

М. Д. Малых

Российский университет дружбы народов; Объединённый институт ядерных исследований

Автор, ответственный за переписку.
Email: malykh-md@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0001-6541-6603
Scopus Author ID: 6602318510
ResearcherId: P-8123-2016

—

Россия, ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация; ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, 141980, Российская Федерация

Список литературы

  1. Malykh, M., Gambaryan, M., Kroytor, O. & Zorin, A. Finite Difference Models of Dynamical Systems with Quadratic Right-Hand Side. Mathematics 12, 167. doi: 10.3390/math12010167 (2024).
  2. Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature en (Henry Holt and Company, 1983).
  3. Rössler, O. E. Chaos in abstract kinetics: Two prototypes. Bulletin of Mathematical Biology 39, 275-289. doi: 10.1016/S0092-8240(77)80015-3 (1977).
  4. Thompson, J. M. T. Chaos, fractals and their applications.International Journal of Bifurcation and Chaos 26. Publisher: World Scientific, 1630035 (2016).
  5. Магницкий, Н. А. Теория динамического хаоса ru (УРСС, 2011).
  6. Kannathal, N., Acharya, U. R., Lim, C. & Sadasivan, P. Characterization of EEG-A comparative study.Computer Methods and Programs in Biomedicine 80, 17-23. doi: 10.1016/j.cmpb.2005.06.005 (2005).
  7. Broock, W. A., Scheinkman, J. A., Dechert, W. D. & LeBaron, B. A test for independence based on the correlation dimension. Econometric Reviews 15, 197-235. doi: 10.1080/07474939608800353. eprint: https://doi.org/10.1080/07474939608800353 (1996).
  8. Krakovská, A. Correlation Dimension Detects Causal Links in Coupled Dynamical Systems. Entropy 21. doi: 10.3390/e21090818 (2019).
  9. Liu, Z. Chaotic time series analysis. Mathematical Problems in Engineering 2010. doi: 10.1155/2010/720190 (Apr. 2010).
  10. Grassberger, P. & Procaccia, I. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D: Nonlinear Phenomena 9, 189-208. doi: 10.1016/0167-2789(83)90298-1 (1983).
  11. JI, C., ZHU, H. & JIANG, W. Influence of sampling length and sampling interval on calculating the fractal dimension of chaotic attractors.International Journal of Bifurcation and Chaos 22, 1250145. doi: 10.1142/S0218127412501453 (2012).
  12. Kalitkin, N. N., Al’shin, A. B., Al’shina, E. A. & Rogov, B. V. Calculations on quasi-uniform grids In Russian (Fizmatlit, Moscow, 2005).
  13. Belov, A. A., Kalitkin, N. N. & Poshivaylo, I. P. Geometrically adaptive grids for stiff Cauchy problems. Doklady Mathematics 93, 112-116. doi: 10.1134/S1064562416010129 (2016).
  14. Belov, A. A. & Kalitkin, N. N. Nonlinearity Problem in the Numerical Solution of Superstiff Cauchy Problems. Mathematical Models and Computer Simulations 8, 638-650. doi: 10.1134/S2070048216060065 (2016).
  15. Belov, A. A., Kalitkin, N. N., Bulatov, P. & K., Z. E. Explicit methods for integrating stiff Cauchy problems. Doklady Mathematics 99, 230-234. doi: 10.1134/S1064562419020273 (2019).
  16. Baddour, A., Gambaryan, M., Gonzalez, L. & Malykh, M. D. On Implementation of Numerical Methods for Solving Ordinary Differential Equations in Computer Algebra Systems. Program.Comput. Soft. 49, 412-422. doi: 10.1134/S0361768823020044 (2023).
  17. Mori, H. & Fujisaka, H. Statistical Dynamics of Chaotic Flows. Progress of Theoretical Physics 63, 1931-1944. doi: 10.1143/PTP.63.1931. eprint: https://academic.oup.com/ptp/articlepdf/63/6/1931/5222197/63-6-1931.pdf (June 1980).
  18. Viswanath, D. V. K. The fractal property of the Lorenz attractor. Physica D: Nonlinear Phenomena 190, 115-128 (2004).
  19. Smith, L. A.Intrinsic limits on dimension calculations. Physics Letters A 133, 283-288. doi: 10.1016/0375-9601(88)90445-8 (1988).
  20. Nerenberg,M.A. H.&Essex, C. Correlation dimension and systematic geometric effects. Physical review. A, Atomic, molecular, and optical physics 42 12, 7065-7074 (1990).

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».