Разработка нового, более точного алгоритма для вычисления приливных чисел Лява
- Авторы: Аморим Д.О.1, Гудкова Т.В.2
-
Учреждения:
- Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
- Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта Российской академии наук
- Выпуск: Том 514, № 1 (2024)
- Страницы: 70-77
- Раздел: ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
- URL: https://journal-vniispk.ru/2686-7400/article/view/261449
- DOI: https://doi.org/10.31857/S2686740024010117
- EDN: https://elibrary.ru/OJHRUS
- ID: 261449
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Приливные числа Лява часто используются для изучения внутреннего строения планет и спутников Солнечной системы. Измерение деформации планеты в ответ на приливное воздействие является одним из методов изучения недр. Алгоритм вычисления приливной деформации зависит от ряда предположений и аппроксимаций и поэтому может отличаться у разных авторов. Авторы сравнивают уже существующие подходы и на их основе предлагают новый и более точный алгоритм для вычисления приливных чисел Лява Земли и других тел с похожей внутренней структурой.
Ключевые слова
Полный текст
Земля находится под постоянным приливным воздействием со стороны Солнца и Луны. Приливные силы вызывают деформацию фигуры и возмущение гравитационного поля планеты, величины которых могут быть измерены с помощью спутников. В [1] предложены безразмерные геофизические параметры, называемые числами Лява, которые описывают эти изменения: число k пропорционально возмущению гравитационного поля, а числа h и l пропорциональны соответственно радиальному и тангенциальному смещениям поверхности планеты. Эти числа являются интегральными величинами, зависящими от распределения плотности, модуля сдвига и модуля сжатия в недрах планеты.
Приливные числа Лява особенно важны при исследовании тел, для которых еще не проведены сейсмические эксперименты. Вычисляя числа Лява для различных моделей некоторой планеты и сравнивая модельные значения с измеренными, можно получить ценную информацию об ее недрах. С их помощью изучают, например, внутреннее строение Венеры [2, 3], Меркурия [4] и Марса [5].
Для корректного применения чисел Лява в исследовании недр разных тел необходимо уметь их вычислить с высокой точностью для всех рассмотренных моделей. В литературе встречаются различные подходы вычислений, каждый со своими недостатками. В данной работе обсуждаются существующие алгоритмы, на их основе мы разработали и подробно описали новый, более точный и корректный алгоритм, позволяющий вычислить числа Лява для сферически симметричных моделей различных космических тел.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
В [6] выведена система уравнений для расчета приливной деформации по радиусу r, исходя из уравнений движения упругой среды, уравнения Пуассона для гравитационного потенциала и условия гидростатического равновесия. Рассмотрим сначала случай твердых слоев (например, кора, мантия и внутреннее ядро).
Вводятся 6 переменных где i = 1, 2,…,6, а n обозначает порядок (в [6] все рассмотренные величины разлагаются по сферическим функциям): радиальное и тангенциальное смещения y1n, y3n; нормальное и сдвиговое напряжения y2n, y4n; гравитационный потенциал y5n и модифицированная функция гравитации y6n. Чаще всего используются числа Лява второго порядка и, для простоты, индекс n далее опускается. Переменные y2, y4 и y6 связаны с остальными следующим образом:
,
,
, (1)
,
где X – дилатация, λ и μ – параметры Ламе.
В коре, мантии и во внутреннем ядре Земли будем интегрировать приливную деформацию с помощью дифференциальных уравнений (2), выведенных в [6] без каких-либо изменений:
(2)
где χ – частота прилива (равна обратному периоду, умноженному на 2π), а ρ0 и g0 – невозмущенные значения плотности и гравитационного ускорения на расстоянии r от центра планеты.
Система (2) изначально была создана для моделирования собственных колебаний Земли, но ее также можно применить к расчету чисел Лява. Периоды приливов как минимум на порядок больше, чем периоды собственных колебаний, и поэтому при расчете чисел Лява часто пренебрегают слагаемыми, пропорциональными χ2 (например, в [7]). При частоте полусуточного лунного прилива M2 (12 ч 25 мин) мы оценили, что эти слагаемые в сотни раз меньше остальных. Действительно, наши расчеты показывают, что без этих слагаемых числа Лява уменьшаются примерно на 0.3%. Мы считаем, что нецелесообразно ими пренебрегать в уравнениях (2) по двум причинам: это создает значительную дополнительную погрешность в числах Лява, но при этом никак не уменьшает время расчета.
Во внешнем ядре (или в любой среде с μ = 0) система (2) неопределенная. В [6] была предложена другая система для интегрирования возмущения Земли через внешнее ядро. В ней тангенциальное смещение пропорционально χ–2 и при достаточно больших периодах y3 может принимать нефизически большие значения. Эти уравнения подходят для расчета собственных колебаний, но не для вычисления чисел Лява (особенно для длинных приливов).
В [6–8] предложены разные подходы интегрирования приливного возмущения Земли через внешнее ядро. В этих работах пренебрегают слагаемыми с χ2 в жидких слоях, и принимаемые условия в ядре различны. В [8] при выводе уравнений считают, что выполняется условие Адамса–Вильямсона: =, где точка обозначает производную по r. Однако в моделях Земли (например, PREM) это условие не удовлетворяется на протяжении всего внешнего ядра. На рис. 1 изображены значения величин и согласно PREM и видно, что они заметно отличаются у вершины внутреннего ядра и у подошвы мантии. Действительно, современные исследования указывают на присутствие химической стратификации [10] в жидком ядре, что противоречит условию Адамса–Вильямсона.
Рис. 1. Сравнение величин и во внешнем ядре. Условие Адамса–Вильямсона не выполняется у границы внутреннего ядра и у границы мантии.
Другой подход применяется в [7]: вместо условия Адамса–Вильямсона считается, что дилатация нулевая во внешнем ядре. Это дает дополнительное условие (), которое должно удовлетворяться на границе внутреннего ядра и на нижней границе мантии. Из-за этого задача становится переопределенной и в [7] вводится разрыв радиального смещения на этих границах для замыкания системы. Алгоритм решения задачи при таком подходе изложен в [11], и он действительно дает хорошие результаты (достаточно близкие к результатам, полученным при использовании разработанного нами алгоритма). Тем не менее физического обоснования для разрыва радиального смещения нет, и мы предпочитаем отказаться от такого подхода.
Для упрощения записи граничных условий переменные yi в жидком ядре далее будут обозначаться как zi. В работе [9] предложен подход, в котором не используется условие Адамса– Вильямсона и не пренебрегается дилатацией во внешнем ядре, а вводится новая переменная z7:
. (3)
Обратим внимание на то, что в [9] используется другое определение “шестой переменной” по сравнению с [6]. Для простоты мы предпочитаем определить z6 так же, как в [6] и в уравнениях (1) и (2) для твердой среды:
. (4)
Из уравнений (3) и (4) получим более удобное определение для переменной z7:
. (5)
Следуя [9], будем использовать следующие дифференциальные уравнения для интегрирования приливной деформации через жидкое внешнее ядро:
,
. (6)
Будем также использовать следующие соотношения, которые верны во всем внешнем ядре (см. [9]):
, (7)
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ В ЦЕНТРЕ ПЛАНЕТЫ
В центре планеты нет смещений, и изменение потенциала нулевое: , и . Существуют тогда три независимых начальных условия для интегрирования от r = 0 до границы внутреннего ядра с помощью системы (2):
(8)
В системе (2), однако, имеется сингулярность в нуле. Эту проблему можно обойти, если начать интегрирование векторами (8) не от нуля, а от маленького , как предложено в [11]. Используя равным одной тысячной радиуса Земли (примерно 6 км), получаем достаточно точные результаты для чисел Лява.
В нашей программе используем функцию solve_ivp библиотеки scipy [12] и сравниваем два метода интегрирования: явный метод Рунге–Кутты 8-го порядка (DOP853) и неявный метод 5-го порядка (BDF). Описанный подход отхода от нуля имеет огромный недостаток – конечные результаты сильно зависят от используемого метода и от шага интегрирования. Это объясняется тем, что, подставляя (8) в (2), на самом первом шаге интегрирования невязка пропорциональна и может привести к большим погрешностям.
Для того чтобы увеличить точность при отходе от нуля, можно разложить переменные по r. Такой подход был предложен в [13], на основе этой статьи мы разработали свою собственную аппроксимацию – , и аппроксимируются около нуля следующим образом:
,
, (9)
,
где и A, B, C, b, c – неизвестные коэффициенты. Подставляя (9) в (1), можно выразить , и через эти же коэффициенты:
,
, (10)
,
здесь считается, что , и – постоянные около нуля.
В системе (2) три уравнения (1-е, 3-е и 5-е) следуют из определений , и и выполняются тождественно при (9) и (10). Подставляя (9) и (10) в оставшиеся три уравнения, получим систему алгебраических уравнений. Все слагаемые, пропорциональные и могут быть исключены, если:
, (11)
b = A∙ J, c = A ∙ nJ.
Таким образом, невязка в системе (2) на первом шаге пропорциональна и не зависит от коэффициента A. Решение теперь зависит от трех неизвестных коэффициентов – A, B, C.
Из (9)–(11) получим три независимых вектора, которые с высокой точностью аппроксимируют решение около нуля:
(12)
а само решение при равно
(13)
где Α, Β, C – неизвестные коэффициенты.
Расчеты показывают, что решения, в которых используются начальные условия (12) вместо (8), значительно более устойчивы к изменению метода и шага интегрирования. Поэтому мы считаем, что при вычислении чисел Лява любых планетных тел с внутренним ядром следует применять полученные нами начальные условия (12).
АЛГОРИТМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Первый шаг – интегрирование векторов , и от до границы внутреннего ядра (ICB), используя систему (2). Получаем тогда три вектора , и , а полное решение под этой границей имеет вид
(14)
Решение над этой границей (уже в жидком внешнем ядре) обозначим как . При переходе от твердой к жидкой среде требуем непрерывности всех компонент за исключение третьей [6]:
,
,
, (15)
где – плотность в жидком внешнем ядре непосредственно над границей ICB, а – ускорение силы тяжести на этой же границе. В (15) используются соотношения (7).
Получаем тогда 5 уравнений с 6 неизвестными: A, B, C, , и . Из первых четырех уравнений можно выразить B и C через A следующим образом:
, (16)
Решение над ICB равно:
(17)
где
(18)
и коэффициент A пока еще неизвестен.
Для интегрирования через жидкое внешнее ядро нам нужны только две компоненты – пятая и седьмая. С ними можно составить следующий вектор:
(19)
и его следует проинтегрировать до границы внешнего ядра с мантией (CMB) с помощью уравнений (6). Результат обозначим как
(20)
а полное решение под CMB есть
(21)
Для того чтобы продолжить интегрирование из CMB до поверхности, необходимо извлечь из (20) значения второй и шестой компонент, используя соотношения (5) и (7):
,
(22)
где – плотность в жидком внешнем ядре непосредственно под CMB.
Подставляя (21) в (22), можно выразить и через два неизвестных – Α и :
,
(23)
В CMB требуем непрерывности всех компонент, кроме третьей. Решение непосредственно над CMB (в подошве нижней мантии) имеет вид
(24)
и зависит от трех неизвестных – A, и . Для простоты переобозначим и как D и E соответственно, а три вектора из (24) обозначим как , и . Тогда решение над CMB можно записать в виде:
. (25)
Следующий шаг – проинтегрировать векторы , и от CMB до поверхности планеты, используя уравнения (1). Получаем три вектора, которые обозначим как , и и полное решение на поверхности:
(26)
Пренебрегая влиянием атмосферы в приливной деформации Земли, получаем следующие граничные условия на поверхности (r = a) [6, 11]:
(27)
Это приводит к системе 5 уравнений с 5 неизвестными (A, D, E, и ):
,
,
, (28)
,
решение которой получается из
. (29)
Подставляя полученные значения коэффициентов A, D и E в (26), получим все компоненты . Приливные числа Лява , , определяются как
(30)
Описанные уравнения необходимо сначала обезразмерить. Все интегрирование выполняется с помощью функции solve_ivp библиотеки scipy [12] на языке программирования Python. Методы RK45, DOP853 и BDF дают одинаковые результаты для выбранной точности вычисления. На первом шаге используется .
ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ
В данной работе алгоритм применяется к вычислению приливных чисел Лява Земли, но его можно использовать без изменений для любого тела с похожей внутренней структурой – внутреннее ядро, внешнее жидкое ядро, мантия и твердая кора. Для работы с другими телами необходимо сделать некоторые изменения в алгоритме. Если, например, ядро находится полностью в жидком состоянии, следует применить начальные условия, описанные в [9], и пропустить первый этап интегрирования через внутреннее ядро (т.е. начать с (19)). Если же присутствуют другие жидкие слои, достаточно в них повторить описанный выше способ интегрирования приливной деформации через внешнее ядро.
Алгоритм разработан для расчета чисел Лява в сферически симметричных моделях. Ожидаемая погрешность будет порядка эллиптичности исследуемого тела, в случае Земли она составляет 0.3%, что заметно меньше точности измерения чисел Лява. По этой причине в литературе встречаются только сферически симметричные алгоритмы вычисления чисел Лява.
Применение данного алгоритма к упругой модели Земли PREM при частоте полусуточного лунного прилива дает следующие значения чисел Лява:
что хорошо согласуется, например, с [13]. Однако планеты не являются идеально упругими телами, и при расчете чисел Лява необходимо учитывать неупругость путем применения некоторой реологии, как, например, реология Андраде. Значение модуля сдвига в каждом слое меняется по заданному закону и преобразуется в комплексную величину, но алгоритм при этом никак не меняется. В связи с этим надо использовать методы интегрирования, которые работают в комплексной области как RK45, DOP853 и BDF из библиотеки solve_ivp.
Описанный выше алгоритм является не только более точным и устойчивым для вычисления приливных чисел Лява, но и более корректным с точки зрения физики по сравнению с теми, которые часто встречаются в литературе. По этой причине именно этот алгоритм следует применять для расчета приливных чисел Лява. В случае если внутренняя структура исследуемого тела сильно отличается от земной, метод расчета легко адаптируется.
ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ
Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект № 23-22-00074), https://rscf.ru/project/23-22-00074.
КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ
Авторы данной работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Об авторах
Д. О. Аморим
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Автор, ответственный за переписку.
Email: amorim.dargilan@gmail.com
Россия, Долгопрудный, Московская обл.
Т. В. Гудкова
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта Российской академии наук
Email: gudkova@ifz.ru
Россия, Москва
Список литературы
- Love A.E.H. The yielding of the Earth to disturbing forces // Proc. Тhe Royal Society of London. Series A. Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. 1909. 82.551. P. 73–88.
- Amorim D.O., Гудкова Т.В. Внутреннее строение Венеры на основе модели PREM // Астрон. вестн. 2023. Т. 57(5). С. 403–414.
- Dumoulin C., Tobie G., Verhoeven O., et al.Tidal constraints on the interior of Venus // J. Geophysical Research: Planets. 2017. V. 122(6). P. 1338–1352.
- Steinbrugge G., Padovan S., Hussmann H., et al. Viscoelastic tides of Mercury and the determination of its inner core size // J. Geophysical Research: Planets. 2018. V. 123(10). P. 2760–2772.
- Bagheri A., Khan A., Al-Attar D., et al. Tidal response of mars constrained from laboratory-based viscoelastic dissipation models and geophysical data // J. Geophysical Research: Planets. 2019. V. 124(11). P. 2703–2727.
- Alterman Z., Hans Jarosch, Pekeris C.L. Oscillations of the Earth. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 1959. 252.1268. P. 80–95.
- Chinnery M.A. The static deformation of an earth with a fluid core: a physical approach // Geophysical J. Intern. 1975. V. 42. № 2. P. 461–475.
- Longman I.M. A Green’s function for determining the deformation of the Earth under surface mass loads: 2. Computations and numerical results // J. Geophysical Research. 1963. V. 68. № 2. P. 485–496.
- Saito M. Some problems of static deformation of the Earth // J. Physics of the Earth. 1974. V. 22(1). P. 123–140.
- Helffrich G., Satoshi Kaneshima. Outer-core compositional stratification from observed core wave speed profiles // Nature. 2010. № 468. P. 807–810.
- Michel A., Jean-Paul Boy. Viscoelastic Love numbers and long-period geophysical effects // Geophysical J. International. 2022. V. 228. № 2. P. 1191–1212.
- Virtanen P. et al. SciPy 1.0: fundamental algorithms for scientific computing in Python // Nature methods. 2020. V. 17. № 3. P. 261–272.
- Petit Gerard, Brian Luzum. IERS technical note No. 36, IERS conventions (2010) / International Earth Rotation and Reference Systems Service: Frankfurt, Germany, 2010.
Дополнительные файлы
