Модели пониженной размерности для пластины, закрепленной вдоль основания и части боковой поверхности

Полный текст

1. Постановка задачи и описание результатов

В сообщении приводится асимптотический анализ частот и мод собственных колебаний однородной изотропной цилиндрической пластины

Ω^h = {x = (y,z) : y = (y₁, y₂) ∈ ω, z ∈ (0, h)}, (1)

которая вставлена в выемку той же формы и глубины $h\mathcal{l}$ при $\mathcal{l}\in \left[\mathrm{0,1}\right]$ (рис. 1) в абсолютно жестком полупространстве и полностью прикреплена к поверхности выемки. Здесь z = x₃ – аппликата, y₁ = x₁ и y₂ = x₂ – абсцисса и ордината, ω – область на плоскости, ограниченная простым замкнутым гладким контуром ∂ω. Масштабированием сведем характерный размер сечения ω к единице, т.е. сделаем декартову систему координат x = (x₁, x₂, x₃) и все геометрические параметры, в частности, малую относительную толщину h безразмерными.

Рис. 1. Плоское изображение пластины толщиной h, вставленной в паз глубиной $\mathit{h}\mathcal{l}\mathbf{⩽}\mathit{h}$.

Собственные колебания пластины Ω^h с частотой γ_h > 0 описываются системой дифференциальных уравнений

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}-\mu {\Delta }_x{u}^h\left(x\right)-(\lambda +\mu ){\nabla }_x{\nabla }_x\cdot u^h\left(x\right)={\Lambda }^h{u}^h\left(x\right),x\in {\Omega }^h,\end{array} \\ \begin{array}{c}-\mu {\Delta }_x{u}^h\left(x\right)-(\lambda +\mu ){\nabla }_x{\nabla }_x\cdot u^h\left(x\right)={\Lambda }^h{u}^h\left(x\right),x\in {\Omega }^h,\end{array} \end{gathered}$$  (2)

с краевыми условиями

$\begin{array}{c}{u}^h\left(x\right)=\mathrm{0,}x\in {\Gamma }_D^h=\partial {\Omega }^h\backslash {\Gamma }_N^h,\end{array}$ (3)

$\begin{array}{c}{\sigma }^{\left(n\right)}(u^h;x)=\mathrm{0,}x\in {\Gamma }_N^h.\end{array}$ (4)

При этом ∇_x = grad, ∇_x ⋅ = div, ∆_x = ∇_x ⋅ ∇_x – оператор Лапласа, λ ≥ 0 и μ > 0 – постоянные Ламе, ${\Lambda }^h=\rho {\gamma }_h^2$ – спектральный параметр, а ρ > 0 – постоянная плотность упругого материала. Кроме того, $u^h=(u_1^h,u_2^h,u_3^h)$ – вектор смещений, зафиксированный нулевым на неподвижной поверхности ${\Gamma }_D^h=\{x\in \partial {\Omega }^h:z⩽h\mathcal{l}\}$, ${\Gamma }_N^h=\{x\in \partial {\Omega }^h:z>h\mathcal{l}\}$ – другая часть поверхности, свободная от внешних воздействий, и ${\sigma }^{\left(n\right)}\left(u^h\right)$ – вектор нормальных напряжений с декартовыми компонентами

${\sigma }_k^{\left(n\right)}(u^h;x)=\sum _{j=1}^3{n}_j\left(x\right){\sigma }_{jk}(u^h;x),k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}$

где n = (n₁, n₂, n₃) – единичный вектор внешней нормали, причем n₃ = 1 на верхнем основании пластины и n₃ = 0 на ее боковой поверхности – кромке. Наконец, обозначив δ_j,k символ Кронекера, находим компоненты тензора напряжений по обычным формулам

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\sigma }_{jk}\left(u^h\right)=\mu \left(\frac{\partial u_j^h}{\partial x_k}+\frac{\partial u_k^h}{\partial x_j}\right)+\lambda {\delta }_{j,k}{\nabla }_x\cdot u^h,\\ j,k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3.\end{array}\end{array}$ (5)

Собственные числа задачи (2)–(4) образуют неограниченную монотонную положительную последовательность

$\begin{array}{c}0<{\Lambda }_1^h\le {\Lambda }_2^h\le {\Lambda }_3^h\le \dots ⩽{\Lambda }_m^h\le \dots \to +\infty ,\end{array}$  (6)

и основная цель сообщения – описать их поведение при h → +0, которое, что достаточно неожиданно, существенно зависит от относительной глубины $\mathcal{l}$ выемки. Именно, будет установлено наличие такой величины ${\mathcal{l}}_{\ast }\in \left(\mathrm{0,}1\right)$, что при $\mathcal{l}>{\mathcal{l}}_{\ast }$ (достаточно глубокая выемка) собственные числа приобретают вид:

$\begin{array}{c}{\Lambda }_m^h=\frac{\mu {\pi }^2}{4h^2}+M_m+O\left(h\right),\end{array}$ (7)

где в качестве поправочных слагаемых выступают собственные числа плоской задачи теории упругости на сечении

$\begin{array}{c}-\mu {\Delta }_{y}v\left(y\right)-({\lambda }_{\ast }+\mu ){\nabla }_y{\nabla }_y\cdot v\left(y\right)=Mv\left(y\right),y\in \omega ,\end{array}$ (8)

$\begin{array}{c}v\left(y\right)=\left(v_1\right(y),v_2(y\left)\right)=\mathrm{0,}y\in \partial \omega ,\end{array}$ (9)

с новым коэффициентом Ламе λ _* (разд. 2). В случае $\mathcal{l}={\mathcal{l}}_{\ast }$ условия жесткого защемления (9) в двумерной модели заменяются (разд. 4) смешанными краевыми условиями

$\begin{array}{c}{v}_s\left(y\right)=\mathrm{0,}{\tau }_{nn}(\upsilon ;y)=\mathrm{0,}y\in \omega ,\end{array}$ (10)

причем ${\tau }_{nn}\left(v\right)=n_1^2{\tau }_{11}\left(v\right)+2n_1{n}_2{\tau }_{12}\left(\upsilon \right)+n_2^2{\tau }_{22}\left(v\right)$ и τ_jk(v) – декартовы компоненты двумерного тензора напряжений, рассчитанные по обычным формулам и постоянным Ламе λ_* и μ (ср. соотношения (5)). В обеих ситуациях пространственное поле смещений в теле Ω^h ⊂ ℝ³ восстанавливается по формулам

$\begin{array}{c}{u}_j^h\left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi z}{2h}\right)v_j\left(y\right)+\dots ,j=\mathrm{1,}\mathrm{2,}{u}_3^h\left(x\right)=\dots ,\end{array}$ (11)

где v = (v₁, v₂) – собственная вектор-функция системы (8) с краевыми условиями (9) или (10), а многоточие заменяет младшие асимптотические члены. Иными словами, в пластине реализуется модифицированное (из-за множителя sin(πz / 2h) в формулах (11)) плоское напряженное состояние.

Наконец, для достаточно мелкой выемки, т.е. при $\mathcal{l}<{\mathcal{l}}_{\ast }$, обнаружен эффект концентрации мод собственных колебаний около кромки пластины и экспоненциального их затухания при удалении от боковой поверхности, причем в качестве модели пониженной размерности выступает то или иное обыкновенное дифференциальное уравнение (разд. 5). Более того, нормированные собственные числа $h^2{\Lambda }_m^h$ приобретают общий предел $B_1\left(\mathcal{l}\right)\in (\mathrm{0,}\mu {\pi }^2/4)$ при h → +0, являющийся собственным числом вспомогательной двумерной задачи теории упругости в полубесконечной полосе (разд. 3)

$\begin{array}{c}\Pi =\{\xi =(\eta ,\zeta ):\eta <\mathrm{0,}\zeta \in (\mathrm{0,}1\left)\right\},\end{array}$ (12)

использующей систему растянутых координат (17) в окрестности кромки ∂ω × (0, h). Соответствующая собственная вектор-функция w = (w_n, w_z) экспоненциально затухает на бесконечности в ∏ и описывает плоское деформированное состояние пластины в плоскостях, перпендикулярных кромке пластины Ω^h.

Подчеркнем, что в ситуации $\mathcal{l}⩾{\mathcal{l}}_{\ast }$ медленная изменяемость упругих полей наблюдается во всех продольных направлениях в пластине, а в ситуации $\mathcal{l}<{\mathcal{l}}_{\ast }$ – только вдоль ее кромки. Изучение перехода от одного состояния пластины в другое при изменении знака множителя ${\mathcal{l}}^{\text{'}}$ в представлении

$\begin{array}{c}\mathcal{l}={\mathcal{l}}_{\ast }+h{\mathcal{l}}^{\text{'}}+O\left(h^2\right)\end{array}$ (13)

требует детализированного исследования явления порогового резонанса в упругой полуполосе (12) (см. конец разд. 3).

Разработано множество подходов к изучению деформации тонких упругих пластин (ср. [1, 30], [2], [3, гл. 4], [4] и др.). Асимптотический анализ статических и спектральных задач (см., например, [5, гл. 16] и [6, гл. 5 и 7]) состоит в решении рекуррентной последовательности граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке $\left(\mathrm{0,1}\right)∍\zeta =h^{-1}z$, а условия их разрешимости и формируют модель пониженной размерности. Так, в случае оснований пластины, находящихся под действием нормальной нагрузки, обоснованно возникают гипотезы Кирхгофа и бигармоническое уравнение Софи Жермен (см. [1, 3, 6]). Общие асимптотические процедуры [5, гл. 16] подразумевают изучение феномена пограничного слоя, который в теории Кирхгофа отходит на второй план, но проявляются в значительной мере в рассматриваемой задаче (2)–(4) при $\mathcal{l}<{\mathcal{l}}_{\ast }$. Так, при $\mathcal{l}=0$ двумерная модель накладки Ω^h, прикрепленной только за нижнее основание ${\Gamma }_D^h=\{x:y\in \omega ,z=0\}$ к абсолютно жесткому полупространству, никоим образом не дает правильной информации о строении частот и мод собственных колебаний при малом размере h.

Локализация собственных колебаний приводит к концентрации напряжений, которая, в свою очередь, провоцирует процессы разрушения. Как показывает проведенный далее асимптотический анализ, для уменьшения рисков отслоения пластины требуется достаточная глубина выемки и полное соединения контактирующих поверхностей.

2. Двумерная модель

Примем асимптотический анзац (7) для частот и уточним анзац (11) для мод собственных колебаний следующим образом:

$\begin{array}{c}{u}_j^h\left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi z}{2h}\right)v_j\left(y\right)+h^2{V}_j\left(y,\frac{z}{h}\right)+\dots ,j=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\end{array}$ (14)

$\begin{array}{c}{u}_3^h\left(x\right)=h{V}_3\left(\frac{z}{h}\right){\nabla }_y\cdot v_j\left(y\right)+\dots ,\end{array}$ (15)

Подставим эти анзацы в систему (2) и в краевые условия (3) и (4) соответственно на нижнем и верхнем основаниях пластины. Собрав коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, получим следующую задачу для множителя V₃ в формуле (15):

$-(\lambda +2\mu )\frac{d^2{V}_3}{d{\zeta }^2}\left(\zeta \right)-\mu \frac{{\pi }^2}{4}{V}_3\left(\zeta \right)=(\lambda +\mu )\frac{\pi }{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}\zeta \right),\zeta \in \left(\mathrm{0,1}\right),$

$\zeta \in \left(\mathrm{0,1}\right),$

$V_3\left(0\right)=\mathrm{0,}(\lambda +2\mu )\frac{d{V}_3}{d\zeta }\left(1\right)=-\frac{\pi }{2}\lambda .$

Таким образом,

$$\begin{gathered} V_3\left(\zeta \right)=\frac{2}{\pi }\left(\cos \left(\frac{\pi }{2}\zeta \right)-\cos \left(\frac{\pi }{2}\alpha \zeta \right)+\beta \sin \left(\frac{\pi }{2}\alpha \zeta \right)\right), \\ \alpha =\sqrt{\frac{\mu }{\lambda +2\mu }}\in \left(\mathrm{0,}\frac{1}{\sqrt{2}}\right],\beta ={\left(\cos \left(\frac{\pi }{2}\alpha \right)\right)}^{-1}\left(2\alpha -\sin \left(\frac{\pi }{2}\alpha \right)\right)>0. \\ \alpha =\sqrt{\frac{\mu }{\lambda +2\mu }}\in \left(\mathrm{0,}\frac{1}{\sqrt{2}}\right],\beta ={\left(\cos \left(\frac{\pi }{2}\alpha \right)\right)}^{-1}\left(2\alpha -\sin \left(\frac{\pi }{2}\alpha \right)\right)>0. \end{gathered}$$

Условия разрешимости очередной задачи для вектора V = (V₁, V₂) с компонентами из формул (14) и числа M из анзаца (7) превращается в систему дифференциальных уравнений (8) с коэффициентом

$\begin{array}{c}\begin{array}{l}{\lambda }_{\ast }=(\lambda +2\mu )\frac{4}{\pi }\alpha {\left(\cos \left(\frac{\pi }{2}\alpha \right)\right)}^{-1}\times \\ \times \left(4\alpha -(1+4{\alpha }^2)\sin \left(\frac{\pi }{2}\alpha \right)\right)-\mu .\end{array}\end{array}$  (16)

Сумма λ_* + μ положительна при всех α > 0, но сам коэффициент (16) становится отрицательным при малых α.

Подчеркнем, что сама система (8) выводится вне зависимости от того, какие краевые условия поставлены на кромке ∂ω × (0, h) пластины (1). Вместе с тем общие алгоритмы [5] построения асимптотики решений эллиптических краевых задач в тонких областях требуют исследования явления пограничного слоя, не позволяют заранее предугадать краевые условия, замыкающие систему, и вообще могут исключить систему из списка предельных задач, описывающих асимптотику спектра (6) исходной задачи.

3. Пограничный слой

В окрестности $\mathcal{V}\subset {ℝ}^2$ контура ∂ω введем естественную систему (n, s) локальных координат, где теперь n – ориентированное расстояние до контура ∂ω, n < 0 в $\omega \cap \mathcal{V}$, а s – длина дуги, измеренная вдоль контура против часовой стрелки. Определим “быстрые” переменные

$\begin{array}{c}\eta =h^{-1}n,\zeta =h^{-1}z,\xi =({\xi }_1,{\xi }_2)=(\eta ,\zeta )\end{array}$ (17)

и в задаче (2)–(4), переписанной в координатах ζ и s, перейдем формально к h = 0. Область (1) трансформируется в прямое произведение П × ∂ω, а для вектора w = (w₁, w₂) : = (w_n, w_z), составленного из образов смещений $u_n^h$ и $u_z^h$, получим плоскую задачу теории упругости в полуполосе (12)

$\begin{array}{c}-\mu {\Delta }_{\xi }w\left(s\right)-(\lambda +\mu ){\nabla }_{\xi }{\nabla }_{\xi }\cdot w\left(\xi \right)=Bw\left(\xi \right),\xi \in \Pi ,\\ \\ w\left(\xi \right)=\mathrm{0,}\xi \in \partial \Pi ,\zeta \le \mathcal{l},\\ \\ {\sigma }^{\left(n\right)}(w;\xi )=\mathrm{0,}\xi \in \Pi ,\zeta \ge \mathcal{l},\end{array}$ (18)

где B – новое обозначение для спектрального параметра, а напряжения вычисляются по обычным двумерным формулам. Компонента w₃ = w_s удовлетворяет скалярной антиплоской задаче, которая легко изучается посредством метода Фурье и не приводит к каким-либо неожиданным эффектам.

Изучим спектр задачи (18), непрерывная часть которого – луч $[B^{†},+\infty )$ с точкой отсечки $B^{†}={\pi }^2\mu /4$. В крайних случаях $\mathcal{l}=1$ или $\mathcal{l}=0$, когда боковая поверхность пластины Ω^h целиком заняты краевыми условиями (3) или (4) соответственно, результаты получены в работах [7] и [8]. Именно, согласно [9, 8] при $\mathcal{l}=1$ отсутствуют как дискретный спектр, так и пороговый резонанс [10, 11], но при $\mathcal{l}=0$, как установлено в [7, 8], дискретный спектр содержит хотя бы одну точку B₁(0) (наименьшее изолированное собственное число, которому отвечает собственная вектор-функция $w^{\mathcal{l}}$, исчезающая на бесконечности с экспоненциальной скоростью), однако полной информации о спектре, в частности, о пороговом резонансе нет. Результаты [8] также устанавливают, что дискретный спектр пуст и пороговый резонанс отсутствует при параметре $\mathcal{l}$, близком к единице. Кроме того, принцип сравнения [12] (простое следствие минимального принципа [13, теорема 10.2.1]) показывает, что при росте $\mathcal{l}$ собственное число сдвигается вверх по вещественной оси, а значит, в конце концов попадает на точку отсечки $B^{†}$ и тем самым порождает пороговый резонанс. Иными словами, у задачи (18) при $B=B^{†}$ и некотором $\mathcal{l}={\mathcal{l}}_{\ast }\in \left(\mathrm{0,1}\right)$ появляется ограниченное решение $w^{†}=(w_1^{†},w_2^{†})$, допускающее представления

$\begin{array}{c}{w}_1^{†}\left(\xi \right)=C_l\sin \left(\frac{\pi }{2}\zeta \right)+{\tilde{w}}_1^{†}\left(\xi \right),w_2^{†}\left(\xi \right)={\tilde{w}}_2^{†}\left(\xi \right)\end{array}$ (19)

с экспоненциально затухающими при $\eta \to -\infty$ остатками ${\tilde{w}}_j^{†}\xi$ и коэффициентом $C_{\mathcal{l}}\ne 0$. При этом в случае $\mathcal{l}\in {\mathcal{l}}_{\ast }\mathrm{,}$ опять нет ни точек дискретного спектра, ни пороговых резонансов.

4. Постановка краевых условий в двумерной модели при $\mathcal{l}⩾{\mathcal{l}}_{\ast }$

При $\mathcal{l}={\mathcal{l}}_{\ast }$ краевые условия (10) возникают по следующим причинам, проистекающим от метода сращиваемых асимптотических разложений (см. [14, 15], [5, гл. 2] и др.). Во-первых, наличие ограниченного порогового решения (19) обеспечивает его сращивание с главным членом ν_n(y) sin(πz / 2h) асимптотики (14) при любом следе компоненты v_n вектора v на контуре ∂ω и потому приходится назначить двойственное в смысле формулы Грина условию Дирихле условие Неймана τ_nn(v) = 0. Во-вторых, в скалярной задаче для компоненты w_s порогового резонанса при $\mathcal{l}>0$, разумеется, нет, т.е. сращивать главный член ν_n(y) sin(πz / 2h) асимптотики (14) не с чем и, следовательно, требуется условие ν_s = 0 на ∂ω.

В случае $\mathcal{l}>{\mathcal{l}}_{\ast }$ ограниченные пороговые решения (19) отсутствуют, и поэтому приведенные аргументации обеспечивают полные условия Дирихле (9).

Формальный вывод краевых условий (10) или (9), основанный на методе сращиваемых асимптотических разложений нуждается в строгом обосновании. Как и в книге [6, гл. 4] это делается при помощи подходящего весового неравенства Корна.

Аналитические методы не дают возможности найти критический размер ${\mathcal{l}}_{\ast }={\mathcal{l}}_{\ast }(\lambda /\mu )$ и для нахождения его приближённого значения нужны численные эксперименты. То же самое относится и к выяснению скорости медленного затухания на бесконечности захваченных волн при $\mathcal{l}={\mathcal{l}}_{\ast }-\delta$ и малом $\delta >0$. Эта информация позволит изучить в ситуации (13) обсуждавшийся в разд. 1 переход от одного типа деформированного состояния пластины в другое.

5. Эффекты локализации при $\mathcal{l}<{\mathcal{l}}_{\ast }$

Согласно публикациям [5, гл. 17] и [16] наличие захваченных волн в задаче (18) полностью изменяет процедуру построения асимптотики и выдвигает на первый план явление пограничного слоя, обеспечивая тем самым эффект локализации мод собственных колебаний около кромки пластины Ω^h. Именно, разработанные в статье [16] приемы позволяют проверить следующие факты. Во-первых, спектр задачи (2)–(4) приобретает собственные числа

${\Lambda }_m^h=h^{-2}\left(B_1\right(\mathcal{l})+O(h^{1/2}\left)\right),$

расположенные ниже точки μπ²h⁻² (ср. формулу (7)), причем их количество N^h неограниченно возрастает при h → +0. Во-вторых, для собственных вектор-функций $u_{\left(m\right)}^h$, нормированных в пространстве L²(Ω^h), справедливо весовое неравенство

$||e^{{\delta }_m{r}_h^2}{u}_{\left(m\right)}^h;L^2\left({\Omega }^h\right)||\le c_m,m=\mathrm{1,}\dots ,N^h,$

где δ_m и c_m – положительные величины и r_h(y) = = h + dist(y, ∂ω). Следовательно, вне окрестности боковой поверхности пластины собственные моды затухают с экспоненциальной скоростью.

Разработанный в книге [5] и статьях [7, 16] асимптотический анализ предоставляет формулы для собственных чисел задачи (2)–(4), которые (формулы) существенно зависят от формы сечения. Если ω – круг и кривизна ê контура ∂ω постоянна, то справедливы соотношения

${\Lambda }_m^h=h^{-2}{B}_1\left(\mathcal{l}\right)+h^{-1}b\left(\mathcal{l}\right)+K_m+O\left(h^{1/2}\right),$

где K_m – собственные числа обыкновенного дифференциального уравнения на окружности

$-A\left(\mathcal{l}\right){\partial }_s^{2}v\left(s\right)=Kv\left(s\right),s\in \partial \omega .$

Если же кривизна имеет строгий глобальный максимум в точке s₀, то

${\Lambda }_m^h=h^{-2}{B}_1\left(\mathcal{l}\right)+h^{-1}b\left(\mathcal{l}\right)+h^{-1/2}{K}_m+O\left(1\right),$

а K_m – собственные числа уравнения гармонического осциллятора на оси (см., например, монографию [17])

$-A\left(\mathcal{l}\right){\partial }_{\zeta }^{2}v\left(\zeta \right)+a\left(\mathcal{l}\right){\zeta }^{2}v\left(\zeta \right)=Kv\left(\zeta \right),\zeta \in ℝ,$

где $\zeta =h^{-1/2}(s-s_0)$ – растянутая координата на контуре.

Коэффициенты $A\left(\mathcal{l}\right)$, $b\left(\mathcal{l}\right)$ и $a\left(\mathcal{l}\right)$ сложным образом зависят от параметра $\mathcal{l}\in \left(\mathrm{0,}{\mathcal{l}}_{\ast }\right)$ и выражаются через интегралы от захваченной волны $w^{\mathcal{l}}$ в полуполосе (12).

Спектральный анализ задач (18) и (2)–(4) в ситуации $\mathcal{l}\in \left[\mathrm{0,}{\mathcal{l}}_{\ast }\right)$ не завершен полностью именно из-за того, что явное выражение для захваченной упругой волны $w^{\mathcal{l}}$ недоступно. Как упоминалось, для определения приближенного решения задачи (18) и, в частности, нахождения упомянутых коэффициентов необходимы численные эксперименты, причем применение известных методов осложнено неограниченностью области П и наличием непрерывного спектра задачи. Особую трудность представляет вопрос о пороговом резонансе, который в принципе позволит выяснить краевые условия в двумерной модели (8) и при $\mathcal{l}<{\mathcal{l}}_{\ast }$. Такая модель предоставляет устойчивые асимптотические формулы для собственных чисел в среднечастотном диапазоне спектра – точно так же помимо собственных частот O(h) из нижней части спектра пластины со свободными основаниями, описываемыми классическим бигармоническим уравнением, имеются собственные частоты O(1), отвечающие продольным колебаниям. “Многосерийность” асимптотических формул для собственных колебаний тонких упругих дел подробно обсуждается в книге [6, гл. 7]. Например, наличие при каком-то $\mathcal{l}\in \left[\mathrm{0,1}\right]$ собственного числа в непрерывном спектре задачи (18) обеспечивает новые локализационные эффекты. Вместе с тем нет никаких сведений о возможности появления собственных чисел на луче $[B^{†},+\infty )$.

Источник финансирования

Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект No. 124041500009-8).

Об авторах

С. А. Назаров

Автор, ответственный за переписку.
Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Россия, Санкт-Петербург

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Плоское изображение пластины толщиной h, вставленной в паз глубиной .

Скачать (53KB)

Метаданные

Представлено академиком РАН Н.Ф. Морозовым 22.11.2022 г.