О пересчете эллипсоидов при оценке погрешности неявного метода Штермера для линейного дифференциального уравнения второго порядка

Полный текст

Введение

Оценка погрешности приближенного решения дифференциального уравнения при покоординатном оценивании имеет экспоненциальный рост, даже если сама погрешность растет не так быстро. Такой эффект называется эффектом раскрутки или эффектом Мура[1, с. 155].

Один из способов построения оценки погрешности, позволяющий избежать эффекта раскрутки, был предложен в [2]. Численное решение заключалось в эллипсоид, который содержал также и точное решение. С использованием разностного уравнения для погрешности этот эллипсоид пересчитывался на каждом шаге.

Для явного метода Штермера в [3], благодаря более точному оцениванию малых слагаемых, был предложен способ получения более точной оценки погрешности. В статье [4] этим способом был обобщен метод Нумерова (неявный двухшаговый метод Штермера).

В данной работе предлагается распространить результат работы [4] на неявный многошаговый метод любого порядка.

1. Постановка задачи

Для вычисления приближенного решения задачи Коши

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=f(x,y),y\left(0\right)=y_0,y^{\text{'}}\left(0\right)={y^{\text{'}}}_0,0\le x\le X_0,y,f\in ℝ$     (1)

будем использовать неявную к-шаговую формулу метода Штермера (см. [5, с. 143])

${\nabla }^2{y}_m=h^{2}f(x_{m-1},y_{m-1})+h^2\sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^{i}f(x_m,y_m)+w_m,m\ge k.$

Здесь $y_m$ является приближенным значением для $y\left(x_m\right)$ в точке $x_m=hm$; h — постоянный шаг; ${\beta }_i$ — коэффициенты метода Штермера; $\nabla$ — конечная разность (назад), т. е. $\nabla a_m=a_m-a_{m-1}$; ${\nabla }^i$ — конечная разность i-го порядка, ${\nabla }^i{a}_m=\nabla \left({\nabla }^{i-1}{a}_m\right),$ $i=\mathrm{2,3,}\dots ,$ в частности конечная разность второго порядка ${\nabla }^2$ определяется формулой ${\nabla }^2{a}_m=\nabla (\nabla a_m)=a_m-2a_{m-1}+a_{m-2}$; $w_m$ — ошибка, получаемая из-за округлений и обрыва итераций.

Погрешность $z_m=y\left(x_m\right)-y_m$ численного решения удовлетворяет разностному уравнению

${\nabla }^2{z}_m=h^2\left(f\right(x_{m-1},y\left(x_{m-1}\right))-f(x_{m-1},y_{m-1})$ 

$+h^2\sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^i\left(f\right(x_m,y\left(x_m\right))-f(x_m,y_m\left)\right)+N_m-w_m,$(2)

где $N_m$ — ошибка k-го метода Штермера на m-м шаге:

$N_m=-{\beta }_{k+1}{h}^{k+3}{y}^{(k+3)}\left(\xi \right),x_{m-k}\le \xi \le x_m.$

Целью работы является получение гарантированной оценки погрешности $z_m\mathrm{.}$

В статье [2] был предложен способ построения оценки погрешности, не приводящий к эффекту раскрутки. Численное решение заключалось в эллипсоид, содержащий точное решение, который пересчитывался на каждом шаге.

Способ получения более точной оценки погрешности для явного метода Штермера был предложен в [3], для неявного двухшагового численного метода (метода Нумерова) — в [4].

В данной работе полученные ранее результаты будут обобщены на неявный многошаговый метод любого порядка.

В случае, когда правая часть дифференциального уравнения (1.1) является линейной по $y\mathrm{,}$ т. е. $f(x,y)=A\left(x\right)y,$ уравнение (1.2) можно записать в виде разностного уравнения 

${\nabla }^2{z}_m=h^2{A}_{m-1}{z}_{m-1}+h^2\sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^i\left(A_m{z}_m\right)+N_m-w_m,$   (3)

где $A_m=A\left(x_m\right).$ Пусть при всех рассматриваемых значениях m справедливы оценки $N\ge \left|N_m\right|$ и $w\ge \left|w_m\right|.$

Так же как и в [2] введем вспомогательную переменную $v_m$ и представим (3) в виде системы

$\left\{\begin{array}{lll}{v}_m=& v_{m-1}+h{A}_{m-1}{z}_{m-1}+h^{-1}{Q}_m,& m\ge k,\\ z_m=& z_{m-1}+h{v}_m+h^2\sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^{i-1}\left(A_m{z}_m\right),& m\ge k-\mathrm{1,}\end{array}\right.$  (4) 

где $Q_m=N_m-w_m,$ с начальными значениями

$v_0=v_1=\dots =v_{k-2}=\mathrm{0,}{v}_{k-1}=\frac{z_{k-1}-z_{k-2}}{h}-h\sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^{i-1}\left(A_{k-1}{z}_{k-1}\right).$

Подставим  из первого уравнения (2.2) во второе и перейдем к матричной записи:

$\left(\begin{array}{c}{v}_m\\ z_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& h{A}_{m-1}\\ h& 1+h^2{A}_{m-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_{m-1}\\ z_{m-1}\end{array}\right)+h^2\left(\begin{array}{c}0\\ \sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^{i-1}\left(A_m{z}_m\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{h}^{-1}{Q}_m\\ Q_m\end{array}\right).$  (5)

В [2] оценка векторов погрешности ${\overrightarrow{Z}}_m={(v_m,z_m)}^T$ (здесь и ниже верхний индекс $T$ — знак транспонирования) сводилась к последовательному нахождению оценок из уравнения для вектора погрешности

${\overrightarrow{Z}}_m=\sum _{i=0}^{k-1}{C}_i{\overrightarrow{Z}}_{m-i}+{\overrightarrow{Q}}_m,m\ge k.$

Вектор погрешностей ${\overrightarrow{Z}}_m$ заключался в эллипсоид (см. [6]), и этот эллипсоид пересчитывался на каждом шаге. Для симметрической положительно-определенной матрицы B размера $(2\times 2)$ эллипсоид $E(c,B)$ с центром в с определялся как $B^{\frac{1}{2}}{S}_1+c,$ где $S_1=E\left(\mathrm{0,}I\right)$ — единичный шар с центром начале координат.

Для неявного двухшагового метода (метода Нумерова) в [4] для последовательного нахождения оценок векторов погрешностей было предложено записать представление

${\overrightarrow{Z}}_m=C_0{\overrightarrow{Z}}_m+C_1{\overrightarrow{Z}}_{m-1}+{\overrightarrow{Q}}_m,m\ge \mathrm{2,}$

где

$C_0=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \frac{h^2}{12}{A}_m\end{array}\right),C_1=\left(\begin{array}{cc}1& h{A}_{m-1}\\ h& 1+\frac{11h^2}{12}{A}_{m-1}\end{array}\right),$

в виде

${\overrightarrow{Z}}_m=D_0{\overrightarrow{Z}}_m+\frac{h^2}{12}\left(\begin{array}{c}0\\ \nabla \left(A_m{z}_m\right)\end{array}\right)+{\overrightarrow{Q}}_m,m\ge \mathrm{2,}гдеD_0=\left(\begin{array}{cc}1& h{A}_{m-1}\\ h& 1+h^2{A}_{m-1}\end{array}\right).$

В этом случае точность оценки погрешности увеличивалась за счет того, что использовались не оценки величин $A_{m-i}{z}_{m-i},$ а оценки их первых разностей, то есть оценка происходила с учетом знаков малых слагаемых.

Проведем подобное улучшение для неявного многошагового метода. Для этого выразим в (2.3) i-е разности через $\nabla \left(A_{m-i}{z}_{m-i}\right)$:

$\left(\begin{array}{c}{v}_m\\ z_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& h{A}_{m-1}\\ h& 1+h^2{A}_{m-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_{m-1}\\ z_{m-1}\end{array}\right)+h^2\sum _{i=0}^{k-1}{{\gamma }^{\text{'}}}_i\left(\begin{array}{c}0\\ \nabla \left(A_{m-i}{z}_{m-i}\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{h}^{-1}{Q}_m\\ Q_m\end{array}\right),$  (6)

где коэффициенты ${{\gamma }^{\text{'}}}_i$ выражаются через ${\beta }_i\mathrm{.}$

Второе слагаемое правой части равенства содержит величину $\nabla A_{m-i}{z}_{m-i}$ Выразим оценку первых разностей $P_l^1\ge \underset{0\le i\le l}{max}|\nabla (A_i{z}_i\left)\right|$ через оценки

$L\ge A_i{L}^{\text{'}}\ge \nabla A_{i}h\mathrm{,}{z}_l^B\ge \underset{0\le i\le l}{max}{z}_i{v}_l^B\ge \underset{0\le i\le l}{max}{v}_i$

Из второй строчки (2.2) следует, что

$\nabla z_m=h{v}_m+h^2\sum _{i=0}^{k-1}{{\gamma }^{\text{'}}}_i\nabla \left(A_{m-i}{z}_{m-i}\right).$  (7)

В силу неравенства $|\nabla (A_i{z}_i\left)\right|\le |\nabla A_i|z_l^B+L|\nabla z_i|,$ используя прямо получаемую из (2.5) оценку, имеем $|\nabla (A_i{z}_i\left)\right|\le h{L}^{\text{'}}{z}_l^B+L(h{v}_l^B+h^{2}L{P}_l^1\sum _{i=0}^{k-1}|{\gamma }_{i^{\text{'}}}\left|\right).$

Откуда следует, что

$P_l^1\le \frac{h}{1-h^{2}L{\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}}\left|{\gamma }_{i^{\text{'}}}\right|}(L^{\text{'}}{z}_l^B+L{v}_l^B).$  (8)

Заметим, что шаг h должен быть выбран таким малым, чтобы знаменатель дроби в (2.6) был положительным.

Пусть погрешность начальных значений не превосходит $\delta \mathrm{,}$ тогда ${\overrightarrow{Z}}_i\in E\left(\mathrm{0,}{Z}_i\right)$ при $i=\mathrm{0,}\dots ,k-\mathrm{1,}$ где $Z_i=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& {\delta }^2\end{array}\right)$ при $i=\mathrm{0,}\dots ,k-2$ и $Z_{k-1}=2\left(\begin{array}{cc}{\left(v_{k-1}^B\right)}^2& 0\\ 0& {\delta }^2\end{array}\right).$ Здесь

$\left|v_{k-1}\right|\le v_{k-1}^B=\frac{2\delta }{h}+h\delta L\sum _{i=0}^k\left|{\gamma }_i\right|,$

где ${\gamma }_i$ — коэффициенты, которые возникнут в (2.5) после расписывания первых разностей.

Предлагается, начиная с этих значений, на каждом шаге пересчитывать эллипсоид $E\left(\mathrm{0,}{Z}_m\right),$ содержащий вектор погрешностей ${(v_m,z_m)}^T.$

При умножении матрицы D на эллипсоид $E\left(\mathrm{0,}B\right)$ надо использовать (см., например, [6, с. 74]) равенство

$D\cdot E\left(\mathrm{0,}B\right)=E\left(\mathrm{0,}DB{D}^T\right).$

При сложении двух эллипсоидов надо использовать вложение

$E\left(\mathrm{0,}{B}_1\right)+E\left(\mathrm{0,}{B}_2\right)\subset E\left(\mathrm{0,}\right(1+p)B_1+(1+1/p\left)B_2\right).$

Параметр p можно выбрать (см. [7]) из условия минимальности суммы квадратов полуосей ($p=\sqrt{Tr{B}_2/Tr{B}_1}$) или минимальности объема ($p=\sqrt{n^{-1}Tr\left(B_1^{-1}{B}_2\right)}$) эллипсоида, содержащего сумму данных эллипсоидов.

Суммой второго и третьего слагаемых в правой части (2.4) является вектор

$\left(\begin{array}{c}{h}^{-1}{Q}_m\\ h^2\sum _{i=0}^{k-1}{{\gamma }^{\text{'}}}_i\nabla \left(A_{m-i}{z}_{m-i}\right)+Q_m\end{array}\right),$

содержащийся в эллипсоиде $E\left(\mathrm{0,}\left(\begin{array}{cc}{a}^2& ab\\ ab& b^2\end{array}\right)\right),$ где $a=h^{-1}Q,$ $b=h^2{P}_m^1\sum _{i=0}^{k-1}\left|{\gamma }_{i^{\text{'}}}\right|+Q,$ $Q=N+w.$  

В результате, общая последовательность действий выглядит следующим образом. 

1. Определяются начальные значения:

$z_0^{*}=z_1^{*}=\dots =z_{k-1}^{*}=\delta ,v_{k-1}^B=\frac{2\delta }{h}+h\delta L\sum _{i=0}^k\left|{\gamma }_i\right|.$

Устанавливается $m=k.$

2. Вычисляется предварительная оценка погрешности:

$\left\{\begin{array}{ll}{r}_m^B=& r_{m-1}^B+\frac{h}{1-\left|{\alpha }_0\right|h^{2}L}\left(z_{m-1}^{*}L\right(2\left|{\alpha }_0\right|+\left|{\alpha }_1\right|)+z_{m-2}^{*}L(\left|{\alpha }_0\right|+\left|{\alpha }_2\right|)\\ & +L\sum _{i=3}^k\left|{\alpha }_i\right|z_{m-i}^{*})+(N+w\left)\right(h^{-1}+\left|{\alpha }_0\right|L),\\ z_m^B=& z_{m-1}^{*}+h{r}_m^B,m\ge k.\\ & \end{array}\right.$  (9)

Здесь $z_l^{}$ — улучшенная оценка ошибки, полученная на предыдущих шагах, начальные  значения $z_i^{*}=\delta$ при $i=\mathrm{0,}\dots ,k-\mathrm{1,}$ $r_{k-1}^B=\frac{2\delta }{h};$ шаг h такой, что ${\alpha }_0{h}^{2}L$.

3. По предварительнoй оценке $z_m^B$ из (2.7) находится эллипсоид $E\left(\mathrm{0,}{Z}_m\right),$ содержащий вектор ${\overrightarrow{Z}}_m={(v_m,z_m)}^T$ из (2.4). Для этого вычисляется эллипсоид, в котором лежит сумма эллипсоидов, содержащих слагаемые правой части (2.4). Далее вычисляется улучшенная оценка погрешности

$z_m^{*}=\sqrt{Z_m^{\mathrm{2,2}}},$

где эллипсоид $E\left(\mathrm{0,}{Z}_m\right)=Z_m^{\frac{1}{2}}{S}_1,$ $S_1=E\left(\mathrm{0,}I\right)$ — единичный шар.

Затем m увеличивается на 1 и происходит переход к пункту 2.

3. Получение оценки погрешности с большей точностью

Для того, чтобы получить оценку погрешности с еще большей точностью, надо второе слагаемое в (2.3) представить в виде суммы величин двух типов. К первому типу отнесем члены, содержащие $z_i$ и $v_i$ только с индексом $m-1$ и присоединим их к первому слагаемому (2.3). Ко второму типу отнесем «малые» члены — разности порядка не меньше чем $G\in \{\mathrm{0,1,}\dots ,k-1\}$ и, возможно, слагаемые, содержащие неоднородность $Q_m\mathrm{.}$ Прием, предложенный в пункте 2, соответствует $G=\mathrm{1,}$ а метод статьи [2] соответствует $G=0.$

Для $G\ge 2$ представим 

$\sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^{i-1}\left(A_m{z}_m\right)=\sum _{i=2}^G{\beta }_i{\nabla }^{i-1}\left(A_m{z}_m\right)+\sum _{i=G+1}^k{\beta }_i{\nabla }^{i-1}\left(A_m{z}_m\right).-0.6ex$

Второе слагаемое можно оценить через оценку разностей G-го порядка, предварительно выразив все разности $(i-1)$-го порядка через разности порядка G.

Первое слагаемое нужно преобразовать таким образом, чтобы в него входили члены только либо первого, либо второго типа.

Для этого выполним следующие преобразования:

$S=\sum _{i=2}^G{\beta }_i{\nabla }^{i-1}\left(A_m{z}_m\right)=\sum _{i=2}^G{\beta }_i\sum _{q=0}^{i-1}{C}_{i-1}^q\left({\nabla }^{i-1-q}{A}_{m-q}\right)\left({\nabla }^q{z}_m\right)$

$=\sum _{i=2}^G{\beta }_i\left({\nabla }^{i-1}{A}_m\right)\cdot z_m+\sum _{i=2}^G(i-1){\beta }_i\left({\nabla }^{i-2}{A}_{m-1}\right)\cdot \nabla z_m+S_3,-0.6ex$

где слагаемое $S_3=\sum _{i=3}^G{\beta }_i\sum _{q=2}^{i-1}{C}_{i-1}^q\left({\nabla }^{i-1-q}{A}_{m-q}\right)\left({\nabla }^q{z}_m\right)$ появляется только в случае $G\ge 3.$ С учетом значения ${\nabla }^2{z}_m$ из (2.1), имеем

$S_3=\sum _{i=3}^G{\beta }_i\sum _{q=2}^{i-1}{C}_{i-1}^q\left({\nabla }^{i-1-q}{A}_{m-q}\right)\left(h^2{\nabla }^{q-2}\right(A_{m-1}{z}_{m-1})-0.7ex$

$+h^2\sum _{l=2}^k{\beta }_l{\nabla }^{l+q-2}\left(A_m{z}_m\right)+{\nabla }^{q-2}{Q}_m).-0.7ex$

Сначала преобразуем $z_m$ и $\nabla z_m$ в $S\mathrm{,}$ используя вторую строку (2.2). Получим

$S=\sum _{i=2}^G{\beta }_i\left({\nabla }^{i-1}{A}_m\right)\cdot (z_{m-1}+h{v}_m+h^2\sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^{i-1}(A_m{z}_m\left)\right)-0.6ex$

$+\sum _{i=2}^G(i-1){\beta }_i\left({\nabla }^{i-2}{A}_{m-1}\right)\cdot (h{v}_m+h^2\sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^{i-1}(A_m{z}_m\left)\right)+S_3.-0.7ex$

Теперь преобразуем $v_m\mathrm{,}$ используя первую строку (4). Получим

$S=\sum _{i=2}^G{\beta }_i\left({\nabla }^{i-1}{A}_m\right)\cdot (z_{m-1}+h(v_{m-1}+h{A}_{m-1}{z}_{m-1}+h^{-1}{Q}_m)-0.6ex$

$+h^2\sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^{i-1}\left(A_m{z}_m\right))+\sum _{i=2}^G(i-1\left){\beta }_i\right({\nabla }^{i-2}{A}_{m-1})\cdot (h(v_{m-1}+h{A}_{m-1}{z}_{m-1}+h^{-1}{Q}_m)-0.6ex$

$+h^2\sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^{i-1}\left(A_m{z}_m\right))+S_3.-0.7ex$

Члены полученной суммы, содержащие в качестве множителей $z_{m-1}$ и $v_{m-1}\mathrm{,}$ надо присоединить к первому слагаемому (2.4). Для остальных членов, которые не принадлежат ко второму типу, нужно повторить всю процедуру разбиения на слагаемые первого и второго типов заново.

Посмотрим, как предложенный метод работает при $G=2.$ В этом случае $S_3=\mathrm{0,}$

$S=\frac{1}{12}(\nabla A_m+h^2{A}_m{A}_{m-1})z_{m-1}+\frac{h}{12}{A}_m{v}_{m-1}+\frac{1}{12}{A}_m(Q_m+h^2\sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^{l-1}(A_m{z}_m\left)\right).-0.5ex$

Следовательно, запись (2.3) равносильна записи

$\left(\begin{array}{c}{v}_m\\ z_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& h{A}_{m-1}\\ h(I+\frac{h^2}{12}{A}_m)& I+h^2(A_{m-1}+\frac{\nabla A_m}{12}+\frac{h^2}{12}{A}_m{A}_{m-1})\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_{m-1}\\ z_{m-1}\end{array}\right)$   (10)

$+h^2\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{12}{A}_m{Q}_m+\frac{h^2}{12}{A}_m\sum _{i=2}^k{\beta }_i{\nabla }^{i-1}\left(A_m{z}_m\right)+\sum _{i=3}^k{\beta }_i{\nabla }^{i-1}\left(A_m{z}_m\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{h}^{-1}{Q}_m\\ Q_m\end{array}\right).$

Найдем оценку погрешности неявного метода Штермера 5-го порядка.

В этом случае справедлива следующая оценка второй координаты второго слагаемого правой части (3.1):

$\frac{1}{12}{A}_m{Q}_m+\frac{h^2}{12}{A}_m\sum _i^4{\beta }_i{\nabla }^{i-1}{A}_m{z}_m+\sum _i^4{\beta }_i{\nabla }^{i-1}{A}_m{z}_m$

$\le \frac{L}{12}Q+\frac{h^{2}L}{144}{P}_m^1+\frac{1}{120}{P}_m^2+\frac{h^{2}L}{12}$

 Здесь в качестве оценки первых разностей $P_l^1:\underset{0\le i\le l}{max}\parallel \nabla \left(A_i{z}_i\right)\parallel \le P_l^1$ используется оценка (2.6). Третьи разности были выражены через вторые, для которых ниже будет получена оценка $P_l^2\underset{0\le i\le l}{max}\parallel {\nabla }^2{A}_i{z}_i\parallel \le P_l^2\mathrm{.}$

Пусть выполнено неравенство ${L^{\text{'}}}^{\text{'}}\ge h^{-2}\parallel {\nabla }^2{A}_i\parallel .$ Тогда, используя оценки $\nabla z_i$ и ${\nabla }^2{z}_i\mathrm{,}$  полученные из (2.5) и (2.1) соответственно, для $k\ge 4$ имеем

$\parallel {\nabla }^2\left(A_i{z}_i\right)\parallel \le \parallel \left({\nabla }^2{A}_i\right)z_i+2\nabla A_{i-1}\nabla z_i+A_{i-2}{\nabla }^2{z}_i\parallel$

$\le h^2{L^{\text{'}}}^{\text{'}}{z}_l^B+2h{L}^{\text{'}}(h{v}_l^B+h^2\sum _{j=0}^{k-1}|{\gamma }_{j^{\text{'}}}\left|P_l^1\right)+L(h^{2}L{z}_{l-1}^B+h^2\sum _{j=0}^{k-1}|{\gamma }_{j^{\text{'}}}|P_l^2+Q).$

Откуда

$P_l^2\le \frac{1}{1-h^{2}L{\displaystyle \sum _{j=0}^{k-1}}\left|{{\gamma }^{\text{'}}}_j\right|}\left(h^2{z}_l^B\right({L^{\text{'}}}^{\text{'}}+L^2)+2h^2{L}^{\text{'}}{v}_l^B+2h^3{L}^{\text{'}}\sum _{j=0}^{k-1}|{{\gamma }^{\text{'}}}_j|P_l^1+Q).-0.5ex$

4. Численный эксперимент

Продемонстрируем работу предложенного метода оценки погрешности на конкретном примере. Вычисления будем проводить с точностью до 56-го двоичного знака, т. е. с $\delta =\frac{1}{2}{2}^{-56}=2^{-57}.$ Рассмотрим линейное уравнение

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=-\frac{9{{\displaystyle \cos }}^{2}x}{2+{{\displaystyle \cos }}^{2}x}y$

с точным решением $y\left(x\right)=\sin x+\frac{1}{9}\sin 3x.$

Численное решение будем также считать методом Штермера 5-го порядка с точностью $\delta =2^{-57}$ с шагом $h=2^{-8}.$

Оценка $N=\frac{1}{240}\left|y^{\left(7\right)}\right|h^7\le 1.5\cdot {10}^{-17},$ т. к. $\left|y^{\left(8\right)}\right|\le 244.$ Оценка $w=7\cdot {10}^{-18}.$

В таблице приведены только оценки, не превосходящие ${10}^{-4}\mathrm{.}$

 

X0	100π	200π	400π	600π
G=0	4 · 10-6
G=1	9 · 10-8	8 · 10-7	3 · 10-5
G=2	9 · 10-8	7· 10-7	5 · 10-6	2 · 10-5

 

Результаты численных экспериментов показывают, что при учете знаков малых слагаемых точность оценки погрешности неявного метода Штермера значительно увеличивается. Кроме того, происходит увеличение длины интервала применимости метода оценивания погрешности с помощью эллипсоидов.

Об авторах

Наталья Дмитриевна Золотарева

ФГБОУ ВО «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова»

Автор, ответственный за переписку.
Email: zolotareva-vmk@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-1490-2091

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительных методов

Россия, 119991, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, 1

Список литературы

Дополнительные файлы