Метод приближенного решения уравнений в частных производных

Введение

Краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных описываются многие физические процессы, в том числе процессы теплопроводности, диффузии, механики сплошных сред и другие процессы с распределенными параметрами (см. [1]). Точные аналитические решения таких задач возможны лишь для ограниченного класса уравнений и граничных условий. Приближенное определение решений уравнений в частных производных является более сложной проблемой, чем соответствующая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений. Очевидно, что определить функцию нескольких переменных сложнее, чем функцию одного аргумента. Но, кроме этой очевидной трудности, приближенное нахождение решений уравнений в частных производных осложнено еще и некорректностью ряда задач математической физики (см. [2]).

Основы аналитических и численных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных заложены в известной монографии Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [3]. За прошедшие со времени издания этой книги годы приближенным решениям уравнений в частных производных были посвящены многочисленные работы. Значительные успехи достигнуты в развитии теории А. Н. Тихонова [4] решения некорректных задач (см., например, работы [5, 6] и их библиографические списки). В приложениях наиболее популярными являются различные сеточные методы (см., например, монографию [7] и работу [8]), методы представления решений в виде рядов (см., например, [9, главы X, XIII, XVII], методы сведения к дифференциально-разностным уравнениям (см., например, [10]).

Мы предлагаем метод иного типа, приводящий заданное уравнение к приближенному, аналитическое решение которого выписывается в явном виде. К достоинствам предлагаемого метода можно отнести простоту итерационного соотношения, а также возможности применений к широкому классу уравнений и краевых условий. Например, по переменной времени можно рассматривать не только начальную, но и краевые задачи.

Идея предлагаемого метода восходит к идее метода Тонелли (см., например, [11]), известного для дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений относительно функций одной переменной (с обычными, а не частными производными). Для получения методом Тонелли приближенного решения уравнения

$\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\mathrm{<mo>></mo>0,}$

при заданном начальном условии $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\alpha }_0\mathrm{,}$ это уравнение заменяют уравнением

$\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\mathrm{<mo>></mo>0,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\tau \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ (0.1)

с достаточно малым запаздыванием $\tau \mathrm{<mo>></mo>0.}$ Здесь $\alpha$ $—$ некоторая определенная на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\tau \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ функция такая, что $\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\alpha }_0\mathrm{.}$ Решение такого уравнения определяется последовательно на каждом полуинтервале ${\mathfrak{J}}_n\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{n-1}\mathrm{,}{t}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ где $t_0\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ $t_n\mathrm{<mo>=</mo>}n\tau \mathrm{,}$ $n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$ следующими соотношениями. Положим $x_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\tau \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и обозначим через $x_n\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathfrak{J}}_n\to ℝ$ решение рассматриваемой задачи Коши для уравнения (0.1) на полуинтервале ${\mathfrak{J}}_n\mathrm{,}$ $n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{.}$ Тогда решением на следующем полуинтервале ${\mathfrak{J}}_{n+1}$ будет функция

$x_{n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_{t_n}^t}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}ds\mathrm{,}t\in {\mathfrak{J}}_{n+1}\mathrm{.}$

Для получения приближений к уравнению в частных производных мы предлагаем введение аналогов запаздывания $—$ малого параметра не по переменной времени $t\mathrm{,}$ а по пространственным переменным.

1. Метод приближенного решения начально-краевой задачи

Для простоты будем рассматривать уравнение, содержащее частную производную первого порядка по времени $t$ и частные производные не выше второго порядка по двум пространственным переменным $x\mathrm{,}y\mathrm{.}$

Будем обозначать через $\mathrm{<mo>|</mo>}M{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{ℝ}^2}$ норму вектора $M\in {ℝ}^2\mathrm{,}$ через $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ меру (площадь) множества $A\subset {ℝ}^2$ и через $\overline{A}$ замыкание этого множества в ${ℝ}^2\mathrm{.}$

Пусть задана область $D$ на плоскости ${ℝ}^2\mathrm{,}$ имеющая границу ${\Gamma }_0\mathrm{.}$ Положим $\overline{D}\mathrm{<mo>=</mo>}D\cup {\Gamma }_0\mathrm{.}$ В области $D$ рассмотрим следующую начально-краевую задачу

$\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{,}u\mathrm{,}\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{,}\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{,}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{,}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\mathrm{,}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\mathrm{<mo>></mo>0,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D\mathrm{,}$ (1.1)

$u{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D\mathrm{,}$ (1.2)

$u{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_0}\mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\mathrm{<mo>></mo>0.}$ (1.3)

Здесь $f\mathrm{,}\vartheta \mathrm{,}{\phi }_0$ $—$ заданные непрерывные функции.

Пусть задано $\tau \mathrm{<mo>></mo>0.}$ Определим отображение $S_{\tau }\mathrm{<mo>:</mo>}\overline{D}\to D\mathrm{,}$ удовлетворяющее нижеперечисленным условиям:

• отображение $S_{\tau }\mathrm{<mo>:</mo>}\overline{D}\to D$ инъективно;
• для любой точки $M\in D$ выполнено $\mathrm{<mo>|</mo>}{S}_{\tau }M-M{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{ℝ}^2}\le \tau \mathrm{<mo>;</mo>}$
•  при любом $n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$ множество $S_{\tau }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является областью с границей $S_{\tau }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$
• при любом $n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$ выполнено

$S_{\tau }^{n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⊊S_{\tau }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{S}_{\tau }^{n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap S_{\tau }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\varnothing и\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \underset{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{\infty }{\cap }}}{S}_{\tau }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$

Обозначим $D_0\mathrm{<mo>=</mo>}D\mathrm{,}$ $D_n\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_{\tau }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ ${\Gamma }_n\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_{\tau }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{.}$ В силу принятых предположений отображение $S_{\tau }^n\mathrm{<mo>:</mo>}\overline{D_{n-1}}\to \overline{D_n}$ биективно. Определим обратное к $S_{\tau }\mathrm{<mo>:</mo>}\overline{D_0}\to \overline{D_1}$ отображение ${\Lambda }_{\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_{\tau }^{-1}\mathrm{<mo>:</mo>}\overline{D_1}\to \overline{D_0}\mathrm{.}$

Рассмотрим примеры множеств $D$ и отображений $S_{\tau }\mathrm{,}$ обладающих перечисленными свойствами.

Пример 1.1. Пусть область $D\subset {ℝ}^2$ ограничена, то есть

$\exists r\mathrm{<mo>></mo>0}\forall M\in D\mathrm{<mo>|</mo>}M{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{ℝ}^2}\le r\mathrm{,}$

а кроме того, еще выпукла и $0\in D\mathrm{.}$ Выберем $k\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ так, чтобы $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}r\mathrm{<mo><</mo>}\tau \mathrm{.}$ Положим $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{k}\mathrm{.}$ Очевидно, тогда $\lambda \mathrm{<mo>></mo>1}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{r}{\lambda }\mathrm{<mo><</mo>}\tau \mathrm{.}$ Определим операторы $S_{\tau }\mathrm{,}{\Lambda }_{\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_{\tau }^{-1}$ соотношениями

$\forall M\in \overline{D}{S}_{\tau }M\mathrm{<mo>=</mo>}kM\mathrm{,}\forall M^{\prime }\in \overline{D_1}{\Lambda }_{\tau }{M}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda M^{\prime }\mathrm{.}$

Очевидно, при таком определении области $D_1\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $D$ подобны, и для отображения $S_{\tau }$ выполнены все требуемые условия. В частности, имеем ${\displaystyle \underset{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{\infty }{\cap }}}{S}_{\tau }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>.}$ 

Пример 1.2. Пусть $r\mathrm{<mo>></mo>0,}$ $D\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℝ}^2\mathrm{<mo>:</mo><mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}r\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ Рассматриваемая область $D$ представляет собой полосу на плоскости, а ее граница представляет собой две прямые: ${\Gamma }_0\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}y\mathrm{<mo>=</mo>}\pm r\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ Выберем $k\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ так, чтобы $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}r\mathrm{<mo><</mo>}\tau \mathrm{,}$ и положим $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{k}\mathrm{.}$ Определим операторы $S_{\tau }\mathrm{,}{\Lambda }_{\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_{\tau }^{-1}$ соотношениями

$\forall M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \overline{D}{S}_{\tau }M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}ky\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\forall M^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \overline{D_1}{\Lambda }_{\tau }{M}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}\lambda y^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Очевидно, при таком определении выполнены все требуемые условия. В частности, $D_n\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo>}\le r{k}^n\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ ${\Gamma }_n\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}y\mathrm{<mo>=</mo>}\pm r{k}^n\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ а множество ${\displaystyle \underset{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{\infty }{\cap }}}{S}_{\tau }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ это прямая $\mathrm{<mo>\{</mo>}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}y\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>,}$ плоская мера которой равна нулю.

Пример 1.3. Пусть снова задано $r\mathrm{<mo>></mo>0.}$ Определим область $D\subset {ℝ}^2$ соотношением $D\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℝ}^2\mathrm{<mo>:</mo><mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}r\mathrm{,}x\mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>.}$ Ее граница $—$ это множество ${\Gamma }_0\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo>0,}y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-r\mathrm{,}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}илиx\mathrm{<mo>></mo>0,}y\mathrm{<mo>=</mo>}\pm r\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ Выберем $k\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ так, чтобы $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}r\mathrm{<mo><</mo>}\tau \mathrm{,}$ и положим $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{k}\mathrm{.}$ Определим треугольники $\Delta \mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \overline{D}\mathrm{<mo>:</mo>1}-x\ge \mathrm{<mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo>\}</mo>}$ и ${\Delta }^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{M}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \overline{D_1}\mathrm{<mo>:</mo>1}-x^{\prime }\ge \mathrm{<mo>|</mo>}{y}^{\prime }\mathrm{<mo>|</mo><mo>\}</mo>}$ и зададим операторы $S_{\tau }\mathrm{,}{\Lambda }_{\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_{\tau }^{-1}$ соотношениями

$\forall M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \overline{D}{S}_{\tau }M\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+1-k\mathrm{,}ky\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & еслиM\text{}\in \text{}\Delta \mathrm{,}\hfill \\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+\frac{1-k}{x+1}\mathrm{,}ky\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & еслиM\in \overline{D}\backslash \Delta \mathrm{,}\hfill \end{array}\right.$

$\forall M^{\prime }\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{}\in \text{}\overline{D_1}{S}_{\tau }{M}^{\prime }\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }-1+k\mathrm{,}\lambda y^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \text{}еслиM\in \Delta \mathrm{,}\hfill \\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }-1+\sqrt{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-\mathrm{4<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \text{}еслиM^{\prime }\in \overline{D_1}\backslash {\Delta }^{\prime }\mathrm{.}\hfill \end{array}\right.$

Очевидно, при таком определении выполнены все требуемые условия. В частности, $D_n\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}x\mathrm{<mo>></mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-k{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^n\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo>}\le k^{n}r\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ ${\Gamma }_n\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-k{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^n\mathrm{,}y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-k^{n}r\mathrm{,}{k}^{n}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}илиx\mathrm{<mo>></mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-k{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^n\mathrm{,}y\mathrm{<mo>=</mo>}\pm k^{n}r\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ а множество ${\displaystyle \underset{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{\infty }{\cap }}}{S}_{\tau }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ это луч $\mathrm{<mo>\{</mo>}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}x\ge \mathrm{1,}y\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>,}$ плоская мера которой равна нулю.

Теперь определим приближенное к (1.1) уравнение. Поскольку $\tau$ далее считаем неизменным, будем опускать соответствующий индекс в обозначениях отображений, то есть далее $S_{\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}S\mathrm{,}$ ${\Lambda }_{\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}\Lambda \mathrm{.}$ Пусть на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^2\backslash D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times {ℝ}_{+}$ задана функция $\phi$ такая, что при любом $t\in {ℝ}_{+}$ функция $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ дважды дифференцируема и $\phi {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_0}\mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Будем предполагать, что отображение $\Lambda \mathrm{<mo>:</mo>}\overline{D_1}\to \overline{D}$ продолжено на все множество $\overline{D}$ таким образом, что $\Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\backslash \overline{D_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset {ℝ}^2\backslash \overline{D}\mathrm{.}$ При $t\mathrm{<mo>></mo>0,}$ $M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D$ рассмотрим уравнение

$\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}M\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (1.4)

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}N\in {ℝ}^2\backslash D\mathrm{,}t\mathrm{<mo>></mo>0.}$

Решение приближенного уравнения (1.4) с начально-краевыми условиями (1.2), (1.3) определяется при любом $t\mathrm{<mo>></mo>0}$ последовательно на каждом множестве ${\mathfrak{D}}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_{n-1}\backslash D_n\mathrm{,}$ $n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$ следующими соотношениями. Положим $u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $M\in {ℝ}^2\backslash D_0\mathrm{,}$ $t\mathrm{<mo>></mo>0,}$ и обозначим через $u_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ решение задачи (1.4), (1.2), (1.3) при $M\in {\mathfrak{D}}_n\mathrm{,}$ $n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$ $t\mathrm{<mo>></mo>0.}$ Тогда решение при $M\in {\mathfrak{D}}_{n+1}\mathrm{,}$ $t\mathrm{<mo>></mo>0}$ будет определяться формулой

$\text{}\text{}{u}_{n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$+{\displaystyle {\int }_0^t}\text{}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}M\mathrm{,}{u}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}\text{}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial u_{n\text{}}}{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}\text{}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial u_{n\text{}}}{\partial y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}\text{}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{{\partial }^2{u}_{n\text{}}}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}\text{}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{{\partial }^2{u}_{n\text{}}}{\partial y^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}\text{}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{{\partial }^2{u}_{n\text{}}}{\partial x\partial y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}\text{}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}ds\mathrm{.}\text{}$

Из этой формулы следует, что решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в граничных точках $M\in {\Gamma }_n$ областей $D_n\mathrm{,}$ $n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$ определяется следующими рекуррентными соотношениями

$\text{}\text{}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{M\in {\Gamma }_{n+1}}\mathrm{<mo>=</mo>}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$+{\displaystyle {\int }_0^t}\text{}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}M\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}\text{}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial u\text{}}{\partial x\text{}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}\text{}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial u\text{}}{\partial y\text{}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}\text{}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{{\partial }^{2}u\text{}}{\partial x^2\text{}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}\text{}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{{\partial }^{2}u\text{}}{\partial y^2\text{}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}\text{}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{{\partial }^{2}u\text{}}{\partial x\partial y\text{}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda M\mathrm{,}\text{}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Lambda M\in {\Gamma }_{n\text{}}}ds\mathrm{.}$

2. Приближенное решение уравнения теплопроводности

Проиллюстрируем предлагаемый метод на примере решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Пусть $D\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset {ℝ}^2\mathrm{.}$ Границей этого квадрата является множество ${\Gamma }_0\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo>}\pm \pi \mathrm{,}y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}илиx\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}y\mathrm{<mo>=</mo>}\pm \pi \mathrm{<mo>\}</mo>.}$ Рассмотрим уравнение

$\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D\mathrm{,}t\mathrm{<mo>></mo>0,}$ (2.1)

при условиях

$u{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_0}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ (2.2)

Заметим, что «точным» решением этой задачи является функция

$u\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-t}\mathrm{.}$

Построим приближенное решение. Будем использовать операторы $S\mathrm{,}\Lambda$ из примера 1.1. Выберем коэффициент «подобия» $k\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ положим $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{k}\mathrm{.}$ Теперь заменим рассматриваемое уравнение (2.1) приближенным уравнением

$\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (2.3)

Решение приближенной задачи (2.3), (2.2) будем находить последовательно на границах ${\Gamma }_n\mathrm{,}$ $n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$ квадратов $D_n\mathrm{.}$ Для этих границ имеют место следующие равносильные соотношения

${\Gamma }_{n+1}\mathrm{<mo>=</mo>}k{\Gamma }_n\iff {\Gamma }_n\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda {\Gamma }_{n+1}\mathrm{.}$

Сначала определим решение $u$ в точках линии ${\Gamma }_1$ через известные заданные значения функции $u$ в точках линии ${\Gamma }_0\mathrm{.}$ Затем определим $u$ в точках ${\Gamma }_2$ через уже найденные ее значения в точках линии ${\Gamma }_1\mathrm{,}$ и т. д. Таким образом, при каждом $n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$ получаем следующее соотношение для нахождения приближенного решения

$\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_{n+1}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_n}\mathrm{.}$

Следовательно,

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_{n+1}}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y{\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_{n+1}}\text{}+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^t}\text{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_n}\text{d}s\mathrm{.}$ (2.4)

Приведем результаты четырех шагов вычислений по итерационной формуле (2.4).

1) При $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_1$ имеем $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_0\mathrm{,}$ и в силу (2.2) выполнено $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$ Поэтому по формуле (2.4) здесь получаем

$u\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}при\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo>></mo>0.}$

2) При $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_2$ имеем $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_1\mathrm{.}$ Воспользуемся значениями решения, найденными на предыдущем шаге. Получим $\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Теперь по формуле (2.4) получаем

$u\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\text{}{\displaystyle {\int }_0^t}\text{}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}t\mathrm{.}$

3) Теперь пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_3$ и поэтому $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_2\mathrm{.}$ Тогда

$\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\lambda }^2\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}t\mathrm{,}$

и после подстановки этого выражения в (2.4) получаем

$u\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\text{}{\displaystyle {\int }_0^t}\text{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\lambda }^2\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}t+\frac{1}{2}{\lambda }^2\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{t}^2\mathrm{.}$

4) Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_4$ и, соответственно, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_3\mathrm{.}$ В этом случае имеем

$\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{,}\lambda y\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\lambda }^2\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}t-\frac{1}{2}{\lambda }^6\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{3}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{3}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{t}^2\mathrm{.}$

Поэтому согласно формуле (2.4) получаем

$u\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{}+\text{}{\displaystyle {\int }_0^t}\text{}\text{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{}-\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{}+{\lambda }^{2\text{}}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}s\text{}-\frac{1}{2}{\lambda }^6\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{3}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{3}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{s}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}t+\frac{1}{2}{\lambda }^2\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{t}^2-\frac{1}{6}{\lambda }^6\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{3}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{3}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{t}^3\mathrm{.}$

Несложно заметить и показать (методом математической индукции), что на каждом $n$ -м шаге решение определяется формулой

$u\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{n-1}}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^i}{i\mathrm{<mo>!</mo>}}{\lambda }^{i^2-i}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{i}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{i}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{t}^i\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_n\mathrm{,}t\mathrm{<mo>></mo>0.}$ (2.5)

В следующих таблицах приведены результаты расчетов по формуле (2.5) для $k\mathrm{<mo>=</mo>0,99,}$ $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{\mathrm{0,99}}\cong \mathrm{1,0101,}$ $n\mathrm{<mo>=</mo>10}$ и, для сравнения, значения при же аргументах точного решения.

Табл. 1. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_1\mathrm{,}$ $x\mathrm{<mo>=</mo>0,99}\pi \mathrm{,}$ $y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{0,99}\pi \mathrm{,0,99}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Табл. 2. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_2\mathrm{,}$ $x\mathrm{<mo>=</mo>0,9801}\pi \mathrm{,}$ $y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{0,9801}\pi \mathrm{,0,9801}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ 

Табл. 3. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_3\mathrm{,}$ $x\mathrm{<mo>=</mo>0,9703}\pi \mathrm{,}$ $y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{0,9703}\pi \mathrm{,0,9703}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Табл. 4. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_4\mathrm{,}$ $x\mathrm{<mo>=</mo>0,9606}\pi \mathrm{,}$ $y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{0,9606}\pi \mathrm{,0,9606}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Табл. 5. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_5\mathrm{,}$ $x\mathrm{<mo>=</mo>0,9510}\pi \mathrm{,}$ $y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{0,9510}\pi \mathrm{,0,9510}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ 

Табл. 6. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_6\mathrm{,}$ $x\mathrm{<mo>=</mo>0,9415}\pi \mathrm{,}$ $y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{0,9415}\pi \mathrm{,0,9415}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ 

Табл. 7. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_7\mathrm{,}$ $x\mathrm{<mo>=</mo>0,9321}\pi \mathrm{,}$ $y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{0,9321}\pi \mathrm{,0,9321}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Табл. 8. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_8\mathrm{,}$ $x\mathrm{<mo>=</mo>0,9227}\pi \mathrm{,}$ $y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{0,9227}\pi \mathrm{,0,9227}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Табл. 9. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_9\mathrm{,}$ $x\mathrm{<mo>=</mo>0,9135}\pi \mathrm{,}$ $y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{0,9135}\pi \mathrm{,0,9135}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Табл. 10. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Gamma }_{10}\mathrm{,}$ $x\mathrm{<mo>=</mo>0,9044}\pi \mathrm{,}$ $y\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{0,9044}\pi \mathrm{,0,9044}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

3. Некоторые обобщения

Предложенный выше метод решения уравнений в частных производных достаточно универсален. Он без каких-либо значимых изменений распространяется на область $D\mathrm{,}$ принадлежащую пространству ${ℝ}^n$ при любом $n\ge 2.$ Также метод применим к уравнению, полученному из (1.1) заменой в левой части производной $\frac{\partial u}{\partial t}$ линейным дифференциальным оператором первого порядка

${\mathcal{L}}_{t}u\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}+\mathcal{P}u\mathrm{,}$

где $\mathcal{P}$ $—$ некоторая функция, определенная на $D\times {ℝ}_{+}\mathrm{.}$ Также может рассматриваться и линейный дифференциальный оператор более высокого порядка. Кроме того, вместо начального условия (1.2) можно рассматривать краевое условие.

Для сокращения записи по-прежнему полагаем область $D$ плоской. Рассмотрим краевую задачу вида

${\mathcal{L}}_{t}u\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{,}u\mathrm{,}\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{,}\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{,}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{,}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\mathrm{,}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D\mathrm{,}$                               (3.1)