Omniwheel implementation of the Suslov problem with a rheonomic constraint: dynamic model and control

Введение

Данная работа посвящена исследованию динамики твердого тела с неподвижной точкой в задаче Суслова. Твердое тело движется в присутствии неоднородной реономной связи Суслова. Физическая интерпретация однородной склерономной неголономной связи Суслова [1, с. 593] была предложена Вагнером [2] (рис. 1). Твердое тело движется внутри сферической оболочки и контактирует с ней посредством «острых» колесиков (рис. 1), в результате чего возникает неголономная связь Суслова

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{,}\text{e}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$

где $\omega$ $—$ вектор угловой скорости тела, $\text{e}$ $—$ вектор, неподвижный в теле.

Рис. 1. Физическая реализация Вагнера задачи Суслова

Динамика классической задачи Суслова, в том числе с переменными параметрами (обобщение задачи Суслова), хорошо изучена в работах [3-5]. В работе[3] авторы исследуют динамику системы Суслова с неоднородной склерономной неголономной связью

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{,}\text{e}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\text{const}\mathrm{,}$

однако, физическую интерпретацию этой связи авторы не указывают.

Обобщением склерономной связи Суслова является реономная связь Билимовича [6]. Билимович предложил физическую интерпретацию реономной неголономной связи

  $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{,}\text{a}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\alpha \mathrm{,}$

где $\text{a}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ произвольная функция, $\alpha$ $—$ произвольная постоянная, в виде механизма с вращающимся стержнем [6]. Однако данная физическая интерпретация не совсем корректна. Найти физическую реализацию неоднородной склерономной связи Суслова также сложно. Динамика низкоразмерной неавтономной динамической системы в задаче Билимовича достаточно подробно была исследована в [7]. На основе численных экспериментов были выявлены случаи, когда одна из фазовых переменных или обе фазовые переменные неограничены. Для фазовых переменных в этих случаях были найдены асимптотики эмпирически.

В данной работе мы предложим омниколесную реализацию задачи Суслова. Для этого в механической системе Вагнера (рис. 1) заменим острые колесики на омниколеса с дифференциальным приводом. Управляя крутящим моментом на омниколесах, мы подчиним движение твердого тела реономной связи

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{,}\text{e}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Однако данную связь нельзя считать неголономной, так как неголономные связи реализуются естественным путем вследствие контакта. Данная связь искусственная. Такие связи часто называют условными связями (сервосвязями) [8-10]. Для ее реализации требуются управляющие воздействия. В данном случае управляющие воздействия $—$ это управляющие крутящие моменты на омниколесах, зависящие от искомых механических параметов. Таким образом, получаем задачу с обратной связью.

В работе для заданных управляющих моментов на омниколесах строятся уравнения движения на основе принципа д’Аламбера$–$Лагранжа, исследуется динамика системы, для чего строятся отображения Пуанкаре, которые могут содержать странные хаотические аттракторы. В случае появления хаотического аттрактора мы строим карту динамических режимов и показываем сценарий Фейгенбаума перехода к хаосу посредством каскада бифуркаций удвоения периода. В исследуемой динамической системе может наблюдаться неограниченный рост фазовых переменных. В работе приводится аналитическое доказательство этого факта с использованием преобразования Пуанкаре [11, с. 107], в результате которого мы переходим к исследованию устойчивости однопараметрического семейства неподвижных точек для системы с вырожденной линейной частью [12, 13]. Причем, в отличие от [12], у нас нет необходимости прибегать к нормальным формам. Определяются механические параметры системы, при которых наблюдается неограниченный рост фазовой переменной, и строятся асимтотики фазовых переменных, а также оцениваются управляющие крутящие моменты на омниколесах.

Другие качественные методы исследования динамического поведения нелинейной системы и методы управления представлены в [14, 15].

1. Математическая модель

Постановка задачи. Рассмотрим неподвижную сферическую оболочку радиуса $R\mathrm{,}$ внутри которой движется твердое тело массой $M$ с неподвижной точкой $O\mathrm{,}$ совпадающей с центром оболочки и центром масс самого тела (рис. 1). Твердое тело контактирует с оболочкой посредством двух одинаково ориентированных омниколес радиуса $r$ и массой $m\mathrm{,}$ расположенных диаметрально противоположно. Считаем, что каждое омниколесо контактирует с оболочкой только в одной точке.

Введем подвижную систему координат $O{x}_1{x}_2{x}_3$ с центром в точке $O\mathrm{,}$ жестко связанную с телом. Направим ось $O{x}_3$ перпендикулярно плоскости омниколес. Тогда ось, соединяющая центры омниколес, лежит в плоскости $O{x}_1{x}_2\mathrm{.}$ Предполагаем, что геометрические и физические параметры системы и выбор осей системы координат таковы, что осевой момент инерции омниколеса равен $j\mathrm{,}$ а тензор инерции твердого тела вместе с омниколесами принимает вид

$I\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{ccc}{I}_{11}& 0& 0\\ 0& I_{22}& I_{23}\\ 0& I_{23}& I_{33}\end{array}\right)\mathrm{.}$

Неголономные условия непроскальзывания омниколес в точках контакта со сферической оболочкой принимают вид

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{s}}_i\mathrm{,}{\text{n}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot {\dot{\chi }}_i+\frac{R}{r}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{s}}_i\mathrm{,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,2}}\mathrm{,}$ (1.1)

где ${\dot{\chi }}_i$ $—$ угловая скорость $i$ -го омниколеса, $\omega \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }_1\mathrm{,}{\omega }_2\mathrm{,}{\omega }_3{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T$ $—$ вектор угловой скорости тела, ${\text{s}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{r}}_i\times {\text{a}}_i\mathrm{,}$ вектор ${\text{n}}_i$ $—$ единичный вектор, нормальный к плоскости омниколеса, вектор ${\text{a}}_i$ $—$ единичный вектор, направленный вдоль оси ролика, контактирующего с оболочкой, ${\text{r}}_i$ $—$ радиус-вектор, направленный от центра сферы до центра $i$ -го омниколеса. Более подробно с неголономной моделью омниколеса можно ознакомиться в [16] (конструкцию омниколеса см. рис. 2).

Рис. 2. Конструкция омниколеса

Векторы ${\text{a}}_i\mathrm{,}{\text{n}}_i\mathrm{,}{\text{r}}_i\mathrm{,}{\text{s}}_i$ в системе координат $O{x}_1{x}_2{x}_3$ имеют следующие координаты

$\begin{array}{c}{\text{r}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \phi \\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \phi \\ 0\end{array}\right)\text{}\mathrm{,}{\text{a}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}-\sin \phi \sin \xi \\ \cos \phi \sin \xi \\ \cos \xi \end{array}\right)\text{}\mathrm{,}{\text{n}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\text{}\mathrm{,}{\text{s}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \phi \cos \xi \\ -\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \phi \cos \xi \\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \xi \end{array}\right)\text{}\mathrm{,}\\ {\text{r}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \phi \\ -\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \varphi \\ 0\end{array}\right)\text{}\mathrm{,}{\text{a}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}\sin \phi \sin \xi \\ -\cos \phi \sin \xi \\ \cos \xi \end{array}\right)\text{}\mathrm{,}{\text{n}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\text{}\mathrm{,}{\text{s}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \phi \cos \xi \\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \phi \cos \xi \\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \xi \end{array}\right)\text{}\mathrm{,}\end{array}$

где угол $\xi \ne \mathrm{0,}\pi$ $—$ угол между осью ролика и нормалью к плоскости омниколеса, угол $\phi$ $—$ угол, между осью, соединяющей центры омниколес и положительным направлением оси $O{x}_1\mathrm{.}$

Замечание 1.1 В случаях $\xi \mathrm{<mo>=</mo>0}$ и $\xi \mathrm{<mo>=</mo>}\pi$ неголономные условия приобретают вид классических неголономных условий Суслова для твердого тела на «острых» колесиках.

Потребуем, чтобы движение твердого тела подчинялось искусственной связи

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{,}\text{e}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (1.2)

где $\text{e}{\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T$ $—$ координатный вектор оси $O{x}_3\mathrm{,}$ $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ заданная периодическая функция времени $t\mathrm{.}$ Для реализации условия (1.2) на каждое $i$ -e омниколесо установим дифференциальный привод, который будет генерировать управляющий крутящий момент $K_i\mathrm{.}$

Требуется оценить возможность физической реализации такого движения и исследовать динамику системы.

Уравнения движения. Лагранжиан системы имеет вид

$L\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{,}I\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2}j\left({\dot{\chi }}_1^2+{\dot{\chi }}_2^2\right)+j\left(\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{,}{\text{n}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\dot{\chi }}_1+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{,}{\text{n}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\dot{\chi }}_2\right)\mathrm{.}$

Уравнения движения с неопределенными множителями для твердого тела строятся аналогично уравнениям движения в [17]:

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \omega }\right)\frac{\partial L}{\partial \omega }\times \omega +\frac{\partial L}{\partial \gamma }\times \gamma +\frac{R}{r}\left({\mu }_1\frac{{\text{s}}_1}{{\text{s}}_1\mathrm{,}{\text{n}}_1}+{\mu }_2\frac{{\text{s}}_2}{{\text{s}}_2\mathrm{,}{\text{n}}_2}\right)\mathrm{,}\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{\chi }}_1}\right)\frac{\partial L}{\partial {\chi }_1}+{\mu }_1+K_1\mathrm{,}\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{\chi }}_2}\right)\frac{\partial L}{\partial {\chi }_2}+{\mu }_2+K_2\mathrm{,}\\ \dot{\gamma }\gamma \times \omega \mathrm{,}\end{array}$  (1.3)

где $\gamma$ $—$ единичный вектор абсолютного пространства, направленный вдоль силы тяжести, ${\mu }_1\mathrm{,}{\mu }_2$ $—$ неопределенные множители, задающие реакцию неголономных связей, $K_1\mathrm{,}{K}_2$ $—$ моменты сил, приложенных к осям омниколес. Так как центр масс твердого тела совпадает с центром системы координат $O{x}_1{x}_2{x}_3\mathrm{,}$ то, отбросив последнее векторное уравнение (1.3), можно перейти к исследованию системы

$\begin{array}{cccc}J\dot{\omega }\mathrm{<mo>=</mo>}J\omega \times \omega +\text{Q}& & & \\ j{\ddot{\chi }}_1+j{\dot{\omega }}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_1+K_1\mathrm{,}& & & \\ j{\ddot{\chi }}_2+j{\dot{\omega }}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_2+K_2\mathrm{,}& & & \end{array}$ (1.4)

 где $J\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{ccc}{I}_{11}& 0& 0\\ 0& I_{22}& I_{23}\\ 0& I_{23}& I_{33}-\frac{2jR}{r}\end{array}\right)\text{}\mathrm{,}$ $\text{Q}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{R}{r}\left(\begin{array}{c}\sin \phi \mathrm{ctg}\xi \left({\mu }_1-{\mu }_2\right)\\ -\cos \phi \mathrm{ctg}\xi \left({\mu }_1-{\mu }_2\right)\\ {\mu }_1+{\mu }_2\end{array}\right)\mathrm{.}$

Неопределенные множители определяем из совместного решения уравнений движения и производных по времени от уравнений (1.1), а моменты сил, приложенные к осям, находим из уравнения, являющегося производной по времени от искусственной связи (1.22). Неопределенные множители ${\mu }_1\mathrm{,}{\mu }_2$ как функции от $K_1$ и $K_2$ определяются единственным образом, а вот моменты $K_1\mathrm{,}{K}_2$ определяются уже не единственным образом, так как одного уравнения (1.2) недостаточно. Таким образом, накладывая дополнительное условие на моменты или на систему, можно получить систему с самой разнообразной динамикой.

Потребуем, чтобы $Q_1\mathrm{<mo>=</mo>}{Q}_2\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ то есть ${\mu }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_2\mathrm{.}$ Тогда управляющие крутящие моменты на омниколесах примут вид:

$K_{\mathrm{1,2}}\mathrm{<mo>=</mo>}\mp \frac{jR\mathrm{ctg}\xi \cos \phi }{r{I}_{22}}\left[\left(I_{11}-I_{33}\right)f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\omega }_1+I_{23}\left(\dot{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\omega }_1{\omega }_2\right)\right]$

$\mp \frac{jR\mathrm{ctg}\xi \sin \phi }{r{I}_{11}}\left[\left(I_{22}-I_{33}\right)f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\omega }_2+I_{23}\left(f{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-{\omega }_2^2\right)\right]$

$-\frac{r}{2R{I}_{22}}\left[\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{I}_{22}-I_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\omega }_1\left(I_{22}{\omega }_2+I_{23}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+I_{23}{\omega }_1\left(I_{23}{\omega }_2+I_{33}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\right]$

$-\frac{1}{2I_{22}}\left[2I_{22}j\left(\frac{R}{r}-1\right)+\frac{r\left(I_{22}{I}_{33}-I_{23}^2\right)}{R}\right]\dot{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Тогда система (1.4) и задача в целом сводится к исследованию системы для двух компонент угловой скорости ${\omega }_1$ и ${\omega }_2\mathrm{<mo>:</mo>}$ 

$\begin{array}{c}{\dot{\omega }}_1-\frac{I_{23}}{I_{11}}{\omega }_2^2+\frac{I_{22}-{\tilde{I}}_{33}}{I_{11}}ft{\omega }_2+\frac{I_{23}}{I_{11}}f{t}^2\mathrm{,}\\ {\dot{\omega }}_2\frac{I_{23}}{I_{22}}{\omega }_1{\omega }_2-\frac{I_{11}-{\tilde{I}}_{33}}{I_{22}}ft{\omega }_1-\frac{I_{23}}{I_{22}}\dot{f}t\end{array}$  (1.5)

где ${\tilde{I}}_{33}\mathrm{<mo>=</mo>}{I}_{33}-2j\frac{R}{r}\mathrm{.}$

В случае $\phi \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi k}{2}\mathrm{,}$ $k\in \mathbb{Z}$ или $\xi \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi }{2}$ аналогичная система получится, если в качестве дополнительного условия выбрать равенство управляющих крутящих моментов на колесах, то есть $K_1\mathrm{<mo>=</mo>}{K}_2\mathrm{.}$

Управляющие крутящие моменты зависят от значений угловых скоростей ${\omega }_1\mathrm{,}{\omega }_2\mathrm{.}$ При неограниченном поведении хотя бы одной из компонент управляющие крутящие моменты также будут неограничены, что сделает невозможной физическую реализацию задачи, начиная с некоторого момента времени.

При $I_{23}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ для фазовых переменных системы имеет место первый интеграл

$\frac{I_{11}-{\tilde{I}}_{33}}{I_{22}}{\omega }_1^2+\frac{I_{22}-{\tilde{I}}_{33}}{I_{11}}{\omega }_2^2\mathrm{<mo>=</mo>}\text{const}\mathrm{,}$

и решение может быть найдено явным интегрированием. При

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{I}_{11}-{\tilde{I}}_{33}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{I}_{22}-{\tilde{I}}_{33}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$

обе фазовые переменные являются ограниченными функциями. Физическая реализация возможна. В противном случае динамика системы зависит от вида функции $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Перейдем к исследованию поведения системы в случае $I_{23}\ne 0.$

2. Исследование динамики системы при $I_{23}\ne 0$

Введем замену

$\begin{array}{cccc}{\omega }_1\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{I_{22}}{I_{23}}v\mathrm{,}& & & \\ {\omega }_2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{I_{11}-{\tilde{I}}_{33}}{I_{23}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{\sqrt{I_{11}{I}_{22}}}{I_{23}}u\mathrm{.}& & & \end{array}$

В новых переменных система (1.5) принимает вид

$\begin{array}{c}\dot{v}{u}^2+aftu+bf{t}^2\mathrm{,}\\ \dot{u}-uv-c\dot{f}t\end{array}$ (2.1)

где

$a\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\left(I_{11}-I_{22}\right)+\left(I_{11}-{\tilde{I}}_{33}\right)}{\sqrt{I_{11}{I}_{22}}}\mathrm{,}b\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\left(I_{11}-I_{22}\right)\left(I_{11}-{\tilde{I}}_{33}\right)-I_{23}^2}{I_{11}{I}_{22}}\mathrm{,}c\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{I_{22}\left(I_{11}-{\tilde{I}}_{33}\right)+I_{23}^2}{I_{22}\sqrt{I_{11}{I}_{22}}}\mathrm{.}$

Фазовое пространство системы (2.1) двумерно.

Преобразование Пуанкаре и неограниченность фазовых траекторий. Введем угловую переменную $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t\mathrm{mod}T\mathrm{,}$ где $T$ $—$ наименьший общий период функций $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $f{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{,}$ $\dot{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ и перепишем систему (2.1) в автономном виде

$\begin{array}{c}\frac{dv}{dt}{u}^2+af\tau u+bf{\tau }^2\mathrm{,}\\ \frac{du}{dt}-uv-c\frac{df\tau }{d\tau }\mathrm{,}\\ \frac{d\tau }{dt}\end{array}$ (2.2)

Считаем, что $v\mathrm{<mo>></mo>0.}$ Используем преобразование Пуанкаре, которое переводит бесконечно удаленные точки фазовой плоскости в неподвижные точки сферы Пуанкаре [11],

$v\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{x}\mathrm{,}u\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{y}{x}\mathrm{,}$

масштабируем время $ds\mathrm{<mo>=</mo>}vdt$ и переписываем систему (2.2) в переменных $x\mathrm{,}y\mathrm{<mo>:</mo>}$ 

$\begin{array}{c}\frac{dx}{ds}-x{y}^2-af\tau x^{2}y-bf{\tau }^2{x}^3\mathrm{,}\\ \frac{dy}{ds}-y-c\frac{df\tau }{d\tau }{x}^2-y^3-af\tau x{y}^2-bf{\tau }^2{x}^{2}y\mathrm{,}\\ \frac{d\tau }{ds}x\mathrm{.}\end{array}$  (2.3)

Фазовое пространство системы (2.3) уже трехмерно. Эта система обладает семейством неподвижных точек

$x\mathrm{<mo>=</mo>0,}y\mathrm{<mo>=</mo>0,}\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tau }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}$ (2.4)

где ${\tau }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ $—$ любое из области определения. Для анализа их устойчивости определяем собственные числа матрицы системы, линеаризованной в окрестности (2.4). Одно из собственных чисел матрицы линеаризованной системы равно $-\mathrm{1,}$ а другие собственные числа равны нулю. Таким образом, требуется учет членов разложения более высоких порядков.

Согласно [14, 18] в окрестности неподвижной точки (2.4) существует центральное инвариантное многообразие, на котором $\mathrm{0<mo><</mo>}x\mathrm{<mo><</mo>}\epsilon \mathrm{,}$ $\tau \mathrm{mod}T\mathrm{,}$ а функция $y$ представима в виде ряда по степеням $x\mathrm{<mo>:</mo>}$ 

$y\mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}^2+{\beta }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}^3+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (2.5)

Подставляя (2.5) во второе уравнение (2.3), получим

$y\mathrm{<mo>=</mo>}-c\frac{df\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d\tau }{x}^2+c\frac{d^{2}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d{\tau }^2}{x}^3+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (2.6)

Подставляя (2.6) в первое уравнение (2.3), получим                                                                       

$\begin{array}{c}\frac{dx}{ds}{\alpha }_3\tau x^3+{\alpha }_4\tau x^4+{\alpha }_5\tau x^5+O{x}^6\\ {\alpha }_3\tau -b\cdot f{\tau }^2\mathrm{,}\\ {\alpha }_4\tau a\cdot c\cdot f\tau \cdot \frac{df\tau }{d\tau }\mathrm{,}\\ {\alpha }_5\tau -c^2{\left(\frac{df\tau }{d\tau }\right)}^2-a\cdot c\cdot f\tau \cdot \frac{d^{2}f\tau }{d{\tau }^2}\mathrm{.}\end{array}$  (2.7)

Пусть $x\ll 1.$ Разделим уравнение (2.7) на третье уравнение (2.3):

$\frac{dx}{d\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}^2+{\alpha }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}^3+{\alpha }_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}^4+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^5\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

и выполним преобразование для усреднения коэффициентов:

$\frac{dx}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}⟨{\alpha }_3⟩x^2+⟨{\alpha }_4⟩x^3+⟨{\alpha }_5⟩x^4+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^5\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где

$⟨{\alpha }_i⟩\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T}{\alpha }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{.}$

Согласно [18], если $b\mathrm{<mo>></mo>0,}$ то $⟨{\alpha }_3⟩\mathrm{<mo><</mo>0}$ и точки (2.4) асимптотически устойчивы. Если $b\mathrm{<mo><</mo>0,}$ то $⟨{\alpha }_3⟩\mathrm{<mo>></mo>0}$ и точки (2.4) неустойчивы.

Пусть $b\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ Так как $I_{23}\ne \mathrm{0,}$ то $c\ne 0.$ Тогда

$\begin{array}{cccc}⟨{\alpha }_3⟩\mathrm{<mo>=</mo>0,}⟨{\alpha }_4⟩\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{T}\cdot a\cdot c{\displaystyle {\int }_0^T}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}df\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}& & & \end{array}$

Перепишем ${\alpha }_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в виде

${\alpha }_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\left(c^2-a\cdot c\right){\left(\frac{df\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d\tau }\right)}^2-a\cdot c\cdot \frac{d}{d\tau }\left(f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{df\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d\tau }\right)\mathrm{.}$

Так как $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\frac{df\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d\tau }$ являются $T$ -периодическими функциями, то

${\displaystyle {\int }_0^T}d\left(f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{df\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d\tau }\right)\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Легко проверить, что если $b\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ то $c^2-a\cdot c\mathrm{<mo><</mo>0.}$ Если $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ не постоянная функция, то $⟨{\alpha }_5⟩\mathrm{<mo>></mo>0.}$ Это значит, что, согласно [18], точки (2.4) неустойчивы при $b\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

В случае $b\mathrm{<mo>></mo>0}$ имеем на центральном инвариантном многообразии следующие асимптотики для $x\mathrm{,}y$ при $t\to +\infty \mathrm{<mo>:</mo>}$ 

$\begin{array}{cccc}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\left(b⟨f^2⟩t\right)}^{-1}+o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}& & & \\ y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-c\dot{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left(b⟨f^2⟩t\right)}^{-2}+o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}& & & \end{array}$

где

$⟨f^2⟩\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T}f{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2}dt\mathrm{.}$

Возвращаясь к переменным $v\mathrm{,}u\mathrm{,}$ можно сделать следующий вывод без строгих математических доказательств.

Существует $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ такое, что для начального условия $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>}{\epsilon }^{-1}$ и $b\mathrm{<mo>></mo>0}$ имеют место следующие асимптотики фазовых переменных системы (2.1) при $t\to +\infty \mathrm{<mo>:</mo>}$ 

$\begin{array}{cccc}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}b⟨f^2⟩t+o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}& & & \\ u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-c\dot{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b⟨f^2⟩t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}+o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}& & & \end{array}$

Перейдем к исходным переменным ${\omega }_1\mathrm{,}{\omega }_2$ и сформулируем следующее утверждение.

Предложение 2.1. Существует $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ такое, что для начального значения ${\omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ удовлетворяющего условию $-I_{23}{I}_{22}^{-1}{\omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>}{\epsilon }^{-1}\mathrm{<mo>></mo>0,}$ и для параметров системы (1.5), удовлетворяющих условию

$\frac{\left(I_{11}-I_{22}\right)\left(I_{11}-{\tilde{I}}_{33}\right)-I_{23}^2}{I_{11}{I}_{22}}\mathrm{<mo>></mo>0,}$

имеют место следующие асимптотики фазовых переменных системы (1.5) при $t\text{}\to \text{}+\infty \text{}\mathrm{<mo>:</mo>}$ 

${\omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{\left(I_{11}-I_{22}\right)\left(I_{11}-{\tilde{I}}_{33}\right)-I_{23}^2}{I_{11}{I}_{23}}⟨f^2⟩t+o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\omega }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sim \frac{I_{11}-{\tilde{I}}_{33}}{I_{23}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

причем

• если $I_{23}\mathrm{<mo>></mo>0,}$ то ${\omega }_1\to -\infty$ при $t\to +\infty \mathrm{<mo>;</mo>}$
• если $I_{23}\mathrm{<mo><</mo>0,}$ то ${\omega }_1\to +\infty$ при $t\to +\infty \mathrm{.}$ 

3. Численные эксперименты

Проиллюстрируем аналитические результаты для случая

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sin t\mathrm{,}$

используя методы численного интегрирования.

На рис. 3 изображены отображения за период (сечение Пуанкаре) для системы (1.5) с заданным тензором инерции

$J\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{ccc}1.5& 0& 0\\ 0& 1.3& I_{23}\\ 0& I_{23}& 1.8\end{array}\right)\mathrm{.}$ (3.1)

Рис. 3. Отображения за период системы (1.5) с тензором инерции (3.1)

Эти отображения соответствуют случаю $b\mathrm{<mo><</mo>0.}$

На рис. 4 изображены отображения за период (сечение Пуанкаре) для системы (1.5) с заданным тензором инерции

$J\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{ccc}1.3& 0& 0\\ 0& 1.5& I_{23}\\ 0& I_{23}& 1.8\end{array}\right)\mathrm{.}$ (3.2)

Рис. 4. Отображения за период системы (1.5) с тензором инерции (3.2)

Рис. 4 (a) и (b) соответствуют случаю $b\mathrm{<mo>></mo>0.}$ Области начальных условий системы (1.5) разделяются на две подобласти (рис. 5). Если начальные условия относятся к внешней подобласти, фазовая кривая не ограничена и убегает в «бесконечность». Если начальные условия относятся к внутренней подобласти, фазовая кривая ограничена.

Рис. 5. Разделение области начальных условий

Рис. 4 (c) соответствует случаю $b\mathrm{<mo><</mo>0}$ и содержит странный аттрактор с показателями Ляпунова

${\lambda }_1\approx \mathrm{0.073,}{\lambda }_2\mathrm{<mo>=</mo>0,}{\lambda }_3\approx -\mathrm{0.106.}$

Старший показатель Ляпунова положителен, а сумма показателей Ляпунова отрицательна. Это подтверждает, что на рис. 4 (c) изображен странный аттрактор.

На рис. 6 представлена карта динамических режимов на плоскости параметров $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{I}_{23}\mathrm{,}\text{}{\tilde{I}}_{33}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ где параметры лежат в интервалах $I_{23}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0.7,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и ${\tilde{I}}_{33}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1.6,1.9<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Области черного цвета с цветными включениями соответствуют параметрам системы со странным аттрактором. Подтверждается сценарий Фейгенбаума о появлении странного аттрактора в результате каскада бифуркаций удвоения периода.

Рис. 6. Карта динамических режимов на плоскости $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{I}_{23}\mathrm{,}{\tilde{I}}_{33}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ 

4. Заключение

Результаты, полученные в данном исследовании аналитически, согласуются с результатами, полученными эмпирически в [7]. Найдены механические параметры твердого тела, для которых модуль угловой скорости тела (а следовательно, и модули угловых скоростей омниколес) будет неограниченно возрастать. Показано, что управляющие крутящие моменты на омниколесах могут быть заданы не единственным образом. Следовательно, задавая управляющие крутящие моменты на омниколесах другим образом, может быть получена система с абсолютно другой динамикой.