Фундаментальная оператор-функция интегро-дифференциального оператора с производными от функционалов в банаховых пространствах

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В работе рассматривается обобщенный интегро-дифференциальный оператор с производными от функционалов, который имеет в своей конструкции обратимый оператор в линейной части, свободной от производных. При исследовании используются ранее полученные результаты в области фундаментальных оператор-функций в банаховых пространствах, а также свойства обобщенных функций, операторов, функционалов. Для интегро-дифференциального оператора с производными от функционалов в банаховых пространствах получена фундаментальная оператор-функция в терминологии жордановых наборов и выявлены условия существования этой фундаментальной оператор-функции.

Полный текст

\\section*{Введение} Интерес к дифференциальным и интегро-дифференциальным уравнениям вызван задачами математической физики в областях гидродинамики, электротехники, физики плазмы и т.~п. Особенность таких задач заключается в том, что в главной части уравнения присутствует необратимый (вырожденный) оператор. Благодаря свойствам функции Дирака (функция $\\delta (t)$\\!) и функции Хевисайда\\linebreak (функция $\\theta (t)$\\!) дифференциальное (или интегро-дифференциальное) уравнение можно представить в виде свертки соответствующего уравнению обобщенного дифференциального оператора с неизвестной функцией. Например, дифференциальное уравнение $$B \\displaystyle \\frac{du}{dt} +A u=f,$$ где $u=u(t)$ --- неизвестная функция, а $f=f(t)$ --- известная функция, представимо в виде $$(B \\delta^{'} (t) +A \\delta (t)) \\ast u(t)=f(t).$$ Один из методов решения подобных уравнений заключается в применении развивающейся теории фундаментальных оператор-функций (см., например, \\cite{1,2,3}). Исследование фундаментальной оператор-функции для соответствующего уравнению оператора позволяет выявить условия существования как непрерывного, так и обобщенного решения исследуемого уравнения, а также восстановить само решение. В работе рассматривается обобщенный интегро-дифференциальный оператор с производными от функционалов вида \\begin{equation}\\label{eq:GEY1} L^{N}=\\sum_{l=1}^{s} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{l}\\right\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) -K(t) \\theta (t), \\end{equation} где $A$ --- замкнутый линейный оператор с плотной областью определения, действующий из банахова пространства $E_{1}$ в банахово пространство $E_{2};$ $a_{l},$ $l=\\overline{1,s}, $ --- элементы пространства $E_{2};$ $\\alpha_{l},$ $l=\\overline{1,s},$ --- элементы банахова пространства $E_{1}^{*};$ $f(t)$ --- достаточно гладкая функция со значениями в $E_{2};$ $K(t)$ --- замкнутый линейный оператор, действующий из $E_{1}$ в $E_{2},$ причем $\\overline{D(K)}= E_{1},$ $D(K)$ не зависит от $t$ и $K(t)$ --- сильно непрерывная на $D(K)$ достаточно гладкая функция; $\\delta (t)$ --- функция Дирака; $\\theta (t)$ --- функция Хевисайда. Этот оператор соответствует интегро-дифференциальному уравнению с производными от функционалов вида $$\\sum_{l=1}^{s} \\left\\langle u^{(N)} (t) , \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} = A u(t) + \\int_{0}^{t} K(t-\\tau ) u(\\tau ) d \\tau + f(t).$$ \\pagebreak % Перед командой \\section{.....} \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Вспомогательные сведения и обозначения}\\label{sec1} \\begin{Definition}\\label{def1.1}\\cite{1} Обобщенной функцией (распределением) со значениями в банаховом пространстве $Е$ называют всякий линейный непрерывный функционал на основном пространстве $K (R^{N};E^{*}).$ \\end{Definition} При этом множество всех обобщенных функций, определенных на основном пространстве обозначают через $K'(E).$ \\begin{Definition}\\label{def1.2}\\cite{2} Действием оператор-функции $K(t) \\in L(E_{1}, E_{2}),$ здесь $ L(E_{1}, E_{2})$ --- пространство сильно непрерывных оператор-функций класса $C^{\\infty},$ на обобщенную функцию $v(t) \\in K' (E_{1}),$ называют обобщенную функцию $K(t) v(t) \\in K' (E_{2}),$ действующую на основные функции $s(t) \\in K(E_{2}^{*}) $ по правилу $$(K(t) v(t), s(t))=(v(t),K^*(t)s(t)).$$ \\end{Definition} \\begin{Definition}\\label{def1.3}\\cite{2} Сверткой обобщенной оператор-функции $K(t) f(t)$ и обобщенной функции $v(t) \\in K_{+}^{'} (E_{1})$ называют обобщенную функцию $K(t) f(t) \\ast v(t) \\in K_{+}^{'} (E_{2}),$ действующую по формуле \\begin{equation*} (K(t) f(t) \\ast v(t) , s(t))= (f(t), (K^{*} (t)s(t+ y))), \\,\\,\\,\\forall s(t) \\in K(E_{2}^{*}). \\end{equation*} \\end{Definition} \\begin{Remark}\\label{zam1.1} $K(t) \\theta (t) \\ast b(t) \\theta (t) = (K(t) \\ast b(t)) \\theta (t).$ \\end{Remark} \\proof Действительно, используя определение свертки, получим \\begin{equation*} (K(t) \\theta (t) \\ast b(t) \\theta (t), \\varphi (t))= (K(t) \\theta (t),(b(y) \\theta (y),\\varphi (t+y)))= \\end{equation*} \\begin{equation*} =(K(t) \\theta (t), \\int_{0}^{\\infty} b(y) \\varphi (t+y) dy)=(K(t) \\theta (t), \\int_{0}^{\\infty} b(x-t) \\varphi (x) dx)= \\end{equation*} \\begin{equation*} =\\int_{0}^{\\infty} K(t) \\left( \\int_{t}^{\\infty} b(x-t) \\varphi (x) dx \\right) dt= \\int_{0}^{\\infty} \\left( \\int_{0}^{x} K(t) b(x-t) dt \\right) \\varphi (x) dx= \\end{equation*} \\begin{equation*} =\\int_{0}^{\\infty} (K(x) \\ast b(x)) \\varphi (x) dx= (\\theta (x),(K(x) \\ast b(x)) \\varphi (x)) = \\end{equation*} \\begin{equation*} = ((K(x) \\ast b(x)) \\theta (x), \\varphi (x)) = ((K(t) \\ast b(t)) \\theta (t), \\varphi (t)). \\end{equation*}\\hfill $\\square$ %Замечание доказано. \\begin{Remark}\\label{zam1.2} Пусть $K(t) \\in C^{k} (E).$ Тогда дифференцирование оператор-функции $K(t) \\theta (t)$ происходит по правилу \\begin{equation*} (K(t) \\theta (t))^{(k)}= K^{(k)} (t) \\theta (t) + \\sum_{m=0}^{k-1} K^{(m)} (0) \\delta^{(k-m)} (t). \\end{equation*} \\end{Remark} \\proof Действительно, если $a(t) \\in C^{'} (E)$ и $\\theta (t)$ --- функция Хевисайда, то производная произведения $a(t) \\theta (t)$ находится по формуле (см., например,~\\cite{2}) $(a(t) \\theta (t))^{'} = a^{'} (t) \\theta (t) +a(0) \\delta (t).$ Тогда для произведения $K(t) \\theta (t)$ справедлива следующая цепочка равенств: \\begin{equation*} (K(t) \\theta (t))^{'} = K^{'} (t) \\theta (t) +K(0) \\delta (t), \\end{equation*} \\begin{gather*} (K(t) \\theta (t))^{''}= (K^{'} (t) \\theta (t) +K(0) \\delta (t))^{'}= K^{''} (t) \\theta (t) +K^{'} (0) \\delta (t) +K(0) \\delta^{'} (t)= \\qquad{ \\ \\ \\ \\ \\ }\\\\ \\qquad{ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ } = K^{''} (t) \\theta (t) +\\sum_{m}^{1} K^{(m)} (0) \\delta^{(1-m)}, \\\\ (K(t) \\theta (t))^{(3)}= (K^{''} (t) \\theta (t) +K^{'} (0) \\delta (t) +K(0) \\delta^{'} (t))^{'}=\\qquad{ \\ \\ \\ }\\qquad{ \\ \\ \\ }\\qquad{ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ \\ \\ \\ } \\\\ =K^{(3)} (t) \\theta (t) +K^{''} (0) \\delta (t) +K^{'}(0) \\delta^{'} (t) + K(0) \\delta ^{''}= K^{(3)} (t) \\theta (t) +\\sum_{m}^{2} K^{(m)} (0) \\delta^{(2-m)}, \\end{gather*} и т.~д. По индукции получим \\begin{equation*} (K(t) \\theta (t))^{(k)}= K^{(k)} (t) \\theta (t) + \\sum_{m=0}^{k-1} K^{(m)} (0) \\delta^{(k-m)} (t). \\end{equation*}\\hfill$\\square$ %Замечание доказано. \\begin{Remark}\\label{zam1.3} $(U(\\Gamma t))^{(N)} = \\Gamma U(\\Gamma t).$ \\end{Remark} \\proof Так как $U( \\Gamma t)= \\displaystyle\\sum\\limits_{q=1}^{\\infty} \\Gamma \\displaystyle\\frac{t^{qN-1}}{(qN-1)!},$ получим \\begin{gather*} (U( \\Gamma t))^{(N)}= %% \\left( \\sum_{q=1}^{\\infty} \\Gamma \\frac{t^{qN-1}}{(qN-1)!} \\right) ^{(N)}= \\left( I \\frac{t^{N-1}}{(N-1)!} +\\Gamma \\frac{t^{2N-1}}{(2N-1)!} + \\Gamma^{2} \\frac{t^{3N-1}}{(3N-1)!} + \\cdots \\right)^{(N)}= \\\\ =\\left( I \\frac{t^{N-2}}{(N-2)!} +\\Gamma \\frac{t^{2N-2}}{(2N-2)!} + \\Gamma^{2} \\frac{t^{3N-2}}{(3N-2)!} + \\cdots \\right)^{(N-1)}= \\\\ =\\left( I \\frac{t^{N-3}}{(N-3)!} +\\Gamma \\frac{t^{2N-3}}{(2N-3)!} + \\Gamma^{2} \\frac{t^{3N-3}}{(3N-3)!} + \\cdots \\right)^{(N-2)}= \\cdots = \\\\ =\\left( I +\\Gamma \\frac{t^{N}}{(N)!} + \\Gamma^{2} \\frac{t^{2N}}{(2N)!} + \\cdots \\right)^{'}= \\\\ =\\left( \\Gamma \\frac{t^{N-1}}{(N-1)!} + \\Gamma^{2} \\frac{t^{2N-1}}{(2N-1)!} + \\cdots \\right)= \\Gamma \\sum_{q=1}^{\\infty} \\frac{t^{qN-1}}{(qN-1)!}=\\Gamma U(\\Gamma t). \\end{gather*}\\hfill$\\square$ %Замечание доказано. \\begin{Definition}\\label{def1.4}~\\cite{2} Фундаментальной оператор-функцией оператора $L$ на классе $K_{+}^{'}$ называют обобщенную оператор-функцию $E(t),$ удовлетворяющую равенствам \\begin{equation*} L \\ast E(t) \\ast u(t) =u(t),\\,\\,\\, \\forall u(t) \\in K_{+}^{'} (E_{2}), \\end{equation*} \\begin{equation*} E(t) \\ast L \\ast w(t) =w(t),\\,\\,\\, \\forall w(t) \\in K_{+}^{'} (E_{1}). \\end{equation*} где $K_{+}^{'} (E)$ --- пространство обобщенных функций со значениями в банаховом пространстве $Е$ с ограниченным слева носителем. \\end{Definition} \\newpage Пусть 1) оператор $B$ --- это матрица размерности $(n\\times n)$ вида $$ B= \\left( \\begin{array}{ccc} \\left\\langle A^{-1} a_{1}, \\alpha _{1} \\right\\rangle & \\ldots & \\left\\langle A^{-1} a_{n}, \\alpha _{1} \\right\\rangle\\\\ \\\\ \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ \\\\ \\left\\langle A^{-1} a_{1}, \\alpha _{n} \\right\\rangle & \\ldots & \\left\\langle A^{-1} a_{n}, \\alpha _{n} \\right\\rangle\\\\ \\end{array}\\right) ; $$ 2) тождественный оператор $I$ --- единичная матрица размерности $n\\times n;$ 3) набор $\\{ \\varphi_{i} , i= \\overline {1,n} \\}$ --- базис пространство нулей оператора $B;$ $\\varphi_{i} \\in E_{1};$ 4) набор $\\{ \\psi_{i} , i= \\overline {1,n} \\}$ --- базис пространства нулей оператора $B^{*};$ $\\psi_{i} \\in E_{2};$ 5) элементы $\\{ \\varphi_{i}^{(j)} , i= \\overline {1,n} , \\,\\,\\, j= \\overline {1,p_{i}} \\}$ --- полный $I$-жорданов набор оператора $B;$ 6) элементы $\\{ \\psi_{i}^{(j)},$\\!$i=\\overline {1,n},$\\!$j=\\overline{1,p_{i}} \\}$ --- полный $I^{*}$- жорданов набор оператора~$B^{*};$ 7) операторы $I^{*}$ и $B^{*}$ --- сопряженные операторы для операторов $I$ и $B$ соответственно; 8) оператор Треногина--Шмидта $\\Gamma$ для оператора $B$ --- матрица, определяемая по формуле \\begin{equation*} \\Gamma=\\left( B+ \\sum_{i=1}^{n} \\left\\langle \\bullet, \\gamma _{i} \\right\\rangle z_{i} \\right) ^{-1}, \\end{equation*} где $\\gamma_{i} \\in E_{1}^{*},$ $i=\\overline{1,n},$ $z_{i} \\in E_{2},$ $i=\\overline{1,n}$ --- биортогональные системы элементов для $\\varphi_{i}$ и $\\psi_{i}$ соответственно~\\cite{4}; 9) оператор $\\tilde{Q}$ --- матрица размерности $(n\\times n),$ у которой элементы $\\tilde{Q}_{pq},$ $p= \\overline {1,n},$ $q= \\overline {1,n},$ находятся по формуле \\begin{equation*} \\tilde{Q}_{pq} = \\left\\{ \\begin{array}{cc} 0, & \\textrm{}p\\neq q,\\\\ \\underset{i=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\,\\, \\underset{j=1}{\\overset{p_{i}}{\\sum}} \\left\\langle \\bullet, \\psi_{i}^{(j)} \\right\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}+1-j)}, & p=q;\\\\ \\end{array} \\right. \\end{equation*} 10) оператор-функция $\\Gamma e^{\\Gamma t}$ определяется по формуле \\begin{equation*} \\Gamma e^{\\Gamma t}= \\Gamma \\sum _{q=1}^{\\infty} \\Gamma \\frac{t^{q-1}}{(q-1)!}. \\end{equation*} Введем в рассмотрение оператор-функции \\begin{multline} H(t)= A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} (K(t) \\ast b_{l}(t)) \\theta (t) a_{l} + A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} K(t) \\theta (t) a_{l} - \\\\- A^{-1} K(t) \\theta (t) - A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} f_{l} K^{(k+1)} (t) \\theta (t) a_{l}\\qquad{\\ \\ \\ } \\label{eq:GEY2} \\end{multline} и \\begin{multline} \\tilde{H}(t)= A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} ( b_{l}(t))\\ast K(t) \\theta (t) a_{l} +A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} K(t) \\theta (t) a_{l}- \\\\ - A^{-1} K(t) \\theta (t) - A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} f_{l} K^{(k+1)} (t) \\theta (t) a_{l}, \\qquad{\\ \\ \\ } \\label{eq:GEY3} \\end{multline} где $b_{l}$ --- элементы вектор-столбца $\\vec{b}(t)= \\Gamma^{2} e^{\\Gamma t} (I- \\tilde{Q}) \\vec{d};$ \\, $h_{l} $ --- элементы вектор-стол\\-б\\-ца $\\vec{h}=\\Gamma (I- \\tilde{Q}) \\vec{d} ;$ \\, $f_{l}= \\underset{i=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\underset{k=0}{\\overset{p_{i}-1}{\\sum}} \\Big( \\underset{j=1}{\\overset{\\,p_{i}-k}{\\sum}} \\big\\langle \\bullet ,\\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{p_{i}-k+1-j} \\Big) d_{l},$ --- элементы вектор-столбца~$\\vec{f};$ \\, $d_{l}= \\left\\langle A^{-1} \\bullet, \\alpha_{l} \\right\\rangle,$ --- элементы вектор-столбца $\\vec{d};$ \\, $l= \\overline{1,n}.$ Также введем резольвенты $R(t)$ и $\\tilde{R} (t),$ для которых оператор-функции \\eqref{eq:GEY2} и \\eqref{eq:GEY3} являются ядрами соответственно. % Перед командой \\section{.....} \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Фундаментальная оператор-функция интегро-дифференциального оператора с производными первого порядка от функционалов}\\label{sec2} %\\null Пусть $K(t) \\equiv 0,$ $N=1.$ Тогда оператор \\eqref{eq:GEY1} примет вид \\begin{equation*} \\sum_{l=1}^{n} \\left\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t). \\end{equation*} Фундаментальной оператор-функцией этого оператора при обратимости оператора $A$ является оператор-функция вида~(см. \\cite[с.~78]{3}) \\begin{equation*} M(t)= A^{-1} \\sum_{i=1}^{n} c_{i}^{'} (t) a_{i} -A^{-1} \\delta (t), \\end{equation*} где $c_{i} (t),$ $i= \\overline{1,n}$ --- элементы обобщенной вектор-функции $\\vec{c}(t) = U_{1} (t) \\ast \\vec{g} (t),$ $$U_{1} (t)= \\Gamma e^{\\Gamma t} (I- \\tilde{Q}) \\theta (t) - \\underset{i=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\underset{k=0}{\\overset{p_{i} -1}{\\sum}} \\underset{j=1}{\\overset{p_{i}-k}{\\sum}} \\left\\langle \\bullet , \\psi_{i}^{j} \\right\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}-k+1-j)} \\delta^{(k)} (t), \\ \\ \\vec{g} (t) = \\left( \\begin{array}{c} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{1} \\right\\rangle \\\\ \\cdots \\\\ \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{n} \\right\\rangle \\end{array} \\right) A^{-1}\\delta (t), $$ операторы $\\Gamma, B, \\tilde{Q},$ а также наборы $\\left\\lbrace\\varphi_{i}^{(j)}, \\, i= \\overline{1,n}, \\, j=\\overline{1,p_{i}}\\right\\rbrace,$\\! $\\left\\lbrace \\psi_{i}^{(j)}, \\, i= \\overline{1,n} , \\, j=\\overline{1,p_{i}} \\right\\rbrace $ описаны выше (пункт \\ref{sec1}). Учитывая введенные обозначения, оператор-функция $M(t)$ записывается в виде \\begin{equation*} M(t)= A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} b_{l} (t) \\theta (t) a_{l} +A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} \\delta (t) a_{l} - A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} f_{l} \\delta^{(k+1)} (t) - A^{-1} \\delta (t). \\end{equation*} \\begin{Lemma}\\label{l2.1} Пусть функция $K(t)$ удовлетворяет условиям \\begin{equation} \\label{uct} K^{(m)}(0)=0, \\ \\ m=0,1,\\ldots,p, \\ \\ p=\\underset{i=\\overline{1,n}}{max}(p_{i}). \\end{equation} Тогда оператор-функция $H(t)$ вида \\eqref{eq:GEY2} может быть представлена в виде \\begin{equation*} H(t)=K(t) \\theta (t) \\ast M(t). \\end{equation*} \\end{Lemma} \\proof Поскольку функция $K(t)$ удовлетворяет условиям \\eqref{uct}, для оператор-функции $H(t)$ вида \\eqref{eq:GEY3} справедлива следующая цепочка равенств: \\begin{gather*} A^{-1}\\! \\sum_{l=1}^{n} (K(t) \\ast b_{l}(t)) \\theta (t) a_{l}\\! + A^{-1}\\! \\sum_{l=1}^{n} h_{l} K(t) \\theta (t) a_{l}\\! - A^{\\!-1} K(t) \\theta (t)\\!- A^{-1}\\! \\sum _{l=1}^{n} f_{l} K^{(k+1)} \\theta (t) a_{l}\\! = \\end{gather*} \\begin{gather*} =A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} (K(t) \\theta (t)) \\ast (b_{l}(t) \\theta (t)) a_{l} +A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} (K(t) \\theta (t)) \\ast \\delta (t) a_{l} - \\\\ - A^{-1} (K(t) \\theta (t)) \\ast \\delta (t) - A^{-1} \\sum _{l=1}^{n} f_{l} \\left( K^{(k+1)} \\theta (t) + \\sum_{m=0}^{k} K^{(m)} (0) \\delta^{(k-m)} (t) \\right) a_{l}. \\end{gather*} А, согласно свойству дифференцирования произведения непрерывной функции с функцией Хевисайда (см. замечания \\ref{zam1.1}, \\ref{zam1.2}), получившееся представление оператор-функ\\-ции $H(t)$ можно записать в виде \\begin{multline*} K(t) \\theta (t) \\ast \\left( A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} b_{l}(t) \\theta (t) a_{l} +A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} \\delta (t) a_{l} - A^{-1} \\delta (t) - A^{-1} \\sum _{l=1}^{n} f_{l} \\delta^{(k+1)} (t)) a_{l} \\right) = \\\\ = K(t) \\theta (t) \\ast M(t). \\end{multline*} Таким образом, действительно $H(t)= K(t) \\theta (t) \\ast M(t).$ \\hfill$\\square$ %Лемма 1 доказана. \\begin{Lemma}\\label{l2.2} Пусть функция $K(t)$ удовлетворяет условиям \\eqref{uct}. Тогда оператор-функция $\\tilde{H}(t)$ вида \\eqref{eq:GEY3} может быть представлена в виде \\begin{equation*} \\tilde{H}(t)=M(t) \\ast K(t) \\theta (t). \\end{equation*} \\end{Lemma} \\proof Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы \\ref{l2.1}. \\hfill$\\square$ \\begin{Theorem}\\label{t2.1} Пусть функция $K(t)$ удовлетворяет условиям \\eqref{uct}. Тогда интегро-диф\\-фе\\-рен\\-циальный оператор вида $$\\sum_{l=1}^{n} \\left\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t)-K(t) \\theta (t)$$ на классе $K_{+}^{'}$ имеет фундаментальную оператор-функцию вида \\begin{equation*} E(t)=M(t)\\ast (R(t)+I\\delta(t))=(\\tilde{R}(t)+I\\delta(t))\\ast M(t), \\end{equation*} где $M(t)$ --- фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора $$\\underset{l=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{l}\\right\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t), $$ $R(t)$ --- резольвента ядра $H(t)$ вида \\eqref{eq:GEY2}, $\\tilde{R} (t)$ --- резольвента ядра $\\tilde{H} (t)$ вида \\eqref{eq:GEY3}. \\end{Theorem} \\proof Учитывая введенные обозначения и вид ин\\-те\\-г\\-ро-диф\\-фе\\-рен\\-ци\\-аль\\-но\\-го оператора $L,$ для свертки $L\\ast E(t)$ при {${E(t)=M(t)\\ast (R(t)+I\\delta(t)),}$} согласно лемме \\ref{l2.1}, получим: \\begin{gather*} L\\ast E(t)=L\\ast(M(t)\\ast(R(t)+I\\delta(t)))= \\\\ =\\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\left\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t) \\Big) \\ast M(t) \\ast \\big(R(t) +I \\delta (t)\\big) - \\\\ - K(t) \\theta (t) \\ast M(t) \\ast \\big(R(t) +I \\delta (t)\\big) =I \\delta (t) \\ast \\big(R(t) + I \\delta (t)\\big) -R(t) =I \\delta (t). \\end{gather*} А в силу леммы \\ref{l2.2} для свертки $E(t)\\ast L$ получим: \\begin{gather*} E(t) \\ast L = M(t) \\ast \\big(R(t) + I \\delta (t)\\big) \\ast L= \\\\ =M(t) \\ast \\big(R(t) +I \\delta (t)\\big) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t) - K(t) \\theta (t) \\Big)= \\\\ =M(t) \\ast \\big(R(t) +I \\delta (t)\\big) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t)\\Big)\\! - \\! M(t) \\ast \\big(R(t) +I \\delta (t)\\big) \\ast K(t) \\theta (t) \\! = \\\\ = \\big(\\tilde{R}(t) +I \\delta (t)\\big) \\ast M(t) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t) \\Big)- \\tilde{R}(t)= \\\\ =\\big(\\tilde{R} (t) +I \\delta (t)\\big) \\ast I \\delta (t) - \\tilde{R} (t) =I \\delta (t). \\end{gather*} Таким образом, доказано, что оператор-функция $E(t)$ удовлетворяет определению фундаментальной оператор-функции, а именно $ L \\ast E(t) \\ast u(t) =u(t),\\,\\,\\, \\forall u(t) \\in K_{+}^{'} (E_{2}),$ $E(t) \\ast L \\ast w(t) =w(t),\\,\\,\\, \\forall w(t) \\in K_{+}^{'} (E_{1}).$ \\hfill$\\square$ % Перед командой \\section{.....} \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Фундаментальная оператор-функция интегро-дифференциального оператора с производными высокого порядка от функционалов}\\label{sec3} Рассмотрим интегро-дифференциальный оператор с производными от функционалов высокого порядка вида \\begin{equation*} L^{(N)}=\\sum_{l=1}^{n} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{l}\\right\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) -K(t) \\theta (t). \\end{equation*} Здесь, как и ранее, $A$ --- замкнутый линейный оператор с плотной областью определения, действующий из банахова пространства $E_{1}$ в банахово пространство $E_{2};$\\linebreak $a_{l}\\in E_{2},$ $\\alpha_{l}\\in E_1,$ $l=\\overline{1,n};$ $K(t)$ --- непрерывная функция, осуществляющая отображение $R_{+}\\rightarrow R;$ $\\delta (t)$ --- функция Дирака; $\\theta (t)$ --- функция Хевисайда; кроме того, оператор $A$ является обратимым. %, т.~е. $\\exists A^{-1}:\\,\\,A^{-1}A=AA^{-1}=I,$ $I$ --- тождественный оператор. \\begin{Theorem}\\label{t3.1} Дифференциальный оператор $S=\\underset{l=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l}\\delta^{N}(t)-A\\delta (t)$ на классе $K_{+}^{'}$ имеет фундаментальную оператор-функцию вида \\begin{equation*} W(t)= A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) a_{l} -A^{-1} \\delta (t), \\end{equation*} где $c_{l}$ ($l=\\overline{1,n}$) --- элементы вектор-функции $\\vec{c}(t),$ которая является решением дифференциального уравнения $B\\vec{c}^{(N)}(t)-\\vec{c}(t)=\\vec{g}(t).$ %\\cite{1}, вектор-функция $\\vec{g}(t)=\\vec{d}\\delta^{N}(t),$ а вектор $\\vec{d}$ и матрица $B$ введены ранее в пункте \\ref{sec1} \\end{Theorem} \\proof Согласно представлению решения дифференциального \\linebreak {уравнения} посредством фундаментальной оператор-функции соответствующего урав\\-нению дифференциального оператора (см., например, \\cite{5}), вектор-функция $\\vec{c}(t)$ имеет вид $\\vec{c}(t)=V(t) \\ast \\vec{g}(t),$ где функция $V(t)$ является фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора $B \\delta^{N} (t) -I \\delta (t).$ Известно (см. \\cite{3}), что такой дифференциальный оператор имеет фундаментальную оператор-функцию вида \\begin{equation*} V(t)= \\Gamma \\, U(\\Gamma t) (I- \\tilde{Q}) \\theta (t)- \\sum_{i=1}^{n} \\sum_{k=0}^{p_{i}-1} \\Big( \\sum_{j=1}^{p_{i}-k} \\big\\langle \\bullet , \\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{p_{i}-k+1-j} \\Big) \\delta^{(kN)} (t). \\end{equation*} Здесь $U(\\Gamma t)=\\displaystyle\\sum\\limits_{i=1}^{\\infty} \\Gamma^{i-1} \\displaystyle\\frac{t^{iN-1}}{(iN-1)!},$ а операторы $\\tilde{Q},\\Gamma,$ наборы $\\left\\lbrace \\psi_{i}^{(j)}, \\,\\, i= \\overline{1,n}, \\,\\, j= \\overline{1,p_{i}} \\right\\rbrace$ и $\\left\\lbrace \\varphi_{i}^{(j)}, \\,\\, i= \\overline{1,n}, \\,\\, j= \\overline{1,p_{i}} \\right\\rbrace $ введены в пункте \\ref{sec1}). Найдем вектор-функцию $\\vec{c} (t).$ Так как $\\vec{c} (t) = V(t) \\ast \\vec{g} (t),$ получим \\begin{gather*} \\vec{c} (t) =\\Big( \\Gamma U (\\Gamma t) (I- \\tilde{Q} ) \\theta (t) - \\sum_{i=1}^{n} \\sum_{k=0}^{p_{i}-1} \\Big( \\sum_{j=1}^{\\,p_{i}-k} \\big\\langle \\bullet , \\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}-k+1-j)} \\Big) \\delta^{(kN)} (t) \\Big) \\ast \\vec{d} \\delta^{(N)} (t)= \\\\ = \\Gamma U (\\Gamma t) (I- \\tilde{Q} ) \\theta (t) \\ast \\vec{d} \\delta^{(N)} (t) - \\sum_{i=1}^{n} \\sum_{k=0}^{p_{i}-1}\\Big( \\sum_{j=1}^{p_{i}-k} \\big\\langle \\bullet , \\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}-k+1-j)} \\Big) \\delta^{(kN)} (t) \\ast \\vec{d} \\delta^{(N)} (t). \\end{gather*} Используя свойства свертки обобщенных функций и дифференцирования обобщенных функций, получаем искомую вектор-функцию в виде \\begin{equation*} \\vec{c} (t) = (\\Gamma U(\\Gamma t))^{(N)} (I-\\tilde{Q} ) \\theta (t) \\vec{d} + (I- \\tilde{Q} )\\theta (t) \\vec{d} - \\sum_{i=1}^{n} \\sum_{k=0}^{p_{i}-1}\\! \\Big(\\sum_{j=1}^{p_{i}-k} \\big\\langle \\bullet , \\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}-k+1-j)}\\Big) \\vec{d} \\delta^{((k+1)N)} (t). \\end{equation*} Далее, поскольку $(U(\\Gamma t))^{(k)}= \\Gamma U(\\Gamma t) $ (см. замечание \\ref{zam1.3}), получим \\begin{equation*} \\vec{c} (t) = \\Gamma^{2} U(\\Gamma t) (I-\\tilde{Q} ) \\theta (t) \\vec{d} + (I- \\tilde{Q} )\\theta (t) \\vec{d} - \\sum_{i=1}^{n} \\sum_{k=0}^{p_{i}-1} \\Big( \\sum_{j=1}^{p_{i}-k} \\big \\langle \\bullet , \\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}-k+1-j)} \\Big) \\vec{d} \\delta^{((k+1)N)} (t). \\end{equation*} Аналогично вектор-функции $\\vec{b} (t)$ (см. пункт \\ref{sec1}) введем в рассмотрение вектор-функцию $\\vec{e} (t)= \\Gamma^{2} U(\\Gamma t) (I-\\tilde{Q} ) \\theta (t) \\vec{d},$ элементы которой будем обозначать как $e_{l}(t),$ $l=\\overline{1,n}.$ Тогда, используя определенные ранее (пункт \\ref{sec2}) векторы $\\vec{h}$ и $\\vec{f},$ получим \\begin{equation*} \\vec{c} (t) = \\vec{e} (t) \\theta (t) +\\vec{h} \\theta (t) - \\vec{f} \\delta^{((k+1)N)} (t). \\end{equation*} Чтобы убедиться в том, что оператор-функция $W(t)$ является фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора $S,$ достаточно проверить выполнимость равенства $S\\ast W(t)=W(t)\\ast S =I\\delta(t).$ Учитывая вид дифференциального оператора $S$ и вид оператор-функции $W(t),$ получим \\begin{gather*} S \\ast W(t)= \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) \\Big) \\ast W(t)= \\\\ = \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) \\ast W(t) -A \\delta (t) \\ast W(t)= \\end{gather*} \\begin{gather*} = \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) \\ast \\Big( \\sum_{r=1}^{n} c_{r} (t) a_{r} -A^{-1} \\delta (t) \\Big) -A \\delta (t) \\ast \\Big( \\sum_{r=1}^{n} c_{r} (t) a_{r} -a^{-1} \\delta (t) \\Big)= \\\\ = \\sum_{l=1}^{n} \\sum_{r=1}^{n} \\left\\langle A^{-1} c^{(N)}_{r} a_{r} , \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} - \\sum_{l=1}^{n} \\left\\langle A^{-1} \\bullet , \\alpha_{l} \\right\\rangle \\delta^{(N)} (t) a_{l} - \\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) a_{l} +I \\delta (t) = \\\\ =\\sum_{l=1}^{n} \\left\\langle B \\left( \\begin{array}{c} c_{1}^{(N)} (t)\\\\ \\vdots \\\\ c_{n}^{(N)} (t) \\end{array} \\right) - \\left( \\begin{array}{c} g_{1} (t)\\\\ \\vdots \\\\ g_{n} \\end{array} \\right), \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} - \\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) a_{l} +I \\delta (t)= \\\\ =\\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) a_{l} -\\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) a_{l} +I \\delta (t) = I \\delta (t). \\end{gather*} Итак, $S\\ast W(t)=I\\delta(t).$ С другой стороны, \\begin{gather*} W(t)\\ast S= W(t) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) \\Big) = \\\\ = W(t) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) W(t) \\ast -A \\delta (t)\\Big) = \\\\ = \\Big( \\sum_{r=1}^{n} c_{r} (t) a_{r} -A^{-1} \\delta (t) \\Big) \\ast \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) - \\Big( \\sum_{r=1}^{n} c_{r} (t) a_{r} -A^{-1} \\delta (t) \\Big) \\ast A \\delta (t)= \\\\ = A^{-1} \\sum_{r=1}^{n} c_{r} (t) a_{r} \\ast \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} -A^{-1} \\delta (t) \\ast \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta (t) - \\\\ -A^{-1} \\sum_{r=1}^{n} c_{r} (t) a_{r} \\ast \\delta (t) +A^{-1} \\delta (t) \\ast A \\delta (t) = \\\\ =A^{-1} \\delta (t) \\ast \\Big( \\sum_{r=1}^{n} \\sum_{l=1}^{n} c_{r}^{(N)} (t) a_{r} \\ast \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} A^{-1} \\delta (t) - \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} A^{-1} \\delta^{(N)} (t) - \\\\ - \\sum_{r=1}{n} c_{r} (t) a_{r} \\Big) \\ast A \\delta (t) +I \\delta (t)= \\\\ =A^{-1} \\delta (t) \\ast \\bigg( \\sum_{l=1}^{n} \\bigg( B \\left( \\begin{array}{c} c_{1}^{(N)} (t)\\\\ \\vdots \\\\ c_{n}^{(N)} (t) \\end{array} \\right) - \\left( \\begin{array}{c} g_{1} (t)\\\\ \\vdots \\\\ g_{n} \\end{array} \\right) \\bigg)- \\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) \\bigg) a_{l} \\ast A \\delta (t) +I \\delta (t)= \\\\ =A^{-1} \\Big( \\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) -\\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) \\Big) a_{l} A \\delta (t) +I \\delta (t) = I \\delta (t). \\end{gather*} Таким образом, оператор-функция $W(t)$ удовлетворяет определению фундаментальной оператор-функции для дифференциального оператора $S$ и, следовательно, является фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора $N$-го порядка $S=\\underset{l=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t)$ в случае обратимости оператора $A.$ \\hfill$\\square$ %Теорема доказана. \\newpage Аналогично оператор-функциям $H(t)$ и $\\tilde{H} (t)$ (см. пункт \\ref{sec2}) определим оператор-функции \\begin{multline} H_{1} (t) =A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} (K(t) \\ast e_{l} (t) ) \\theta (t) a_{l} + A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} K(t) \\theta (t) a_{l} - A^{-1} k(t) \\theta (t) - \\\\ - A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} f_{l} K^{((k+1)N)} (t) \\theta (t) a_{l} , \\qquad{ \\ \\ \\ \\ \\ } \\label{eq:GEY4} \\end{multline} \\begin{multline} \\tilde{H}_{1} (t) =A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} ( e_{l} (t) \\ast K(t) ) \\theta (t) a_{l} + A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} K(t) \\theta (t) a_{l} - A^{-1} k(t) \\theta (t) - \\\\ - A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} f_{l} K^{((k+1)N)} (t) \\theta (t) a_{l}, \\qquad{ \\ \\ \\ \\ \\ } \\label{eq:GEY5} \\end{multline} где функции $e_{l}(t),$ $l=\\overline{1,n},$ являются элементами введенной при доказательстве теоремы \\ref{t3.1} вектор-функции $\\vec{e} (t.)$ \\begin{Lemma}\\label{l3.1} Пусть функция $K(t)$ удовлетворяет условию \\begin{equation} \\label{uttj8} K^{(m)}(0)=0, \\ \\ m=0,1,\\ldots,pN-1, \\ \\ p= \\underset{i= \\overline{1,n}}{max}(p_{i}), \\ \\ N\\geq 2. \\end{equation} Тогда оператор-функция $H_{1} (t)$ вида \\eqref{eq:GEY4} представима в виде \\begin{equation*} H_{1} (t) =K(t) \\theta (t) \\ast W(t). \\end{equation*} \\end{Lemma} \\proof Поскольку функция $K(t)$ удовлетворяет условиям \\eqref{uttj8}, то для оператор-функции $H_{1}(t)$ вида \\eqref{eq:GEY4} выполнено: \\begin{gather*} A^{-1}\\! \\sum_{l=1}^{n} (K(t) \\ast e_{l}(t)) \\theta (t) a_{l} +A^{-1}\\! \\sum_{l=1}^{n} h_{l} K(t) \\theta (t) a_{l} - A^{-1} K(t) \\theta (t) - A^{-1}\\! \\sum _{l=1}^{n} f_{l} K^{(k+1)} \\theta (t) a_{l}= \\\\ =A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} (K(t) \\theta (t)) \\ast (e_{l}(t) \\theta (t)) a_{l} +A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} (K(t) \\theta (t)) \\ast \\delta (t) a_{l} - \\\\ - A^{-1} (K(t) \\theta (t)) \\ast \\delta (t) - A^{-1} \\sum _{l=1}^{n} f_{l} \\Big( K^{(k+1)} \\theta (t) + \\sum_{m=0}^{(k+1)N-1} K^{(m)} (0) \\delta^{((k+1)N-1-m)} (t) \\Big) a_{l} . \\end{gather*} А, согласно свойству дифференцирования произведения непрерывной функции и функции Хевисайда (см. замечание \\ref{zam1.1}, \\ref{zam1.2}), получившееся представление оператор-функции $H_{1} (t)$ можно записать в виде \\begin{multline*} K(t) \\theta (t) \\ast \\Big( A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} e_{l}(t) \\theta (t) a_{l} +A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} \\delta (t) a_{l} - A^{-1} \\delta (t) - A^{-1} \\sum _{l=1}^{n} f_{l} \\delta^{(k+1)N} (t)) a_{l} \\Big) = \\\\ = K(t) \\theta (t) \\ast W(t). \\end{multline*} Таким образом, действительно, справедливо равенство $H(t)=K(t)\\theta(t)\\ast W(t).$ \\hfill$\\square$ %Лемма доказана. \\begin{Lemma}\\label{l3.2} Пусть функция $K(t)$ удовлетворяет условию \\eqref{uttj8}. Тогда оператор-функция $\\tilde{H}_{1}(t)$ вида \\eqref{eq:GEY5} представима в виде \\begin{equation*} \\tilde{H}_{1} (t) =W(t) \\ast K(t) \\theta (t). \\end{equation*} \\end{Lemma} \\proof Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы \\ref{l3.1}. \\hfill$\\square$ \\begin{Theorem}\\label{t3.2} Пусть функция $K(t)$ удовлетворяет условию \\eqref{uttj8}. Тогда интегро-дифференциальный оператор с производными от функционалов высокого порядка\\linebreak $L^{(N)}=\\underset{l=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) -K(t) \\theta (t)$ на классе $K_{+}^{'}$ имеет фундаментальную оператор-функцию вида \\begin{equation*} E_{1} (t) = V(t) \\ast \\big(R_{1} (t) + I \\delta (t)\\big) = \\big(\\tilde{R}_{1} (t) + I \\delta (t) \\big) \\ast V(t), \\end{equation*} где функция $V(t)$ является фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора высокого порядка вида $B\\delta^{(N)}(t)-I\\delta (t),$ $R_{1}(t)$ является резольвентой ядра $H_{1}(t)$ вида \\eqref{eq:GEY4}, $\\tilde{R}_{1}(t)$ является резольвентой ядра $\\tilde{H}_{1}(t)$ вида \\eqref{eq:GEY5}. \\end{Theorem} \\proof Используя введенные обозначения и вид интегро-диф\\-фе\\-рен\\-ци\\-аль\\-но\\-го оператора $L^{(N)}$ для свертки $L^{(N)}\\ast E(t)$ при $E_{1}(t)=V(t)\\ast\\big(R_{1}(t)+I\\delta(t)\\big),$ согласно лемме \\ref{l3.1}, получим: \\begin{gather*} L^{(N)} \\ast E_{1} (t) =L^{(N)} \\ast \\big(V(t) \\ast (R_{1}(t) + I \\delta (t))\\big)= \\\\ =\\!\\Big(\\!\\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) \\!-\\!A \\delta (t) \\Big)\\! \\ast V(t) \\ast \\big(R_{1}(t) +I \\delta (t)\\big)\\! -\\! K(t) \\theta (t) \\ast V(t) \\ast \\big(R_{1} (t) +I \\delta (t)\\big)\\! = \\\\ =I \\delta (t) \\ast (R_{1} (t) + I \\delta (t)) -R_{1} (t) =I \\delta (t). \\end{gather*} А согласно лемме \\ref{l3.2} для свертки $E_{1}(t)\\ast L^{(N)}$ получим: \\begin{gather*} E_{1}(t) \\ast L^{(N)} = V(t) \\ast \\big(R_{1} (t) + I \\delta (t)\\big) \\ast L^{(N)}= \\\\ =V(t) \\ast \\big(R_{1} (t) +I \\delta (t)\\big) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) - K(t) \\theta (t)\\Big)= \\\\ =V(t)\\ast\\big(R_{1} (t) +I \\delta (t)\\big)\\!\\ast\\!\\Big(\\!\\sum_{l=1}^{n}\\!\\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t)\\!\\Big)\\!-\\! V(t)\\ast\\big(R_{1} (t) +I \\delta (t)\\big)\\ast K(t) \\theta (t)\\!= \\\\ = (\\tilde{R}_{1} (t) +I \\delta (t)) \\ast V(t) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) \\Big)- \\tilde{R}_{1} (t)= \\\\ =\\big(\\tilde{R}_{1} (t) +I \\delta (t)\\big) \\ast I \\delta (t) -\\tilde{R}_{1} (t) =I \\delta (t). \\end{gather*} Таким образом, доказано, что оператор-функция $E_{1}(t)$ удовлетворяет определению фундаментальной оператор-функции, а именно $ L^{(N)} \\ast E_{1}(t) \\ast u(t) =u(t),$ $\\forall u(t) \\in K_{+}^{'} (E_{2}),$ $E_{1} (t) \\ast L^{(N)} \\ast w(t) =w(t),$ $\\forall w(t) \\in K_{+}^{'} (E_{1}).$ \\hfill$\\square$ %Теорема доказана. \\newpage \\begin{Remark}\\label{zam3.1} Аналогично \\cite{1}, условия \\eqref{uttj8} в теореме \\ref{t3.2} можно заменить на одно из следующих условий: \\begin{itemize} \\item[1.]$\\varphi_{i}^{(j)}\\in N(K^{(m)}(0)),$ $m=0,1,\\ldots,p N-1,$ $p=\\underset{i=\\overline{1,n}}{max} (p_{i}),$ $N\\geq 1;$ \\item[2.]$\\psi_{i}^{(j)}\\in R^{\\perp}(K^{(m)}(0)),$ $m=0,1,\\ldots,p N-1,$ $p=\\underset{i=\\overline{1,n}}{max}(p_{i}),$ $N\\geq 1;$ \\item[3.]$\\psi_{i}^{(j)}\\in N(K^{*(m)}0)),$ $m=0,1,\\ldots, p N-1,$ $p=\\underset{i=\\overline{1,n}}{max}(p_{i}),$ $N\\geq 1.$ \\end{itemize} \\end{Remark} \\proof Действительно, условия \\eqref{uttj8} влияют только на сингулярную составляющую сверток $$K(t)\\theta(t)\\ast W(t), \\ \\ W(t)\\ast K(t)\\theta(t), \\ \\ K(t)\\theta(t)\\ast M(t), \\ \\ M(t)\\ast K(t)\\theta(t),$$ которая имеет вид \\begin{equation*} \\sum_{l=1}^{n} f_{l} \\Big( \\sum_{m=0}^{\\,(k+1)N-1} K^{(m)} (0) \\delta^{((k+1)N-1-m)} (t) \\Big) a_{l}, \\end{equation*} или учитывая структуру элементов $f_{l},$ $l=\\overline{1,n}$ (см.~пункт \\ref{sec2}), вид \\begin{equation*} \\sum_{l=1}^{n} \\Big( \\sum_{i=1}^{n} \\Big[ \\sum_{k=0}^{p_{i}-1} \\sum_{j=1}^{p_{i}-k} \\big\\langle \\bullet , \\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}-k+1-j)} \\Big] \\big\\langle A^{-1} \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle \\Big) \\sum_{m=0}^{(k+1)N-1} K^{(m)} (0) \\delta^{((k+1)N-1-m)} (t) a_{l}. \\end{equation*} Остается заметить, что условия \\eqref{uttj8} обеспечивают равенство нулю этого сингулярного выражения, для чего достаточно выполнения любого из приведенных условий. \\hfill$\\square$
×

Об авторах

Елена Юрьевна Гражданцева

ФГБОУ ВО «Иркутский государственный университет»

Email: grelyur@mail.ru
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений 664003, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Карла Маркса, 1

Список литературы

  1. М. В. Фалалеев, Е.Ю. Гражданцева, “Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных и дифференциально-разностных операторов с нётеровым оператором в главной части в банаховых пространствах”, Сибирский математический журнал, 46:6 (2005), 1393-1406.
  2. М. В. Фалалеев, “Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах”, Сибирский математический журнал, 41:5 (2000), 1167-1182.
  3. Е.Ю. Гражданцева, Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных операторов высокого порядка в банаховых пространствах, Изд-во ИГУ, Иркутск, 2013.
  4. М. M. Вайнберг, В. А. Треногин, Теория ветвления решений нелинейных уравнений, Наука, М., 1969.
  5. M. V. Falaleev, “Generalized Solution of Integro-Differential Equations of the Viscoelasticity Theory”, International Conference on Applied Science and Engineering-Proceeding, 2018, 42-45.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML


Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».