Fundamental operator-function of an integro-differential operator with derivatives of functionals in Banach spaces

Full Text

\\section*{Введение} Интерес к дифференциальным и интегро-дифференциальным уравнениям вызван задачами математической физики в областях гидродинамики, электротехники, физики плазмы и т.~п. Особенность таких задач заключается в том, что в главной части уравнения присутствует необратимый (вырожденный) оператор. Благодаря свойствам функции Дирака (функция $\\delta (t)$\\!) и функции Хевисайда\\linebreak (функция $\\theta (t)$\\!) дифференциальное (или интегро-дифференциальное) уравнение можно представить в виде свертки соответствующего уравнению обобщенного дифференциального оператора с неизвестной функцией. Например, дифференциальное уравнение $$B \\displaystyle \\frac{du}{dt} +A u=f,$$ где $u=u(t)$ --- неизвестная функция, а $f=f(t)$ --- известная функция, представимо в виде $$(B \\delta^{'} (t) +A \\delta (t)) \\ast u(t)=f(t).$$ Один из методов решения подобных уравнений заключается в применении развивающейся теории фундаментальных оператор-функций (см., например, \\cite{1,2,3}). Исследование фундаментальной оператор-функции для соответствующего уравнению оператора позволяет выявить условия существования как непрерывного, так и обобщенного решения исследуемого уравнения, а также восстановить само решение. В работе рассматривается обобщенный интегро-дифференциальный оператор с производными от функционалов вида \\begin{equation}\\label{eq:GEY1} L^{N}=\\sum_{l=1}^{s} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{l}\\right\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) -K(t) \\theta (t), \\end{equation} где $A$ --- замкнутый линейный оператор с плотной областью определения, действующий из банахова пространства $E_{1}$ в банахово пространство $E_{2};$ $a_{l},$ $l=\\overline{1,s}, $ --- элементы пространства $E_{2};$ $\\alpha_{l},$ $l=\\overline{1,s},$ --- элементы банахова пространства $E_{1}^{*};$ $f(t)$ --- достаточно гладкая функция со значениями в $E_{2};$ $K(t)$ --- замкнутый линейный оператор, действующий из $E_{1}$ в $E_{2},$ причем $\\overline{D(K)}= E_{1},$ $D(K)$ не зависит от $t$ и $K(t)$ --- сильно непрерывная на $D(K)$ достаточно гладкая функция; $\\delta (t)$ --- функция Дирака; $\\theta (t)$ --- функция Хевисайда. Этот оператор соответствует интегро-дифференциальному уравнению с производными от функционалов вида $$\\sum_{l=1}^{s} \\left\\langle u^{(N)} (t) , \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} = A u(t) + \\int_{0}^{t} K(t-\\tau ) u(\\tau ) d \\tau + f(t).$$ \\pagebreak % Перед командой \\section{.....} \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Вспомогательные сведения и обозначения}\\label{sec1} \\begin{Definition}\\label{def1.1}\\cite{1} Обобщенной функцией (распределением) со значениями в банаховом пространстве $Е$ называют всякий линейный непрерывный функционал на основном пространстве $K (R^{N};E^{*}).$ \\end{Definition} При этом множество всех обобщенных функций, определенных на основном пространстве обозначают через $K'(E).$ \\begin{Definition}\\label{def1.2}\\cite{2} Действием оператор-функции $K(t) \\in L(E_{1}, E_{2}),$ здесь $ L(E_{1}, E_{2})$ --- пространство сильно непрерывных оператор-функций класса $C^{\\infty},$ на обобщенную функцию $v(t) \\in K' (E_{1}),$ называют обобщенную функцию $K(t) v(t) \\in K' (E_{2}),$ действующую на основные функции $s(t) \\in K(E_{2}^{*}) $ по правилу $$(K(t) v(t), s(t))=(v(t),K^*(t)s(t)).$$ \\end{Definition} \\begin{Definition}\\label{def1.3}\\cite{2} Сверткой обобщенной оператор-функции $K(t) f(t)$ и обобщенной функции $v(t) \\in K_{+}^{'} (E_{1})$ называют обобщенную функцию $K(t) f(t) \\ast v(t) \\in K_{+}^{'} (E_{2}),$ действующую по формуле \\begin{equation*} (K(t) f(t) \\ast v(t) , s(t))= (f(t), (K^{*} (t)s(t+ y))), \\,\\,\\,\\forall s(t) \\in K(E_{2}^{*}). \\end{equation*} \\end{Definition} \\begin{Remark}\\label{zam1.1} $K(t) \\theta (t) \\ast b(t) \\theta (t) = (K(t) \\ast b(t)) \\theta (t).$ \\end{Remark} \\proof Действительно, используя определение свертки, получим \\begin{equation*} (K(t) \\theta (t) \\ast b(t) \\theta (t), \\varphi (t))= (K(t) \\theta (t),(b(y) \\theta (y),\\varphi (t+y)))= \\end{equation*} \\begin{equation*} =(K(t) \\theta (t), \\int_{0}^{\\infty} b(y) \\varphi (t+y) dy)=(K(t) \\theta (t), \\int_{0}^{\\infty} b(x-t) \\varphi (x) dx)= \\end{equation*} \\begin{equation*} =\\int_{0}^{\\infty} K(t) \\left( \\int_{t}^{\\infty} b(x-t) \\varphi (x) dx \\right) dt= \\int_{0}^{\\infty} \\left( \\int_{0}^{x} K(t) b(x-t) dt \\right) \\varphi (x) dx= \\end{equation*} \\begin{equation*} =\\int_{0}^{\\infty} (K(x) \\ast b(x)) \\varphi (x) dx= (\\theta (x),(K(x) \\ast b(x)) \\varphi (x)) = \\end{equation*} \\begin{equation*} = ((K(x) \\ast b(x)) \\theta (x), \\varphi (x)) = ((K(t) \\ast b(t)) \\theta (t), \\varphi (t)). \\end{equation*}\\hfill $\\square$ %Замечание доказано. \\begin{Remark}\\label{zam1.2} Пусть $K(t) \\in C^{k} (E).$ Тогда дифференцирование оператор-функции $K(t) \\theta (t)$ происходит по правилу \\begin{equation*} (K(t) \\theta (t))^{(k)}= K^{(k)} (t) \\theta (t) + \\sum_{m=0}^{k-1} K^{(m)} (0) \\delta^{(k-m)} (t). \\end{equation*} \\end{Remark} \\proof Действительно, если $a(t) \\in C^{'} (E)$ и $\\theta (t)$ --- функция Хевисайда, то производная произведения $a(t) \\theta (t)$ находится по формуле (см., например,~\\cite{2}) $(a(t) \\theta (t))^{'} = a^{'} (t) \\theta (t) +a(0) \\delta (t).$ Тогда для произведения $K(t) \\theta (t)$ справедлива следующая цепочка равенств: \\begin{equation*} (K(t) \\theta (t))^{'} = K^{'} (t) \\theta (t) +K(0) \\delta (t), \\end{equation*} \\begin{gather*} (K(t) \\theta (t))^{''}= (K^{'} (t) \\theta (t) +K(0) \\delta (t))^{'}= K^{''} (t) \\theta (t) +K^{'} (0) \\delta (t) +K(0) \\delta^{'} (t)= \\qquad{ \\ \\ \\ \\ \\ }\\\\ \\qquad{ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ } = K^{''} (t) \\theta (t) +\\sum_{m}^{1} K^{(m)} (0) \\delta^{(1-m)}, \\\\ (K(t) \\theta (t))^{(3)}= (K^{''} (t) \\theta (t) +K^{'} (0) \\delta (t) +K(0) \\delta^{'} (t))^{'}=\\qquad{ \\ \\ \\ }\\qquad{ \\ \\ \\ }\\qquad{ \\ \\ \\ } \\qquad{ \\ \\ \\ \\ \\ } \\\\ =K^{(3)} (t) \\theta (t) +K^{''} (0) \\delta (t) +K^{'}(0) \\delta^{'} (t) + K(0) \\delta ^{''}= K^{(3)} (t) \\theta (t) +\\sum_{m}^{2} K^{(m)} (0) \\delta^{(2-m)}, \\end{gather*} и т.~д. По индукции получим \\begin{equation*} (K(t) \\theta (t))^{(k)}= K^{(k)} (t) \\theta (t) + \\sum_{m=0}^{k-1} K^{(m)} (0) \\delta^{(k-m)} (t). \\end{equation*}\\hfill$\\square$ %Замечание доказано. \\begin{Remark}\\label{zam1.3} $(U(\\Gamma t))^{(N)} = \\Gamma U(\\Gamma t).$ \\end{Remark} \\proof Так как $U( \\Gamma t)= \\displaystyle\\sum\\limits_{q=1}^{\\infty} \\Gamma \\displaystyle\\frac{t^{qN-1}}{(qN-1)!},$ получим \\begin{gather*} (U( \\Gamma t))^{(N)}= %% \\left( \\sum_{q=1}^{\\infty} \\Gamma \\frac{t^{qN-1}}{(qN-1)!} \\right) ^{(N)}= \\left( I \\frac{t^{N-1}}{(N-1)!} +\\Gamma \\frac{t^{2N-1}}{(2N-1)!} + \\Gamma^{2} \\frac{t^{3N-1}}{(3N-1)!} + \\cdots \\right)^{(N)}= \\\\ =\\left( I \\frac{t^{N-2}}{(N-2)!} +\\Gamma \\frac{t^{2N-2}}{(2N-2)!} + \\Gamma^{2} \\frac{t^{3N-2}}{(3N-2)!} + \\cdots \\right)^{(N-1)}= \\\\ =\\left( I \\frac{t^{N-3}}{(N-3)!} +\\Gamma \\frac{t^{2N-3}}{(2N-3)!} + \\Gamma^{2} \\frac{t^{3N-3}}{(3N-3)!} + \\cdots \\right)^{(N-2)}= \\cdots = \\\\ =\\left( I +\\Gamma \\frac{t^{N}}{(N)!} + \\Gamma^{2} \\frac{t^{2N}}{(2N)!} + \\cdots \\right)^{'}= \\\\ =\\left( \\Gamma \\frac{t^{N-1}}{(N-1)!} + \\Gamma^{2} \\frac{t^{2N-1}}{(2N-1)!} + \\cdots \\right)= \\Gamma \\sum_{q=1}^{\\infty} \\frac{t^{qN-1}}{(qN-1)!}=\\Gamma U(\\Gamma t). \\end{gather*}\\hfill$\\square$ %Замечание доказано. \\begin{Definition}\\label{def1.4}~\\cite{2} Фундаментальной оператор-функцией оператора $L$ на классе $K_{+}^{'}$ называют обобщенную оператор-функцию $E(t),$ удовлетворяющую равенствам \\begin{equation*} L \\ast E(t) \\ast u(t) =u(t),\\,\\,\\, \\forall u(t) \\in K_{+}^{'} (E_{2}), \\end{equation*} \\begin{equation*} E(t) \\ast L \\ast w(t) =w(t),\\,\\,\\, \\forall w(t) \\in K_{+}^{'} (E_{1}). \\end{equation*} где $K_{+}^{'} (E)$ --- пространство обобщенных функций со значениями в банаховом пространстве $Е$ с ограниченным слева носителем. \\end{Definition} \\newpage Пусть 1) оператор $B$ --- это матрица размерности $(n\\times n)$ вида $$ B= \\left( \\begin{array}{ccc} \\left\\langle A^{-1} a_{1}, \\alpha _{1} \\right\\rangle & \\ldots & \\left\\langle A^{-1} a_{n}, \\alpha _{1} \\right\\rangle\\\\ \\\\ \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ \\\\ \\left\\langle A^{-1} a_{1}, \\alpha _{n} \\right\\rangle & \\ldots & \\left\\langle A^{-1} a_{n}, \\alpha _{n} \\right\\rangle\\\\ \\end{array}\\right) ; $$ 2) тождественный оператор $I$ --- единичная матрица размерности $n\\times n;$ 3) набор $\\{ \\varphi_{i} , i= \\overline {1,n} \\}$ --- базис пространство нулей оператора $B;$ $\\varphi_{i} \\in E_{1};$ 4) набор $\\{ \\psi_{i} , i= \\overline {1,n} \\}$ --- базис пространства нулей оператора $B^{*};$ $\\psi_{i} \\in E_{2};$ 5) элементы $\\{ \\varphi_{i}^{(j)} , i= \\overline {1,n} , \\,\\,\\, j= \\overline {1,p_{i}} \\}$ --- полный $I$-жорданов набор оператора $B;$ 6) элементы $\\{ \\psi_{i}^{(j)},$\\!$i=\\overline {1,n},$\\!$j=\\overline{1,p_{i}} \\}$ --- полный $I^{*}$- жорданов набор оператора~$B^{*};$ 7) операторы $I^{*}$ и $B^{*}$ --- сопряженные операторы для операторов $I$ и $B$ соответственно; 8) оператор Треногина--Шмидта $\\Gamma$ для оператора $B$ --- матрица, определяемая по формуле \\begin{equation*} \\Gamma=\\left( B+ \\sum_{i=1}^{n} \\left\\langle \\bullet, \\gamma _{i} \\right\\rangle z_{i} \\right) ^{-1}, \\end{equation*} где $\\gamma_{i} \\in E_{1}^{*},$ $i=\\overline{1,n},$ $z_{i} \\in E_{2},$ $i=\\overline{1,n}$ --- биортогональные системы элементов для $\\varphi_{i}$ и $\\psi_{i}$ соответственно~\\cite{4}; 9) оператор $\\tilde{Q}$ --- матрица размерности $(n\\times n),$ у которой элементы $\\tilde{Q}_{pq},$ $p= \\overline {1,n},$ $q= \\overline {1,n},$ находятся по формуле \\begin{equation*} \\tilde{Q}_{pq} = \\left\\{ \\begin{array}{cc} 0, & \\textrm{}p\\neq q,\\\\ \\underset{i=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\,\\, \\underset{j=1}{\\overset{p_{i}}{\\sum}} \\left\\langle \\bullet, \\psi_{i}^{(j)} \\right\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}+1-j)}, & p=q;\\\\ \\end{array} \\right. \\end{equation*} 10) оператор-функция $\\Gamma e^{\\Gamma t}$ определяется по формуле \\begin{equation*} \\Gamma e^{\\Gamma t}= \\Gamma \\sum _{q=1}^{\\infty} \\Gamma \\frac{t^{q-1}}{(q-1)!}. \\end{equation*} Введем в рассмотрение оператор-функции \\begin{multline} H(t)= A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} (K(t) \\ast b_{l}(t)) \\theta (t) a_{l} + A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} K(t) \\theta (t) a_{l} - \\\\- A^{-1} K(t) \\theta (t) - A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} f_{l} K^{(k+1)} (t) \\theta (t) a_{l}\\qquad{\\ \\ \\ } \\label{eq:GEY2} \\end{multline} и \\begin{multline} \\tilde{H}(t)= A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} ( b_{l}(t))\\ast K(t) \\theta (t) a_{l} +A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} K(t) \\theta (t) a_{l}- \\\\ - A^{-1} K(t) \\theta (t) - A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} f_{l} K^{(k+1)} (t) \\theta (t) a_{l}, \\qquad{\\ \\ \\ } \\label{eq:GEY3} \\end{multline} где $b_{l}$ --- элементы вектор-столбца $\\vec{b}(t)= \\Gamma^{2} e^{\\Gamma t} (I- \\tilde{Q}) \\vec{d};$ \\, $h_{l} $ --- элементы вектор-стол\\-б\\-ца $\\vec{h}=\\Gamma (I- \\tilde{Q}) \\vec{d} ;$ \\, $f_{l}= \\underset{i=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\underset{k=0}{\\overset{p_{i}-1}{\\sum}} \\Big( \\underset{j=1}{\\overset{\\,p_{i}-k}{\\sum}} \\big\\langle \\bullet ,\\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{p_{i}-k+1-j} \\Big) d_{l},$ --- элементы вектор-столбца~$\\vec{f};$ \\, $d_{l}= \\left\\langle A^{-1} \\bullet, \\alpha_{l} \\right\\rangle,$ --- элементы вектор-столбца $\\vec{d};$ \\, $l= \\overline{1,n}.$ Также введем резольвенты $R(t)$ и $\\tilde{R} (t),$ для которых оператор-функции \\eqref{eq:GEY2} и \\eqref{eq:GEY3} являются ядрами соответственно. % Перед командой \\section{.....} \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Фундаментальная оператор-функция интегро-дифференциального оператора с производными первого порядка от функционалов}\\label{sec2} %\\null Пусть $K(t) \\equiv 0,$ $N=1.$ Тогда оператор \\eqref{eq:GEY1} примет вид \\begin{equation*} \\sum_{l=1}^{n} \\left\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t). \\end{equation*} Фундаментальной оператор-функцией этого оператора при обратимости оператора $A$ является оператор-функция вида~(см. \\cite[с.~78]{3}) \\begin{equation*} M(t)= A^{-1} \\sum_{i=1}^{n} c_{i}^{'} (t) a_{i} -A^{-1} \\delta (t), \\end{equation*} где $c_{i} (t),$ $i= \\overline{1,n}$ --- элементы обобщенной вектор-функции $\\vec{c}(t) = U_{1} (t) \\ast \\vec{g} (t),$ $$U_{1} (t)= \\Gamma e^{\\Gamma t} (I- \\tilde{Q}) \\theta (t) - \\underset{i=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\underset{k=0}{\\overset{p_{i} -1}{\\sum}} \\underset{j=1}{\\overset{p_{i}-k}{\\sum}} \\left\\langle \\bullet , \\psi_{i}^{j} \\right\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}-k+1-j)} \\delta^{(k)} (t), \\ \\ \\vec{g} (t) = \\left( \\begin{array}{c} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{1} \\right\\rangle \\\\ \\cdots \\\\ \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{n} \\right\\rangle \\end{array} \\right) A^{-1}\\delta (t), $$ операторы $\\Gamma, B, \\tilde{Q},$ а также наборы $\\left\\lbrace\\varphi_{i}^{(j)}, \\, i= \\overline{1,n}, \\, j=\\overline{1,p_{i}}\\right\\rbrace,$\\! $\\left\\lbrace \\psi_{i}^{(j)}, \\, i= \\overline{1,n} , \\, j=\\overline{1,p_{i}} \\right\\rbrace $ описаны выше (пункт \\ref{sec1}). Учитывая введенные обозначения, оператор-функция $M(t)$ записывается в виде \\begin{equation*} M(t)= A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} b_{l} (t) \\theta (t) a_{l} +A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} \\delta (t) a_{l} - A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} f_{l} \\delta^{(k+1)} (t) - A^{-1} \\delta (t). \\end{equation*} \\begin{Lemma}\\label{l2.1} Пусть функция $K(t)$ удовлетворяет условиям \\begin{equation} \\label{uct} K^{(m)}(0)=0, \\ \\ m=0,1,\\ldots,p, \\ \\ p=\\underset{i=\\overline{1,n}}{max}(p_{i}). \\end{equation} Тогда оператор-функция $H(t)$ вида \\eqref{eq:GEY2} может быть представлена в виде \\begin{equation*} H(t)=K(t) \\theta (t) \\ast M(t). \\end{equation*} \\end{Lemma} \\proof Поскольку функция $K(t)$ удовлетворяет условиям \\eqref{uct}, для оператор-функции $H(t)$ вида \\eqref{eq:GEY3} справедлива следующая цепочка равенств: \\begin{gather*} A^{-1}\\! \\sum_{l=1}^{n} (K(t) \\ast b_{l}(t)) \\theta (t) a_{l}\\! + A^{-1}\\! \\sum_{l=1}^{n} h_{l} K(t) \\theta (t) a_{l}\\! - A^{\\!-1} K(t) \\theta (t)\\!- A^{-1}\\! \\sum _{l=1}^{n} f_{l} K^{(k+1)} \\theta (t) a_{l}\\! = \\end{gather*} \\begin{gather*} =A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} (K(t) \\theta (t)) \\ast (b_{l}(t) \\theta (t)) a_{l} +A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} (K(t) \\theta (t)) \\ast \\delta (t) a_{l} - \\\\ - A^{-1} (K(t) \\theta (t)) \\ast \\delta (t) - A^{-1} \\sum _{l=1}^{n} f_{l} \\left( K^{(k+1)} \\theta (t) + \\sum_{m=0}^{k} K^{(m)} (0) \\delta^{(k-m)} (t) \\right) a_{l}. \\end{gather*} А, согласно свойству дифференцирования произведения непрерывной функции с функцией Хевисайда (см. замечания \\ref{zam1.1}, \\ref{zam1.2}), получившееся представление оператор-функ\\-ции $H(t)$ можно записать в виде \\begin{multline*} K(t) \\theta (t) \\ast \\left( A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} b_{l}(t) \\theta (t) a_{l} +A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} \\delta (t) a_{l} - A^{-1} \\delta (t) - A^{-1} \\sum _{l=1}^{n} f_{l} \\delta^{(k+1)} (t)) a_{l} \\right) = \\\\ = K(t) \\theta (t) \\ast M(t). \\end{multline*} Таким образом, действительно $H(t)= K(t) \\theta (t) \\ast M(t).$ \\hfill$\\square$ %Лемма 1 доказана. \\begin{Lemma}\\label{l2.2} Пусть функция $K(t)$ удовлетворяет условиям \\eqref{uct}. Тогда оператор-функция $\\tilde{H}(t)$ вида \\eqref{eq:GEY3} может быть представлена в виде \\begin{equation*} \\tilde{H}(t)=M(t) \\ast K(t) \\theta (t). \\end{equation*} \\end{Lemma} \\proof Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы \\ref{l2.1}. \\hfill$\\square$ \\begin{Theorem}\\label{t2.1} Пусть функция $K(t)$ удовлетворяет условиям \\eqref{uct}. Тогда интегро-диф\\-фе\\-рен\\-циальный оператор вида $$\\sum_{l=1}^{n} \\left\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t)-K(t) \\theta (t)$$ на классе $K_{+}^{'}$ имеет фундаментальную оператор-функцию вида \\begin{equation*} E(t)=M(t)\\ast (R(t)+I\\delta(t))=(\\tilde{R}(t)+I\\delta(t))\\ast M(t), \\end{equation*} где $M(t)$ --- фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора $$\\underset{l=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{l}\\right\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t), $$ $R(t)$ --- резольвента ядра $H(t)$ вида \\eqref{eq:GEY2}, $\\tilde{R} (t)$ --- резольвента ядра $\\tilde{H} (t)$ вида \\eqref{eq:GEY3}. \\end{Theorem} \\proof Учитывая введенные обозначения и вид ин\\-те\\-г\\-ро-диф\\-фе\\-рен\\-ци\\-аль\\-но\\-го оператора $L,$ для свертки $L\\ast E(t)$ при {${E(t)=M(t)\\ast (R(t)+I\\delta(t)),}$} согласно лемме \\ref{l2.1}, получим: \\begin{gather*} L\\ast E(t)=L\\ast(M(t)\\ast(R(t)+I\\delta(t)))= \\\\ =\\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\left\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t) \\Big) \\ast M(t) \\ast \\big(R(t) +I \\delta (t)\\big) - \\\\ - K(t) \\theta (t) \\ast M(t) \\ast \\big(R(t) +I \\delta (t)\\big) =I \\delta (t) \\ast \\big(R(t) + I \\delta (t)\\big) -R(t) =I \\delta (t). \\end{gather*} А в силу леммы \\ref{l2.2} для свертки $E(t)\\ast L$ получим: \\begin{gather*} E(t) \\ast L = M(t) \\ast \\big(R(t) + I \\delta (t)\\big) \\ast L= \\\\ =M(t) \\ast \\big(R(t) +I \\delta (t)\\big) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t) - K(t) \\theta (t) \\Big)= \\\\ =M(t) \\ast \\big(R(t) +I \\delta (t)\\big) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t)\\Big)\\! - \\! M(t) \\ast \\big(R(t) +I \\delta (t)\\big) \\ast K(t) \\theta (t) \\! = \\\\ = \\big(\\tilde{R}(t) +I \\delta (t)\\big) \\ast M(t) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{'} (t) -A \\delta (t) \\Big)- \\tilde{R}(t)= \\\\ =\\big(\\tilde{R} (t) +I \\delta (t)\\big) \\ast I \\delta (t) - \\tilde{R} (t) =I \\delta (t). \\end{gather*} Таким образом, доказано, что оператор-функция $E(t)$ удовлетворяет определению фундаментальной оператор-функции, а именно $ L \\ast E(t) \\ast u(t) =u(t),\\,\\,\\, \\forall u(t) \\in K_{+}^{'} (E_{2}),$ $E(t) \\ast L \\ast w(t) =w(t),\\,\\,\\, \\forall w(t) \\in K_{+}^{'} (E_{1}).$ \\hfill$\\square$ % Перед командой \\section{.....} \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Фундаментальная оператор-функция интегро-дифференциального оператора с производными высокого порядка от функционалов}\\label{sec3} Рассмотрим интегро-дифференциальный оператор с производными от функционалов высокого порядка вида \\begin{equation*} L^{(N)}=\\sum_{l=1}^{n} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{l}\\right\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) -K(t) \\theta (t). \\end{equation*} Здесь, как и ранее, $A$ --- замкнутый линейный оператор с плотной областью определения, действующий из банахова пространства $E_{1}$ в банахово пространство $E_{2};$\\linebreak $a_{l}\\in E_{2},$ $\\alpha_{l}\\in E_1,$ $l=\\overline{1,n};$ $K(t)$ --- непрерывная функция, осуществляющая отображение $R_{+}\\rightarrow R;$ $\\delta (t)$ --- функция Дирака; $\\theta (t)$ --- функция Хевисайда; кроме того, оператор $A$ является обратимым. %, т.~е. $\\exists A^{-1}:\\,\\,A^{-1}A=AA^{-1}=I,$ $I$ --- тождественный оператор. \\begin{Theorem}\\label{t3.1} Дифференциальный оператор $S=\\underset{l=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l}\\delta^{N}(t)-A\\delta (t)$ на классе $K_{+}^{'}$ имеет фундаментальную оператор-функцию вида \\begin{equation*} W(t)= A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) a_{l} -A^{-1} \\delta (t), \\end{equation*} где $c_{l}$ ($l=\\overline{1,n}$) --- элементы вектор-функции $\\vec{c}(t),$ которая является решением дифференциального уравнения $B\\vec{c}^{(N)}(t)-\\vec{c}(t)=\\vec{g}(t).$ %\\cite{1}, вектор-функция $\\vec{g}(t)=\\vec{d}\\delta^{N}(t),$ а вектор $\\vec{d}$ и матрица $B$ введены ранее в пункте \\ref{sec1} \\end{Theorem} \\proof Согласно представлению решения дифференциального \\linebreak {уравнения} посредством фундаментальной оператор-функции соответствующего урав\\-нению дифференциального оператора (см., например, \\cite{5}), вектор-функция $\\vec{c}(t)$ имеет вид $\\vec{c}(t)=V(t) \\ast \\vec{g}(t),$ где функция $V(t)$ является фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора $B \\delta^{N} (t) -I \\delta (t).$ Известно (см. \\cite{3}), что такой дифференциальный оператор имеет фундаментальную оператор-функцию вида \\begin{equation*} V(t)= \\Gamma \\, U(\\Gamma t) (I- \\tilde{Q}) \\theta (t)- \\sum_{i=1}^{n} \\sum_{k=0}^{p_{i}-1} \\Big( \\sum_{j=1}^{p_{i}-k} \\big\\langle \\bullet , \\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{p_{i}-k+1-j} \\Big) \\delta^{(kN)} (t). \\end{equation*} Здесь $U(\\Gamma t)=\\displaystyle\\sum\\limits_{i=1}^{\\infty} \\Gamma^{i-1} \\displaystyle\\frac{t^{iN-1}}{(iN-1)!},$ а операторы $\\tilde{Q},\\Gamma,$ наборы $\\left\\lbrace \\psi_{i}^{(j)}, \\,\\, i= \\overline{1,n}, \\,\\, j= \\overline{1,p_{i}} \\right\\rbrace$ и $\\left\\lbrace \\varphi_{i}^{(j)}, \\,\\, i= \\overline{1,n}, \\,\\, j= \\overline{1,p_{i}} \\right\\rbrace $ введены в пункте \\ref{sec1}). Найдем вектор-функцию $\\vec{c} (t).$ Так как $\\vec{c} (t) = V(t) \\ast \\vec{g} (t),$ получим \\begin{gather*} \\vec{c} (t) =\\Big( \\Gamma U (\\Gamma t) (I- \\tilde{Q} ) \\theta (t) - \\sum_{i=1}^{n} \\sum_{k=0}^{p_{i}-1} \\Big( \\sum_{j=1}^{\\,p_{i}-k} \\big\\langle \\bullet , \\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}-k+1-j)} \\Big) \\delta^{(kN)} (t) \\Big) \\ast \\vec{d} \\delta^{(N)} (t)= \\\\ = \\Gamma U (\\Gamma t) (I- \\tilde{Q} ) \\theta (t) \\ast \\vec{d} \\delta^{(N)} (t) - \\sum_{i=1}^{n} \\sum_{k=0}^{p_{i}-1}\\Big( \\sum_{j=1}^{p_{i}-k} \\big\\langle \\bullet , \\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}-k+1-j)} \\Big) \\delta^{(kN)} (t) \\ast \\vec{d} \\delta^{(N)} (t). \\end{gather*} Используя свойства свертки обобщенных функций и дифференцирования обобщенных функций, получаем искомую вектор-функцию в виде \\begin{equation*} \\vec{c} (t) = (\\Gamma U(\\Gamma t))^{(N)} (I-\\tilde{Q} ) \\theta (t) \\vec{d} + (I- \\tilde{Q} )\\theta (t) \\vec{d} - \\sum_{i=1}^{n} \\sum_{k=0}^{p_{i}-1}\\! \\Big(\\sum_{j=1}^{p_{i}-k} \\big\\langle \\bullet , \\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}-k+1-j)}\\Big) \\vec{d} \\delta^{((k+1)N)} (t). \\end{equation*} Далее, поскольку $(U(\\Gamma t))^{(k)}= \\Gamma U(\\Gamma t) $ (см. замечание \\ref{zam1.3}), получим \\begin{equation*} \\vec{c} (t) = \\Gamma^{2} U(\\Gamma t) (I-\\tilde{Q} ) \\theta (t) \\vec{d} + (I- \\tilde{Q} )\\theta (t) \\vec{d} - \\sum_{i=1}^{n} \\sum_{k=0}^{p_{i}-1} \\Big( \\sum_{j=1}^{p_{i}-k} \\big \\langle \\bullet , \\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}-k+1-j)} \\Big) \\vec{d} \\delta^{((k+1)N)} (t). \\end{equation*} Аналогично вектор-функции $\\vec{b} (t)$ (см. пункт \\ref{sec1}) введем в рассмотрение вектор-функцию $\\vec{e} (t)= \\Gamma^{2} U(\\Gamma t) (I-\\tilde{Q} ) \\theta (t) \\vec{d},$ элементы которой будем обозначать как $e_{l}(t),$ $l=\\overline{1,n}.$ Тогда, используя определенные ранее (пункт \\ref{sec2}) векторы $\\vec{h}$ и $\\vec{f},$ получим \\begin{equation*} \\vec{c} (t) = \\vec{e} (t) \\theta (t) +\\vec{h} \\theta (t) - \\vec{f} \\delta^{((k+1)N)} (t). \\end{equation*} Чтобы убедиться в том, что оператор-функция $W(t)$ является фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора $S,$ достаточно проверить выполнимость равенства $S\\ast W(t)=W(t)\\ast S =I\\delta(t).$ Учитывая вид дифференциального оператора $S$ и вид оператор-функции $W(t),$ получим \\begin{gather*} S \\ast W(t)= \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) \\Big) \\ast W(t)= \\\\ = \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) \\ast W(t) -A \\delta (t) \\ast W(t)= \\end{gather*} \\begin{gather*} = \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) \\ast \\Big( \\sum_{r=1}^{n} c_{r} (t) a_{r} -A^{-1} \\delta (t) \\Big) -A \\delta (t) \\ast \\Big( \\sum_{r=1}^{n} c_{r} (t) a_{r} -a^{-1} \\delta (t) \\Big)= \\\\ = \\sum_{l=1}^{n} \\sum_{r=1}^{n} \\left\\langle A^{-1} c^{(N)}_{r} a_{r} , \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} - \\sum_{l=1}^{n} \\left\\langle A^{-1} \\bullet , \\alpha_{l} \\right\\rangle \\delta^{(N)} (t) a_{l} - \\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) a_{l} +I \\delta (t) = \\\\ =\\sum_{l=1}^{n} \\left\\langle B \\left( \\begin{array}{c} c_{1}^{(N)} (t)\\\\ \\vdots \\\\ c_{n}^{(N)} (t) \\end{array} \\right) - \\left( \\begin{array}{c} g_{1} (t)\\\\ \\vdots \\\\ g_{n} \\end{array} \\right), \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} - \\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) a_{l} +I \\delta (t)= \\\\ =\\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) a_{l} -\\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) a_{l} +I \\delta (t) = I \\delta (t). \\end{gather*} Итак, $S\\ast W(t)=I\\delta(t).$ С другой стороны, \\begin{gather*} W(t)\\ast S= W(t) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) \\Big) = \\\\ = W(t) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) W(t) \\ast -A \\delta (t)\\Big) = \\\\ = \\Big( \\sum_{r=1}^{n} c_{r} (t) a_{r} -A^{-1} \\delta (t) \\Big) \\ast \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) - \\Big( \\sum_{r=1}^{n} c_{r} (t) a_{r} -A^{-1} \\delta (t) \\Big) \\ast A \\delta (t)= \\\\ = A^{-1} \\sum_{r=1}^{n} c_{r} (t) a_{r} \\ast \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} -A^{-1} \\delta (t) \\ast \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta (t) - \\\\ -A^{-1} \\sum_{r=1}^{n} c_{r} (t) a_{r} \\ast \\delta (t) +A^{-1} \\delta (t) \\ast A \\delta (t) = \\\\ =A^{-1} \\delta (t) \\ast \\Big( \\sum_{r=1}^{n} \\sum_{l=1}^{n} c_{r}^{(N)} (t) a_{r} \\ast \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} A^{-1} \\delta (t) - \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} A^{-1} \\delta^{(N)} (t) - \\\\ - \\sum_{r=1}{n} c_{r} (t) a_{r} \\Big) \\ast A \\delta (t) +I \\delta (t)= \\\\ =A^{-1} \\delta (t) \\ast \\bigg( \\sum_{l=1}^{n} \\bigg( B \\left( \\begin{array}{c} c_{1}^{(N)} (t)\\\\ \\vdots \\\\ c_{n}^{(N)} (t) \\end{array} \\right) - \\left( \\begin{array}{c} g_{1} (t)\\\\ \\vdots \\\\ g_{n} \\end{array} \\right) \\bigg)- \\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) \\bigg) a_{l} \\ast A \\delta (t) +I \\delta (t)= \\\\ =A^{-1} \\Big( \\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) -\\sum_{l=1}^{n} c_{l} (t) \\Big) a_{l} A \\delta (t) +I \\delta (t) = I \\delta (t). \\end{gather*} Таким образом, оператор-функция $W(t)$ удовлетворяет определению фундаментальной оператор-функции для дифференциального оператора $S$ и, следовательно, является фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора $N$-го порядка $S=\\underset{l=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t)$ в случае обратимости оператора $A.$ \\hfill$\\square$ %Теорема доказана. \\newpage Аналогично оператор-функциям $H(t)$ и $\\tilde{H} (t)$ (см. пункт \\ref{sec2}) определим оператор-функции \\begin{multline} H_{1} (t) =A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} (K(t) \\ast e_{l} (t) ) \\theta (t) a_{l} + A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} K(t) \\theta (t) a_{l} - A^{-1} k(t) \\theta (t) - \\\\ - A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} f_{l} K^{((k+1)N)} (t) \\theta (t) a_{l} , \\qquad{ \\ \\ \\ \\ \\ } \\label{eq:GEY4} \\end{multline} \\begin{multline} \\tilde{H}_{1} (t) =A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} ( e_{l} (t) \\ast K(t) ) \\theta (t) a_{l} + A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} K(t) \\theta (t) a_{l} - A^{-1} k(t) \\theta (t) - \\\\ - A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} f_{l} K^{((k+1)N)} (t) \\theta (t) a_{l}, \\qquad{ \\ \\ \\ \\ \\ } \\label{eq:GEY5} \\end{multline} где функции $e_{l}(t),$ $l=\\overline{1,n},$ являются элементами введенной при доказательстве теоремы \\ref{t3.1} вектор-функции $\\vec{e} (t.)$ \\begin{Lemma}\\label{l3.1} Пусть функция $K(t)$ удовлетворяет условию \\begin{equation} \\label{uttj8} K^{(m)}(0)=0, \\ \\ m=0,1,\\ldots,pN-1, \\ \\ p= \\underset{i= \\overline{1,n}}{max}(p_{i}), \\ \\ N\\geq 2. \\end{equation} Тогда оператор-функция $H_{1} (t)$ вида \\eqref{eq:GEY4} представима в виде \\begin{equation*} H_{1} (t) =K(t) \\theta (t) \\ast W(t). \\end{equation*} \\end{Lemma} \\proof Поскольку функция $K(t)$ удовлетворяет условиям \\eqref{uttj8}, то для оператор-функции $H_{1}(t)$ вида \\eqref{eq:GEY4} выполнено: \\begin{gather*} A^{-1}\\! \\sum_{l=1}^{n} (K(t) \\ast e_{l}(t)) \\theta (t) a_{l} +A^{-1}\\! \\sum_{l=1}^{n} h_{l} K(t) \\theta (t) a_{l} - A^{-1} K(t) \\theta (t) - A^{-1}\\! \\sum _{l=1}^{n} f_{l} K^{(k+1)} \\theta (t) a_{l}= \\\\ =A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} (K(t) \\theta (t)) \\ast (e_{l}(t) \\theta (t)) a_{l} +A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} (K(t) \\theta (t)) \\ast \\delta (t) a_{l} - \\\\ - A^{-1} (K(t) \\theta (t)) \\ast \\delta (t) - A^{-1} \\sum _{l=1}^{n} f_{l} \\Big( K^{(k+1)} \\theta (t) + \\sum_{m=0}^{(k+1)N-1} K^{(m)} (0) \\delta^{((k+1)N-1-m)} (t) \\Big) a_{l} . \\end{gather*} А, согласно свойству дифференцирования произведения непрерывной функции и функции Хевисайда (см. замечание \\ref{zam1.1}, \\ref{zam1.2}), получившееся представление оператор-функции $H_{1} (t)$ можно записать в виде \\begin{multline*} K(t) \\theta (t) \\ast \\Big( A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} e_{l}(t) \\theta (t) a_{l} +A^{-1} \\sum_{l=1}^{n} h_{l} \\delta (t) a_{l} - A^{-1} \\delta (t) - A^{-1} \\sum _{l=1}^{n} f_{l} \\delta^{(k+1)N} (t)) a_{l} \\Big) = \\\\ = K(t) \\theta (t) \\ast W(t). \\end{multline*} Таким образом, действительно, справедливо равенство $H(t)=K(t)\\theta(t)\\ast W(t).$ \\hfill$\\square$ %Лемма доказана. \\begin{Lemma}\\label{l3.2} Пусть функция $K(t)$ удовлетворяет условию \\eqref{uttj8}. Тогда оператор-функция $\\tilde{H}_{1}(t)$ вида \\eqref{eq:GEY5} представима в виде \\begin{equation*} \\tilde{H}_{1} (t) =W(t) \\ast K(t) \\theta (t). \\end{equation*} \\end{Lemma} \\proof Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы \\ref{l3.1}. \\hfill$\\square$ \\begin{Theorem}\\label{t3.2} Пусть функция $K(t)$ удовлетворяет условию \\eqref{uttj8}. Тогда интегро-дифференциальный оператор с производными от функционалов высокого порядка\\linebreak $L^{(N)}=\\underset{l=1}{\\overset{n}{\\sum}} \\left\\langle \\bullet , \\alpha_{l} \\right\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) -K(t) \\theta (t)$ на классе $K_{+}^{'}$ имеет фундаментальную оператор-функцию вида \\begin{equation*} E_{1} (t) = V(t) \\ast \\big(R_{1} (t) + I \\delta (t)\\big) = \\big(\\tilde{R}_{1} (t) + I \\delta (t) \\big) \\ast V(t), \\end{equation*} где функция $V(t)$ является фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора высокого порядка вида $B\\delta^{(N)}(t)-I\\delta (t),$ $R_{1}(t)$ является резольвентой ядра $H_{1}(t)$ вида \\eqref{eq:GEY4}, $\\tilde{R}_{1}(t)$ является резольвентой ядра $\\tilde{H}_{1}(t)$ вида \\eqref{eq:GEY5}. \\end{Theorem} \\proof Используя введенные обозначения и вид интегро-диф\\-фе\\-рен\\-ци\\-аль\\-но\\-го оператора $L^{(N)}$ для свертки $L^{(N)}\\ast E(t)$ при $E_{1}(t)=V(t)\\ast\\big(R_{1}(t)+I\\delta(t)\\big),$ согласно лемме \\ref{l3.1}, получим: \\begin{gather*} L^{(N)} \\ast E_{1} (t) =L^{(N)} \\ast \\big(V(t) \\ast (R_{1}(t) + I \\delta (t))\\big)= \\\\ =\\!\\Big(\\!\\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) \\!-\\!A \\delta (t) \\Big)\\! \\ast V(t) \\ast \\big(R_{1}(t) +I \\delta (t)\\big)\\! -\\! K(t) \\theta (t) \\ast V(t) \\ast \\big(R_{1} (t) +I \\delta (t)\\big)\\! = \\\\ =I \\delta (t) \\ast (R_{1} (t) + I \\delta (t)) -R_{1} (t) =I \\delta (t). \\end{gather*} А согласно лемме \\ref{l3.2} для свертки $E_{1}(t)\\ast L^{(N)}$ получим: \\begin{gather*} E_{1}(t) \\ast L^{(N)} = V(t) \\ast \\big(R_{1} (t) + I \\delta (t)\\big) \\ast L^{(N)}= \\\\ =V(t) \\ast \\big(R_{1} (t) +I \\delta (t)\\big) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) - K(t) \\theta (t)\\Big)= \\\\ =V(t)\\ast\\big(R_{1} (t) +I \\delta (t)\\big)\\!\\ast\\!\\Big(\\!\\sum_{l=1}^{n}\\!\\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t)\\!\\Big)\\!-\\! V(t)\\ast\\big(R_{1} (t) +I \\delta (t)\\big)\\ast K(t) \\theta (t)\\!= \\\\ = (\\tilde{R}_{1} (t) +I \\delta (t)) \\ast V(t) \\ast \\Big( \\sum_{l=1}^{n} \\big\\langle \\bullet, \\alpha_{l} \\big\\rangle a_{l} \\delta^{(N)} (t) -A \\delta (t) \\Big)- \\tilde{R}_{1} (t)= \\\\ =\\big(\\tilde{R}_{1} (t) +I \\delta (t)\\big) \\ast I \\delta (t) -\\tilde{R}_{1} (t) =I \\delta (t). \\end{gather*} Таким образом, доказано, что оператор-функция $E_{1}(t)$ удовлетворяет определению фундаментальной оператор-функции, а именно $ L^{(N)} \\ast E_{1}(t) \\ast u(t) =u(t),$ $\\forall u(t) \\in K_{+}^{'} (E_{2}),$ $E_{1} (t) \\ast L^{(N)} \\ast w(t) =w(t),$ $\\forall w(t) \\in K_{+}^{'} (E_{1}).$ \\hfill$\\square$ %Теорема доказана. \\newpage \\begin{Remark}\\label{zam3.1} Аналогично \\cite{1}, условия \\eqref{uttj8} в теореме \\ref{t3.2} можно заменить на одно из следующих условий: \\begin{itemize} \\item[1.]$\\varphi_{i}^{(j)}\\in N(K^{(m)}(0)),$ $m=0,1,\\ldots,p N-1,$ $p=\\underset{i=\\overline{1,n}}{max} (p_{i}),$ $N\\geq 1;$ \\item[2.]$\\psi_{i}^{(j)}\\in R^{\\perp}(K^{(m)}(0)),$ $m=0,1,\\ldots,p N-1,$ $p=\\underset{i=\\overline{1,n}}{max}(p_{i}),$ $N\\geq 1;$ \\item[3.]$\\psi_{i}^{(j)}\\in N(K^{*(m)}0)),$ $m=0,1,\\ldots, p N-1,$ $p=\\underset{i=\\overline{1,n}}{max}(p_{i}),$ $N\\geq 1.$ \\end{itemize} \\end{Remark} \\proof Действительно, условия \\eqref{uttj8} влияют только на сингулярную составляющую сверток $$K(t)\\theta(t)\\ast W(t), \\ \\ W(t)\\ast K(t)\\theta(t), \\ \\ K(t)\\theta(t)\\ast M(t), \\ \\ M(t)\\ast K(t)\\theta(t),$$ которая имеет вид \\begin{equation*} \\sum_{l=1}^{n} f_{l} \\Big( \\sum_{m=0}^{\\,(k+1)N-1} K^{(m)} (0) \\delta^{((k+1)N-1-m)} (t) \\Big) a_{l}, \\end{equation*} или учитывая структуру элементов $f_{l},$ $l=\\overline{1,n}$ (см.~пункт \\ref{sec2}), вид \\begin{equation*} \\sum_{l=1}^{n} \\Big( \\sum_{i=1}^{n} \\Big[ \\sum_{k=0}^{p_{i}-1} \\sum_{j=1}^{p_{i}-k} \\big\\langle \\bullet , \\psi_{i}^{(j)} \\big\\rangle \\varphi_{i}^{(p_{i}-k+1-j)} \\Big] \\big\\langle A^{-1} \\bullet , \\alpha_{l} \\big\\rangle \\Big) \\sum_{m=0}^{(k+1)N-1} K^{(m)} (0) \\delta^{((k+1)N-1-m)} (t) a_{l}. \\end{equation*} Остается заметить, что условия \\eqref{uttj8} обеспечивают равенство нулю этого сингулярного выражения, для чего достаточно выполнения любого из приведенных условий. \\hfill$\\square$

About the authors

Elena Yu. Grazhdantseva

Irkutsk State University

Email: grelyur@mail.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Mathematical Analysis and Differential Equations Department 1 Karla Marksa St., Irkutsk 664003, Russian Federation

References

Supplementary files