Существование и устойчивость периодических решений уравнения нейронного поля

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В статье изучаются существование и устойчивость стационарных периодических решений модели нейронного поля, а именно интегрально-дифференциального уравнения типа Гаммерштейна. Полагая, что функция активации - ступенчатая функция, а ядро оператора - быстроубывающая функция, мы формулируем необходимые и достаточные условия существования особого класса решений - 1-бамповые (выпуклые) периодические решения. Далее мы изучаем устойчивость этих решений с помощью спектра производной Фреше соответствующего оператора Гаммерштейна. Мы доказываем, что этот спектр согласуется с точностью до нуля со спектром блочного оператора Лорана. Также показываем, что ненулевой спектр состоит только из собственных значений, и получаем аналитические выражения, как для собственных значений, так и для собственных функций. Кроме того в статье рассмотрены примеры.

Об авторах

Карина Колодина

Норвежский университет естественных наук

Email: karina.a.kolodina@gmail.com
кандидат физико-математических наук 5003, Норвегия, г. Ос ПО 5003, №-1432

Вадим Кострыкин

Университет Майнца

доктор физико-математических наук, профессор 55099, Германия, г. Майнц, ул. Штаудингера, 9

Анна Олейник

Бергенский университет

Email: anna.oleynik@uib.no
кандидат физико-математических наук, доцент Департамента Математик 7803, Норвегия, г. Берген ПО 7803, №-5020

Список литературы

  1. Shun-ichi Amari, “Dynamics of pattern formation in lateral-inhibition type neural fields”, Biological Cybernetics, 27:2 (1977), 77-87.
  2. S. Coombes, “Waves, bumps, and patterns in neural field theories”, Biological Cybernetics, 93:2 (2005), 91-108.
  3. B. Ermentrout, “Neural networks as spatio-temporal pattern-forming systems”, Reports on Progress in Physics, 61:4 (1998), 353-430.
  4. S. Coombes, P. Beim Graben, R. Potthast, J. Wright, Neural Fields: Theory and Applications, Springer, 2014.
  5. R. Potthast, P. Beim Graben, “Existence and properties of solutions for neural field equations”, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 33:8 (2010), 935-949.
  6. B. Ermentrout, “The analysis of synaptically generated traveling waves”, Journal of Computational Neuroscience, 5:2 (1998), 191-208.
  7. S. Coombes, H. Schmidt, “Neural fields with sigmoidal firing rates: approximate solutions”, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 28:4, Trends and Developments in DE/Dynamics (2010), 1369-1379.
  8. E.P. Krisner, “Periodic solutions of a one dimensional wilson-cowan type model”, Electronic Journal of Differential Equations, 102 (2007), 1-22.
  9. C.R. Laing, W.C. Troy, B. Gutkin, B. Ermentrout, “Multiple bumps in a neuronal model of working memory”, SIAM Journal on Applied Mathematics, 63:1 (2002), 62-97.
  10. A. Oleynik, A. Ponosov, V. Kostrykin, A.V. Sobolev, “Spatially localized solutions of the hammerstein equation with sigmoid type of nonlinearity”, Journal of Differential Equations, 261:10 (2016), 5844-5874.
  11. A.J. Elvin, C.R. Laing, R.I. McLachlan, M.G. Roberts, “Exploiting the hamiltonian structure of a neural field model”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 239:9 (2010), 537-546.
  12. L.P. Sil’Nikov, “A case of the existence of a denumerable set of periodic motions”, Sov. Math. Dokl., 6 (1965), 163-166.
  13. L.P. Sil’Nikov, “A contribution to the problem of the structure of an extended neighborhood of a rough equilibrium state of saddle-focus type”, Mathematics of the USSR-Sbornik, 10:1 (1970), 91.
  14. P. Glendinning, C. Sparrow, “Local and global behavior near homoclinic orbits”, Journal of Statistical Physics, 35:5 (1984), 645-696.
  15. R.L. Devaney, “Homoclinic orbits in hamiltonian systems”, Journal of Differential Equations, 21:2 (1976), 431-438.
  16. Paul C. Bressloff, “Spatiotemporal dynamics of continuum neural fields”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 45:3 (2011), 033001.
  17. J. Wyller, P. Blomquist, G. T. Einevoll, “Turing instability and pattern formation in a twopopulation neuronal network model”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 225:1 (2007), 75-93.
  18. E.P. Krisner, “The link between integral equations and higher order odes”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 291:1 (2004), 165-179.
  19. S. Coombes, M.R. Owen, “Evans functions for integral neural field equations with heaviside firing rate function”, SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 3:4 (2004), 574-600.
  20. P. Blomquist, J. Wyller, G.T. Einevoll, “Localized activity patterns in two-population neuronal networks”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 206:3 (2005), 180-212.
  21. A. Oleynik, J. Wyller, T. Tetzlaff, G.T. Einevoll, “Stability of bumps in a two-population neuralfield model with quasi-power temporal kernels”, Nonlinear Analysis: Real World applications, 12:6 (2011), 3073-3094.
  22. E. Burlakov, A. Ponosov, J. Wyller, “Stationary solutions of continuous and discontinuous neural field equations”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 444:1 (2016), 47-68.
  23. A. Oleynik, V. Kostrykin, A. Sobolev, “Lyapunov Stability of Bumps in of One-Population Neural Field Equation”, Work in Progress, 2015.
  24. A. Oleynik, A. Ponosov, J. Wyller, “On the properties of nonlinear nonlocal operators arising in neural field models”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 398:1 (2013), 335-351.
  25. I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek, Classes of Linear Operators. V. 63, Birkhäuser, Basel-Boston-Berlin, 2013.
  26. A. Frazho, W. Bhosri, An Operator Perspective on Signals and Systems. V. 204: Operator Theory: Advances and Applications, Birkhäuser, Basel-Boston-Berlin, 2010, 429 pp.
  27. C.V.M. van der Mee, S. Seatzu, G. Rodriguez, “Spectral factorization of bi-infinite multi-index block Toeplitz matrices”, Linear Algebra and its Applications, 343 (2002), 355-380.
  28. L. Reichel, L.N. Trefethen, “Eigenvalues and pseudo-eigenvalues of Toeplitz matrices”, Linear Algebra and its Applications, 162 (1992), 153-185.
  29. R. Denk, M. Möller, C. Tretter, “The Spectrum of the Multiplication Operator Associated with a Family of Operators in a Banach Space”, Operator Theory in Krein Spaces and Nonlinear Eigenvalue Problems. V. 162: Operator Theory: Advances and Applications, Birkhäuser, Basel-Boston-Berlin, 2005, 103-116.
  30. O. Toeplitz, “Zur theorie der quadratischen und bilinearen formen vonunendlichvielen veränderlichen”, Mathematische Annalen, 70:3 (1911), 351-376.
  31. M. Lindner, “Fredholmness and index of operators in the wiener algebra are independednt on the underlying space”, Operators and Matrices, 2:2 (2008), 297-306.
  32. M. Seidel, “Fredholm theory for band-dominated and related operators: a survey”, Linear Algebra and its Applications, 445 (2014), 373-394.
  33. V. Kostrykin, A. Oleynik, “On the existence of unstable bumps in neural networks”, Integral Equations and Operator Theory, 75:4 (2013), 445-458.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать


Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).