Inclusions with mappings acting from a metric space to a space with distance

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The article deals with an inclusion in which a multivalued mapping acts from a metric space ( X, ρ) into a set Y with distance d . This distance satisfies only the first axiom of the metric: d y 1 , y 2 is equal to zero if and only if y1 = y2 . The distance does not have to be symmetric or to satisfy the triangle inequality. For the space ( Y, d ) , the simplest concepts (of a ball, convergence, the distance from a point to a set) are defined, and for a multivalued map G : X⇉Y , the sets of covering, Lipschitz and closedness are introduced. In these terms (allowing us to adapt the classical conditions of covering, Lipschitz property and closedness of mappings of metric spaces to the maps with values in ( Y, d ) and to weaken such conditions), a theorem on solvability of the inclusion F(x , x)∋ y is formulated, and an estimate for the deviation in the space (X , ρ) of the set of solutions from a given element x0 ∈ X is given. The main conditions of the obtained statement are the following: for any x from some ball, the pair ( x, y) belongs to the α -covering set of the mapping F (·, x) and to the β -Lipschitz set of the mapping Fx , ∙ , where α>β . The proof of the corresponding statement is based on the construction of the sequences { xn }⊂ X and { yn }⊂ Y satisfying the relations y n ∈Fx n ,x n , y ∈Fx n+1 ,x n , αρ (x n+1 , x n )≤d(y , y n )≤ βρ(x n , x n-1 ) . Also, in the paper, we obtain sufficient conditions for the stability of solutions of the considered inclusion to changes in the multivalued mapping F and in the element y .

About the authors

Wassim Merchela

Derzhavin Tambov State University; St. Petersburg University

Email: merchela.wassim@gmail.com
Post-Graduate Student 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation; 7/9 Universitetskaya nab., St. Petersburg 1990342, Russian Federation

References

  1. А.В. Дмитрук, А.А. Милютин, Н.П. Осмоловский, “Теорема Люстерника и теория экстремума”, УМН, 35:6(216) (1980), 11-46.
  2. А.В. Арутюнов, “Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки”, Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151-155.
  3. A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, Z.T. Zhukovskaya, “Kantorovich’s Fixed Point Theorem and Coincidence Point Theorems for Mappings in Vector Metric Spaces”, Set-Valued Var. Anal., 2021.
  4. B. Zhang, W. Ouyang, “Coincidence points for set-valued mappings with directional regularity”, Fixed Point Theory, 22:1 (2021), 391-406.
  5. Ю.Н. Захарян, Т.Н. Фоменко, “О сохранении совпадений у однопараметрического семейства пар многозначных отображений типа Замфиреску”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. мех., 2021, №1, 28-34.
  6. Е.С. Жуковский, “О точках совпадения векторных отображений”, Изв. вузов. Матем., 2016, №10, 14-28.
  7. A. Arutyunov, E. Avakov, B. Gel‘man, A. Dmitruk, V. Obukhovskii, “Locally covering maps in metric spaces and coincidence points”, J. Fixed Points Theory and Applications, 5:1 (2009), 105-127.
  8. А.В. Арутюнов, “Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений”, Матем. заметки, 86:2 (2009), 163-169.
  9. A.V. Arutyunov, E.R. Avakov, S.E. Zhukovskiy, “Stability theorems for estimating the distance to a set of coincidence points”, SIAM Journal on Optimization, 25:2 (2015), 807-828.
  10. Е.Р. Аваков, А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, “Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 45:5 (2009), 613-634.
  11. A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 75:3 (2012), 1026-1044.
  12. А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 47:11 (2011), 1523-1537.
  13. Aram Arutyunov, Valeriano Antunes de Oliveira, Fernando Lobo Pereira, Evgeniy Zhukovskiy, Sergey Zhukovskiy, “On the solvability of implicit differential inclusions”, Applicable Analysis, 94:1 (2015), 129-143.
  14. Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 49:4 (2013), 439-455.
  15. Е.С. Жуковский, “О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах”, Сиб. матем. журн., 57:2 (2016), 297-311.
  16. Е.С. Жуковский, “О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств”, Матем. заметки, 100:3 (2016), 344-362.
  17. А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “Теория -квазиметрических пространств и точки совпадения”, Докл. РАН., 469:5 (2016), 527-531.
  18. Е.С. Жуковский, “Неподвижные точки сжимающих отображений -квазиметрических пространств”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1338-1350.
  19. Т.Н. Фоменко, “Существование нулей многозначных функционалов, совпадения и неподвижные точки в -квазиметрическом пространстве”, Матем. заметки., 110:4 (2021), 598-609.
  20. Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений”, Уфимский матемтический журнал, 12:4 (2020), 42-55.
  21. В. Мерчела, “К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 65-73.
  22. С. Бенараб, Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 52-63.
  23. Т.В. Жуковская, В. Мерчела, А.И. Шиндяпин, “О точках совпадения отображений в обобщенных метрических пространствах”, Вестник российских университетов. Математика., 26:4 (2020), 52-63.
  24. Е.О. Бурлаков, Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский, Н.П. Пучков, “Приложения накрывающих отображений в теории неявных дифференциальных уравнений”, Материалы IV Международной научной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики". Кабардино-Балкарская республика, Нальчик, Приэльбрусье, 22-26 мая 2018 г. Часть I, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 165, ВИНИТИ РАН, М., 2019, 21-33.
  25. А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О мощности множества точек совпадения отображений метрических, нормированных и частично упорядоченных пространств”, Матем. сб., 209:8 (2018), 3-28.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».