Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с запаздыванием: общие свойства и особенности

Рассматривается дифференциальное уравнение с запаздыванием 

$x ̇\left(t\right)=f(t,x(h\left(t\right) ) ), t\ge 0, x\left(s\right)=\phi \left(s\right), s<0$,

относительно неизвестной функции $x$, абсолютно непрерывной на каждом конечном отрезке. Предполагается, что функция $f:R_{+}\times R\to R$ суперпозиционно измерима, функции $\phi :(-\infty ,0)\to R$, $h:R_{+}\to R$ измеримы и при п. в. $t\ge 0$ выполнено $h\left(t\right)\le t$. Если имеет место более обременительное неравенство $h\left(t\right)\le t-\tau$ при некотором $\tau >0$, то задача Коши для этого уравнения однозначно разрешима и любое решение продолжаемо на всю полуось $R_{+}$. В то же время задача Коши для соответствующего дифференциального уравнения

$x ̇\left(t\right)=f(t,x(t) ), t\ge 0$,

как известно, может иметь беcконечно много решений, а максимальный интервал существования решений может быть конечным. В статье рассмотрен вопрос, какими из перечисленных свойств обладает уравнение с запаздыванием (единственность решения или бесконечность множества решений, бесконечность или конечность максимального интервала существования решений), если функция $h$ имеет всего лишь одну «критическую» точку $t_0\ge 0$ — точку, для которой мера множества $t\in (t_0-\epsilon ,t_0+\epsilon )\cap R_{+}:h\left(t\right)>t-\epsilon$ является положительной при любом $\epsilon >0$. Оказывается, что при такой функции запаздывания свойства решений близки свойствам решений обыкновенного дифференциального уравнения. Кроме того, рассмотрена задача о зависимости решений уравнения с запаздыванием от функции $h$.