Email this article EUCLIDEAN DISTANCE TO A CLOSED SET AS A MINIMAX SOLUTION OF THE DIRICHLET PROBLEM FOR THE HAMILTON-JACOBI EQUATION
- Authors: Uspenskii A.A.1, Lebedev P.D.1
-
Affiliations:
- N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences
- Issue: Vol 23, No 124 (2018)
- Pages: 797-804
- Section: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/2686-9667/article/view/297288
- DOI: https://doi.org/10.20310/1810-0198-2018-23-124-797-804
- ID: 297288
Cite item
Full Text
Abstract
A combined (jointing analytical methods and computational procedures) approach to the construction of solutions in a class of boundary-value problems for a Hamiltonian-type equation is proposed. In the class of problems under consideration, the minimax (generalized) solution coincides with the Euclidean distance to the boundary set. The properties of this function are studied depending on the geometry of the boundary set and the differential properties of its boundary. Methods are developed for detecting pseudo-vertices of a boundary set and for constructing singular solution sets with their help. The methods are based on the properties of local diffeomorphisms and use partial one-sided limits. The effectiveness of the research approaches developed is illustrated by the example of solving a planar timecontrol problem for the case of a nonconvex target set with boundary of variable smoothness.
Full Text
Задача вычисления евклидова расстояния до замкнутого множества конечномерного пространства актуальна для различных разделов математики и приложений, что позволяет отнести ее к числу проблем, заслуживающих внимания. В данном случае эта проблема исследуется в контексте решения плоской краевой задачи Дирихле для уравнения Гамильтона-Якоби:×
About the authors
Alexandr Alexandrovich Uspenskii
N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences
Email: uspen@imm.uran.ru
Doctor of Physics and Mathematics, Head of a Sector 16 S. Kovalevskaya St., Yekaterinburg 620990, Russian Federation
Pavel Dmitrievich Lebedev
N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences
Email: pleb@yandex.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Senior Scientist 16 S. Kovalevskaya St., Yekaterinburg 620990, Russian Federation
References
- Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва; Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2003. 336 с.
- Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
- Лебедев П.Д., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Построение минимаксного решения уравнения типа эйконала // Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН. 2008. Т. 14. № 2. С. 182-191.
- Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. 384 с.
- Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. М.: Мир, 1988. 262 с.
- Успенский А.А., Лебедев П.Д. Условия трансверсальности ветвей решения нелинейного уравнения в задаче быстродействия с круговой индикатрисой // Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН. 2008. Т. 14. № 4. С. 82-100.
- Успенский А.А., Лебедев П.Д. О множестве предельных значений локальных диффеоморфизмов при эволюции волновых фронтов // Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 171-185.
- Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение сингулярных кривых для обобщенных решений уравнений типа эйконала в условиях разрыва кривизны границы краевого множества // Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН. 2016. Т. 22. № 1. C. 282-293.
- Успенский А.А. Необходимые условия существования псевдовершин краевого множества в задаче Дирихле для уравнения эйконала // Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН. 2015. Т. 21. № 1. С. 250-263.
- Успенский А.А., Лебедев П.Д. Выявление сингулярности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнений типа эйконала в условиях минимальной гладкости границы краевого множества // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. Ижевск, 2018. Т. 28. Вып. 1. С. 59-73.
- Успенский А.А. Формулы исчисления негладких особенностей функции оптимального результата в задаче быстродействия // Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН. 2014. Т. 20. № 3. С. 276-290.
- Ушаков В.Н., Успенский А.А., Малев А.Г. Оценка дефекта стабильности множества позиционного поглощения, подвергнутого дискриминантным преобразованиям // Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН. 2011. Т. 17. № 2. С. 209-224.
- Успенский А.А., Лебедев П.Д. Процедуры вычисления меры невыпуклости плоского множества // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. № 3. С. 431-440.
Supplementary files
