Построение фундаментального решения для одного вырождающегося эллиптического уравнения с оператором Бесселя

Полный текст

Введение В последние годы уделяется большое внимание изучению неклассических уравнений в частных производных. С одной стороны, такие уравнения мало изучены, а с другой стороны, все чаще обнаруживаются их приложения к различным задачам механики, физики и техники. В данной статье рассматривается неклассическое вырождающееся эллиптическое уравнение относительно функции u(x1; : : : ; xp) , p > 3 , с отрицательным параметром MB[u] def = xmp x0u + Bxp 1u + @2u @x2 p 2xmp u = 0; (1) где по одной из переменных действует оператор Бесселя Bxp 1 = @2 @x2 p 1 + k xp 1 @ @xp 1 , x0 = pP 2 l=1 @2 @x2l лапласиан, 2 R, m > 0 некоторые постоянные. Эллиптические уравнения, по одной или нескольким переменным которых действует оператор Бесселя Bxl = @2 @x2l + k xl @ @xl ; были названы И. А. Киприяновым в [1] B-эллиптическими. Построение фундаментальных решений для новых классов дифференциаль- ных уравнений весьма трудная, но актуальная задача. Фундаментальные результаты в этом направлении для B-эллиптических уравнений принадлежат И. А. Киприянову [1]. Полученные им результаты затем развивались и обобщались В. В. Катраховым [2], А.Ю. Сазоновым [3]. Исследование сингулярных дифференциальных уравнений с опе- ратором Бесселя было продолжено в работах Л. Н. Ляхова [4], [5]. Построением фун- даментальных решений для некоторых вырождающихся B-эллиптических уравнений, ПОСТРОЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 49 а также исследованием краевых задач для этих уравнений занимались Ф. Г. Мухли- сов [6], А.Ш. Хисматуллин [7], Э. В. Чеботарева [8], И. Б. Гарипов, Р. М. Мавлявиев [9] и др. Вопросы постановки корректных краевых задач и разработки конструктивных мето- дов их решения для уравнения (1) не изучены, так как применение метода потенциала для решения краевых задач требует знания фундаментального решения, которое, по нашим сведениям, еще не построено. 1. Основные результаты Пусть Ep p -мерное евклидово пространство, E++ p = fx = (x1; : : : ; xp) 2 Ep j xp 1 > 0; xp > 0g , D конечная область в E++ p , ограниченная поверхностью и частями 0 и 1 плоскостей xp 1 = 0 , xp = 0 , соответственно,De = E++ p nD. Для точек евклидова пространства введем обозначения: x00 = (x1; : : : ; xp 2) , x0 = (x1; : : : ; xp 1) = = (x00; xp 1) , x = (x1; : : : ; xp) = (x0; xp) = (x00; xp 1; xp) . Обозначим через C1 0;Bp 1(E++ p ) множество функций, определенных на E++ p , беско- нечное число раз непрерывно дифференцируемых, финитных в E++ p и удовлетворяю- щих условию @u @xp 1 = o(1) при xp 1 ! 0 . О п р е д е л е н и е 1. Функция Z(x; x0) называется фундаментальным реше- нием уравнения (1) с особенностью в точке x0 2 E++ p , если для некоторого k > 0 и для любой функции ' 2 C1 0;Bp 1(E++ p ) такой, что x0 2 Supp ' , выполняется Z E++ p Z(x; x0)MB['(x)]xkp 1 dx = '(x0): (2) Приступим к построению фундаментального решения уравнения (1). С помощью замены переменных по формулам l = xl; l = 1; p 1; p = (1 )x 1 1 p (3) уравнение (1) приведем к B-эллиптическому уравнению с отрицательным параметром 00u + Bp 1u + @2u @2 p + p @u @p 2u = 0; (4) где 00 = (1; 2; : : : ; p 2) , = m m+2 . Ясно, что 0 < < 1 при m > 0 . Ищем решение уравнения (4) в виде u() = v(r); 50 Н. А. Ибрагимова где r = s Pp l=1 2 l . Относительно v получаем уравнение d2v dr2 + p + k + 1 r dv dr 2v = 0: (5) С помощью замены переменных по формулам v(r) = t W(t); r = t ; = p + k + 2 2 (6) уравнение (5) сводим к уравнению Бесселя от чисто мнимого аргумента t2 @2W(t) @t2 + t @W(t) @t t2 + 2 W(t) = 0: (7) Известно [10], что частными решениями уравнения (7) являются функция Бесселя от чисто мнимого аргумента I(t) = 1P m=0 t 2 +2m (m + 1) ( + m + 1) и функция Макдональда K(t) = 2 I(t) I (t) sin : (8) Возвращаясь в (8) к переменной r , с учетом формул (6), получим частное решение уравнения (5) v(r) = r K(r); (9) где некоторая постоянная, подлежащая определению. Из асимптотического пред- ставления функции Макдональда на бесконечности следует, что для функции (9) при r ! 1 справедлива оценка v(r) = O e r : (10) Из разложения функции Макдональда в степенной ряд следует, что функция v может быть представлена в виде v(r) = () 21 r 2 + (r); (11) где (r) регулярная функция в E++ p . Функция (11) является решением уравнения (4), которое имеет в начале координат степенную особенность вида r 2 . Для получения решения уравнения (4) с особенностью в точке (00 0 ; 0; 0p) 2 E++ p применим к функции (11) оператор обобщенного сдвига [11] Z (00; p 1; p; 00 0 ; 0; 0p) = ()C 21 Z 0 j00 00 0 j2 + 2 p 1+ +2 p + 2 0p 2p0p cos ' sin 1 ' d' + (00; p 1; p; 00 0 ; 0; 0p) ; ПОСТРОЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 51 где C = ( +1 2 ) p ( 2 ) , (00; p 1; p; 00 0 ; 0; 0p) регулярная в точке (00 0 ; 0; 0p) функция. Имеем Z (00; p 1; p; 00 0 ; 0; 0p) = C 2 p+k 2 2 22 (p0p) 2 r2 p k e0 + g2 (00; p 1; p; 00 0 ; 0; 0p) ; (12) где r2 e0 = j00 00 0 j2 + 2 p 1 + (p 0p)2 . Возвращаясь в (12) к переменной x , с учетом формул (3), получим Z (x00; xp 1; xp; x00 0; 0; x0p) = C (m + 2) 2 p+k 2 2 22 + (xpx0p) m 4 2 p k + g2 (x00; xp 1; xp; x00 0; 0; x0p) ; (13) где = r jx00 x00 0j2 + x2 p 1 + 4 (m+2)2 x m+2 2 p x m+2 2 0p 2 . Отсюда следует, что решение (13) уравнения (1) имеет в точках координатной плоскости xp 1 = 0 степенную особенность вида 2 p k . Применим к функции (13) оператор обобщенного сдвига Z(x; x0) = C Ck(m + 2) 2 p+k 2 2 22 + (xpx0p) m 4 Z 0 h jx00 x00 0j2 + x2 p 1 + x2 0p 1 2xp 1x0p 1 cos ' + 4 (m + 2)2 x m+2 2 p x m+2 2 0p 2 2 p k 2 sink 1 ' d' + g 2(x; x0); (14) где Ck = ( k+1 2 ) p ( k 2 ) , а g 2(x; x0) регулярная в точке x0 функция. П р е д л о ж е н и е 1. Z(x; x0) допускает при xx0 ! 0 оценку Z(x; x0) = O 2 p xx0 ; где 2 xx0 = jx0 x0 0j2 + 4 (m+2)2 x m+2 2 p x m+2 2 0p 2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим в (14) подынтегральную функцию jx00 x00 0j2 + x2 p 1 + x2 0p 1 2xp 1x0p 1 cos ' + 4 (m + 2)2 x m+2 2 p x m+2 2 0p 2 2 p k 2 = = h jx00 x00 0j2 + x2 p 1 + x2 0p 1 2xp 1x0p 1 + 2xp 1x0p 1(1 cos ') + + 4 (m + 2)2 x m+2 2 p x m+2 2 0p 2 2 p k 2 = 2 xx0 + 4xp 1x0p 1 sin2 ' 2 2 p k 2 : 52 Н. А. Ибрагимова Тогда интеграл в (14) запишется в виде I = Z 0 h jx00 x00 0j2 + x2 p 1 + x2 0p 1 2xp 1x0p 1 cos ' + + 4 (m + 2)2 x m+2 2 p x m+2 2 0p 2 2 p k 2 sink 1 ' d' = = Z 0 2 xx0 + 4xp 1x0p 1 sin2 ' 2 2 p k 2 sink 1 ' d' = = (xp 1x0p 1) 2 p k 2 Z 0 !2 + 4 sin2 ' 2 2 p k 2 sink 1 ' d'; (15) где !2 = 2 xx0 xp 1x0p 1 . Разность между интегралом (15) и интегралом (xp 1x0p 1) 2 p k 2 Z 0 !2 + '22 p k 2 'k 1d' является регулярной функцией в E++ p . Обозначим ее через g3(x; x0) . Тогда I можно представить в виде I = (xp 1x0p 1) 2 p k 2 Z 0 !2 + '22 p k 2 'k 1d' + g3(x; x0): (16) Заменой ' = !t интеграл (16) приводится к виду I = (xp 1x0p 1) 2 p k 2 !2 p Z! 0 1 + t22 p k 2 tk 1dt + g3(x; x0) = = (xp 1x0p 1) 2 p k 2 2 p xx0 (xp 1x0p 1) 2 p 2 Z! 0 1 + t22 p k 2 tk 1dt + g3(x; x0) = = (xp 1x0p 1) k 2 2 p xx0 Z! 0 1 + t22 p k 2 tk 1dt + g3(x; x0) = = (xp 1x0p 1) k 2 2 p xx0 [I1 I2] + g3(x; x0); где I1 = 1R 0 (1 + t2) 2 p k 2 tk 1dt , I2 = 1R ! (1 + t2) 2 p k 2 tk 1dt . ПОСТРОЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 53 С помощью известной формулы (см. [12]): Z1 0 x 1dx (p + qx)n+1 = 1 pn+1 p q n + 1 (n + 1) ; 0 < < n + 1; (17) интеграл I1 запишется в виде I1 = 1 2 k 2 p 2 2 p+k 2 2 : Разлагая подынтегральную функцию интеграла I2 в степенной ряд, получим tk 1 1 + t22 p k 2 = t1 p 1 + 1 t2 2 p k 2 = t1 p 1 + 2 p k 2 t 2 + + 2 p k 2 ( 2 p k 2 1) 2! t 4 2 p k 2 ( 2 p k 2 1)(2 p k 2 2) 3! t 6 + : : : # = = t1 p + 2 p k 2 t (p+1) 2 p k 2 p+k 2 2! t (p+3) + 2 p k 2 p+k 2 p+k+2 2 3! t (p+5) + : : : Этот ряд сходится равномерно в промежутке ! ;1 ; поэтому его можно интегриро- вать в этом промежутке почленно. В результате получим I = k 2 p 2 2 2 p+k 2 2 (xp 1x0p 1) k 2 2 p xx0 + g4(x; x0): Отсюда и из (14) следует, что Z(x; x0) = C Ck(m + 2) 2 k 2 p 2 2 23 + (xpx0p) m 4 (xp 1x0p 1) k 2 2 p xx0 + Z(x; x0); (18) где Z(x; x0) регулярная функция в E++ p . Докажем, что при определенном значении постоянной функция (14) удовлетворя- ет равенству (2) и, следовательно, является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке x0 2 E++ p . Для этого получим формулы Грина для оператора MB . Обозначим через Ck Bl(D) множество функций класса Ck(D) таких, что @ (x) @xl = o(1) при xl ! 0; l = 1; p: Пусть функции u; v 2 C2B p(D)\C2 Bp 1(D) \C1(D) . Непосредственным вычислением можно убедится, что имеет место тождество vMB[u]xkp 1 + xmp Xp 1 l=1 @v @xl @u @xl + @v @xp @u @xp ! xkp 1 = 54 Н. А. Ибрагимова = Xp 1 l=1 @ @xl xkp 1xmp v @u @xl + @ @xp xkp 1v @u @xp 2xkp 1xmp uv: Интегрируя обе части этого тождества по области D и пользуясь формулой Остро- градского, получаем Z D vMB[u]xkp 1dx + Z D xmp Xp 1 l=1 @v @xl @u @xl + @v @xp @u @xp ! xk p 1dx = = Z vA[u]k p 1d 2 Z D uvxmp xk p 1dx; (19) где A = m p pP 1 l=1 cos(n; l) @ @l +cos(n; p) @ @p конормальная производная, n единичный вектор внешней нормали к границе. Формула (19) называется первой формулой Грина для оператора MB . Меняя в формуле (19) местами u и v , получим Z D uMB[v]xkp 1dx + Z D xmp Xp 1 l=1 @v @xl @u @xl + @v @xp @u @xp ! xk p 1dx = = Z uA[v]k p 1d 2 Z D uvxmp xkp 1dx: Вычитая это равенство из (19), получаем вторую формулу Грина для оператора MB : Z D vMB[u] uMB[v] xk p 1dx = Z vA[u] uA[v] k p 1d : (20) Пусть ' 2 C1 0;Bp 1(E++ p ) , x0 2 Supp ' фиксированная точка, Sx0" сфера с цент- ром в точке x0 и радиуса " такая, что Sx0" E++ p ; S+ R = fx 2 E++ p : jxj = R; xp 1 > 0; xp > 0g часть сферы, принадлежащая E++ p с центром в начале координат, такая, что Supp' Q+ R; где Q+ R часть шара в E++ p ; ограниченная S+ R . Обозначим через Q+ "R область, ограниченную S+ R , Sx0" и частями плоскостей xp 1 = 0 , xp = 0 . Применяя к функциям Z(x; x0) и '(x) вторую формулу Грина (20) в области Q+ "R , с учетом того, что MB [Z(x; x0)] = 0 в Q+ "R , получим Z Q+ "R Z(x; x0)MB['(x)]xkp 1dx = I0 " + I00 " ; (21) ПОСТРОЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 55 где I0" = R Sx0" Z(x; x0)A['(x)]xkp 1dSx0" , I00 " = R Sx0" '(x)A[Z(x; x0)]xk p 1dSx0" , A внеш- няя конормаль к сфере Sx0" . Нетрудно доказать, что lim "!0 I0" = 0 . Вычислим предел при " ! 0 интеграла I00 " . Воспользуемся формулой (18) для значения Z(x; x0) . Получим I00 " = Z Sx0" '(x)A[Z(x; x0)]xkp 1dSx0" = (2 p) C Ck(m + 2) 23 + 2 k 2 p 2 2 x m 4 0p x k 2 0p 1 Z Sx0" '(x)1 p xx0 A[xx0 ]x m 4 p x k 2 p 1dSx0" + I " ; (22) где I " = R Sx0" '(x)A[Z(x; x0)]xkp 1dSx0" . Нетрудно доказать, что lim "!0 I " = 0: (23) Найдем предел I при " ! 0 интеграла I" = (2 p) C Ck(m + 2) 2 k 2 p 2 2 23 + x m 4 0p x k 2 0p 1 Z Sx0" '(x)1 p xx0 A[xx0 ]x m 4 p x k 2 p 1dSx0": Вычисляя конормальную производную A[xx0 ] и пользуясь формулой Лагранжа, при- ведем этот интеграл к виду I" = (2 p) C Ck(m + 2) 2 k 2 p 2 2 23 + x m 4 0p x k 2 0p 1 " Z Sx0" '(x) x 3m 4 p pP 1 l=1 (xl x0l)2 + x0p+(xp x0p) xp m 2 (xp x0p)2 pP 1 l=1 (xl x0l)2 + (x0p + (xp x0p))m (xp x0p)2 p 2 x k 2 p 1dSx0"; где 0 < < 1 . Переходя в этом интеграле к обобщенной сферической системе координат 8>>>>>>>>>< >>>>>>>>>: x1 = x01 + r sin 1 sin 2 : : : sin p 2 sin p 1 x2 = x02 + r cos 1 sin 2 : : : sin p 2 sin p 1 x3 = x03 + r cos 2 : : : sin p 2 sin p 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : xp 1 = x0p 1 + r cos p 2 sin p 1 xp = x0p + r cos p 1 56 Н. А. Ибрагимова (0 6 r < 1; 0 6 1 < 2; 0 6 < ; = 2; : : : ; p 1) и учитывая то, что элемент поверхности сферы представляется в виде dSx0" = "p 1 sin 2 : : : sinp 2 p 1d1 : : : dp 1 , получаем I" = (2 p) C Ck(m + 2) 2 k 2 p 2 2 23 + x m 4 0p x k 2 0p 1 " Z2 0 d1 Z 0 sin 2 d2 : : : Z 0 sinp 3 p 2 dp 2 Z 0 ' (x01 + " sin 1 : : : sin p 1; : : : ; x0p + " cos p 1) (x0p + " cos p 1) 3m 4 "2 sin2 p 1 + x0p+" cos p 1 x0p+" cos p 1 m 2 "2 cos2 p 1 "2 sin2 p 1 + (x0p + " cos p 1)m "2 cos2 p 1 p 2 (x0p 1 + " cos p 2 sin p 1) k 2 "p 1 sinp 2 p 1dp 1: Сокращая на "p+1 и переходя к пределу при " ! 0 , получаем I = (2 p) C Ck(m + 2) 2 k 2 p 2 2 23 + x m 2 0p'(x0) Z2 0 d1 Z 0 sin 2 d2 : : : Z 0 sinp 3 p 2 dp 2 Z 0 sinp 2 p 1 dp 1 sin2 p 1 + xm 0p cos2 p 1 p 2 = = (2 p) C Ck(m + 2) 2 k 2 p 2 2 p 1 2 22 + p 1 2 x m 2 0p'(x0) Z 0 sinp 2 p 1 dp 1 sin2 p 1 + xm0 p cos2 p 1 p 2 : (24) Преобразуем интеграл в (24) J = Z 0 sinp 2 p 1 dp 1 sin2 p 1 + xm 0p cos2 p 1 p 2 = 2 Z2 0 sinp 2 p 1 dp 1 sin2 p 1 + xm 0p cos2 p 1 p 2 = = 2 Z2 0 tg p 2p 1 d ( tg p 1) tg 2p 1 + xm 0p p 2 = 2x m 2 0p Z2 0 x m 2 0p tg p 1 p 2 d x m 2 0p tg p 1 x m 2 0p tg p 1 2 + 1 p 2 : ПОСТРОЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 57 Используя замену x m 2 0p tg p 1 = t и учитывая, что t = 0 при p 1 = 0 , t = 1 при p 1 = 2 , имеем J = 2x m 2 0p 1R 0 tp 2dt (1 + t2) p 2 . Отсюда, на основании формулы (17), получаем J = x m 2 0p p 1 2 p p 2 = x m 2 0p p 1 2 p p 2 2 p 2 2 : Подставляя полученное выражение в (24), определяем I = C Ck(m + 2) 2 k 2 p 2 21 + '(x0): (25) Находим нормирующую константу = 21 + C Ck(m + 2) 2 k 2 p 2 = 21 + (m + 2) +1 2 k+1 2 p 2 2 : (26) Итак, из (22) получаем следующее предельное соотношение lim "!0 Z Sx0" '(x)A[Z(x; x0)]xkp 1dSx0" = '(x0): Следовательно, переходя к пределу в (21) при " ! 0 и R ! 1, с учетом (26), соотно- шений (22), (23), (25) и финитности функции '(x) , получаем (2). Таким образом, фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке x0 при малых значениях xx0 представляется в виде Z(x; x0) = p 2 2 4 p 2 (xpx0p) m 4 (xp 1x0p 1) k 2 2 p xx0 + Z(x; x0); где Z(x; x0) регулярная функция в E++ p . Также нетрудно доказать, что для фундаментального решения Z(x; ) имеют место следующие асимптотические формулы: @Z(x; ) @xp = o(1) при xp ! 0; @Z(x; ) @p = o(1) при p ! 0: Из формулы (10) следует, что на бесконечности имеет место асимптотическая фор- мула Z(x; x0) = O(e 0) , где 20 = jx0j2 + 4 (m+2)2 xm+2 p . П р е д л о ж е н и е 2. Z(x; x0) имеет в точках координатной плоскости xp = 0 степенную особенность вида 2 p xeex0 ; где 2 xeex0 = jx0 x0 0j2 + 4 (m+2)2 xm+2 p , eex0 = (x0 0; 0): Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично доказательству предложения 1. Полученные в работе результаты в дальнейшем планируется использовать для ре- шения краевых задач.

Об авторах

Наиля Анасовна Ибрагимова

ФГБОУ ВО «Казанский государственный энергетический университет»

Email: NAI.liya@yandex.ru
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры инженерной кибернетики 420066, Российская Федерация, г. Казань, ул. Красносельская, 51

Список литературы

Дополнительные файлы