About the general solution of a linear homogeneous differential equation in a Banach space in the case of complex characteristic operators

Full Text

Введение В банаховом пространстве E рассматривается уравнение y(n) + H1y(n 1) + : : : + Hn 1y0 + Hny = f(t); 0 t < 1; (0.1) где Hi 2 L(E); i = 1; n; L(E) банахова алгебра ограниченных линейных опера- торов, действующих из E в E; f(t) 2 C([0;1);E); C([0;1)E) нормированное пространство непрерывных функций, действующих из [0;1) в E: Известно [1], что общее решение уравнения (0.1) имеет вид y = y0;0 + y; где y0;0 общее решение соответствующего однородного уравнения y(n) + H1y(n 1) + : : : + Hn 1y0 + Hny = 0; 0 t < 1; (0.2) y частное решение неоднородного уравнения (0.1). Задача о нахождении частного решения y решена: в случае, когда правая часть f(t) уравнения (0.1) имеет общий вид, y найдено методом вариации произвольных постоянных в работе [1]; в случае, ОБ ОБЩЕМ РЕШЕНИИ ЛОДУ 213 когда f(t) имеет специальный вид, y получено методом неопределјнных коэффици- ентов в работе [2]. Структура общего решения уравнения (0.2) определяется видом его характеристических операторов, т. е. корней характеристического операторного урав- нения P(Z) = O; (0.3) где P(Z) = Zn+H1Zn 1+: : :+Hn 1Z+Hn характеристический операторный полином уравнения (0.2). Уравнение (0.3) рассматривается в банаховой алгебре комплексных операторов [3] CL(E) = [L(E)]2 = L(E) L(E) = fZ = (A;B)jA;B 2 L(E)g; которую удобно представить в виде CL(E) = fZ = A + IBjA;B 2 L(E)g; где I = (O; I) мнимая операторная единица. В случае B = O операторы вида Z = A называются действительными. В случае A = O; B 6= O операторы вида Z = IB называются чисто мнимыми. Общее решение y0;0 уравнения (0.2) найдено в работе [1] в случае, когда полином P(Z) имеет n различных действительных корней Z1 = 1; : : : ; Zn = n; в работе [4] в случае, когда P(Z) имеет p действительных корней Z1 = 1; : : : ; Zp = p с кратностями соответственно r1; : : : ; rp ( r1 + : : : + rp = n): В настоящей работе изучается структура общего решения уравнения (0.2) в случае, когда среди корней характеристического операторного полинома P(Z) имеются комплексные корни с мнимой частью, отличной от нуля. 1. Основные понятия Пусть характеристический операторный полином P(Z) уравнения (0.2) имеет p действительных операторных корней 1; : : : ;p с кратностями соответственно r1; : : : ; rp и q пар комплексно сопряжјнных операторных корней Z1 = A1 + IB1; Z1 = A1 IB1; : : : ; Zq = Aq + IBq; Zq = Aq IBq с кратностями соответственно s1; : : : ; sq; при- чјм r1 + : : : + rp + 2(s1 + : : : + sq) = n: Известно [5], что в этом случае при выполнении условия Hk i = i Hk; Hk Zj = Zj Hk; 1 k n; 1 i p; 1 j q; (1.1) уравнение (0.2) имеет n -параметрическое семейство решений y = Xp i=1 eit Xri k=1 tk 1wik + Xq j=1 eAj t cosBjt Xsj m=1 tm 1xjm + Xq j=1 eAj t sinBjt Xsj m=1 tm 1zjm; (1.2) где wik; xjm; zjm ( 1 i p; 1 k ri; 1 j q; 1 m sj) произвольные элементы из E (свободные параметры). 214 В. И. Фомин Семейство решений (1.2) уравнения (0.2) будет общим решением этого уравнения, если при любом фиксированном наборе начальных значений y0; y00 ; : : : ; y(n 1) 0 решение задачи Коши для уравнения (0.2) с начальными условиями y(0) = y0; y0(0) = y0 0; : : : ; y(n 1)(0) = y(n 1) 0 (1.3) принадлежит семейству (1.2). 2. Основные результаты Выяснение условий, при которых формула (1.2) задајт y0;0; в общем случае за- труднительно из-за громоздких выражений для y(m)(1 m n 1): Ограничимся рассмотрением следующего простейшего случая. Пусть характеристический операторный полином P(Z) уравнения (0.2) имеет p простых действительных корней 1; : : : ;p и q пар простых чисто мнимых сопряжјн- ных корней Z1 = IB1; Z1 = IB1; : : : ;Zq = IBq; Zq = IBq; при этом p + 2q = n: Пусть выполняется условие (1.1), т. е. Hk i = i Hk; Hk Bj = Bj Hk; 1 k n; 1 i p; 1 j q: (2.1) Тогда, согласно формуле (1.2), уравнение (0.2) имеет n -параметрическое семейство решений y = Xp i=1 eitwi + Xq j=1 (cosBjt)xj + Xq j=1 (sinBjt)zj ; (2.2) где wi; xj ; zj ( 1 i p; 1 j q) произвольные элементы из E (свободные параметры). Выясним, при каких условиях решение задачи Коши (0.2), (1.3) при любом фиксиро- ванном наборе начальных значений y0; y00 ; : : : ; y(n 1) 0 принадлежит семейству решений (2.2). Для любого m 2 N y(m) = Xp i=1 eitwi (m) + Xq j=1 [(cosBjt)xj ](m) + Xq j=1 [(sinBjt)zj ] (m) : (2.3) При A;B 2 L(E) для операторных функций eAt = X1 k=0 tkAk k ; cosBt = X1 k=0 ( 1)kt2kB2k (2k)! ; sinBt = X1 k=0 ( 1)2k+1t2k+1B2k+1 (2k + 1)! (2.4) справедливы формулы eAt0 = AeAt; (cosBt)0 = B sinBt; (sinBt)0 = B cosBt: (2.5) В силу равенств (2.5) eAt(m) = AmeAt; (2.6) ОБ ОБЩЕМ РЕШЕНИИ ЛОДУ 215 (cosBt)(m) = ( 1)l Bm sinBt;m = 2l 1; ( 1)l Bm cosBt;m = 2l; (2.7) (sinBt)(m) = ( 1)l+1 Bm cosBt;m = 2l 1; ( 1)l Bm sinBt;m = 2l: (2.8) В силу формул (2.6)-(2.8) равенство (2.3) принимает следующий вид: при m = 2l 1 y(m) = Xp i=1 mi eitwi + Xq j=1 ( 1)l Bm j (sinBjt)xj + Xq j=1 ( 1)l+1 Bm j (cosBj t) zj ; (2.9) при m = 2l y(m) = Xp i=1 mi eitwi + Xq j=1 ( 1)l Bm j (cosBjt)xj + Xq j=1 ( 1)l Bm j (sinBj t) zj : (2.10) Заметим, что eAt t=0 = I; cosBtjt=0 = I; sinBtjt=0 = O: (2.11) Пусть, для определјнности, порядок n уравнения (0.2) нечјтен (случай чјтного n рассматривается аналогично). Тогда в силу соотношений (2.2), (2.9)-(2.11) начальные условия (1.3) принимают вид Pp i=1 wi + Pq j=1 xj = y0; Pp i=1 iwi + Pq j=1 Bj zj = y00 ; Pp i=1 2i wi Pq j=1 B2 j xj = y00 0 ; Pp i=1 3i wi Pq j=1 B3 j zj = y000 0 ; Pp i=1 4i wi + Pq j=1 B4 j xj = y(4) 0 ; :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Pp i=1 2l 1 i wi + Pq j=1 ( 1)l+1 B2l 1 j zj = y(2l 1) 0 ; Pp i=1 2l i wi + Pq j=1 ( 1)l B2l j xj = y(2l) 0 ; :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Pp i=1 n 2 i wi + Pq j=1 ( 1) n+1 2 Bn 2 j zj = y(n 2) 0 ; Pp i=1 n 1 i wi + Pq j=1 ( 1) n 1 2 Bn 1 j xj = y(n 1) 0 : (2.12) Система (2.12) это система линейных векторных уравнений относительно неиз- вестных w1; : : : ; wp; x1; : : : ; xq; z1; : : : ; zq: (2.13) 216 В. И. Фомин Пусть выполняются следующие условия i s = s i; 1 i; s p; (2.14) Bj Bk = Bk Bj ; 1 j; k q; (2.15) i Bj = Bj i; 1 i p; 1 j q: (2.16) Тогда операторные коэффициенты системы уравнений (2.12) коммутируют между собой. Следовательно, можно рассмотреть операторный определитель системы (2.12), определяемый по известной формуле из [1]: для Ai;j 2 L(E); 1 i; j n; удовлетво- ряющих условию Aij Akm = Akm Aij ; 8 1 i; j; k;m n; = det(Aij)n i;j=1 = X (j1;j2;:::;jn)2Pn ( 1)'(j1;j2;:::;jn)A1j1A2j2 ; : : : ; Anjn; (2.17) где Pn множество перестановок индексов 1; 2; : : : ; n; '(j1; j2; : : : ; jn) число ин- версий в перестановке (j1; j2; : : : ; jn): Пусть операторный определитель системы уравнений (2.12) имеет ограниченный обратный: 9 1 2 L(E): (2.18) Тогда система (2.12) имеет единственное решение, которое находится по операторно- векторному правилу Крамера решения систем линейных векторных уравнений в ба- наховом пространстве [1]. Таким образом, решение задачи Коши (0.2), (1.3) задајт- ся формулой (2.2) при значениях параметров, равных компонентам решения системы уравнений (2.12). Итак, доказано следующее утверждение. Теорема 2.1. Пусть характеристический полином P(Z) уравнения (0.2) имеет p простых действительных корней 1; : : : ; p и q пар простых чисто мнимых сопря- жјнных корней Z1 = IB1; Z1 = IB1; : : : ; Zq = IBq; Zq = IBq; при этом p + 2q = n: Тогда при выполнении условий (2.1), (2.14)-(2.18) общее решение уравнения (0.2) в случае нечјтности n задајтся формулой (2.2). Результаты данной работы анонсированы в [6].

About the authors

Vasiliy I. Fomin

Tambov State Technical University

Email: vasiliyfomin@bk.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Technical Mechanic and Machine Part Department 106 Sovetskaya St., Tambov 392000, Russian Federation

References

Supplementary files