On the solvability of causal functional inclusions with infinite delay

Full Text

1. Введение Исследование систем, описываемых дифференциальными и функциональными уравне- ниями с каузальными операторами, привлекает внимание многих исследователей. Понятие каузального (или вольтеррового по А.Н. Тихонову [1]) оператора берет свое начало в матема- тической физике и технике и оказывается весьма эффективным при решении задач в диффе- ренциальных уравнениях, интегро-дифференциальных уравнениях, функционально-диффе- ренциальные уравнениях с конечным или бесконечным запаздыванием, интегральных уравне- ниях Вольтерры, функциональных уравнениях нейтрального типа и др. (см., например, [2]). Исследованию каузальных операторов различного типа посвящены работы [3], [4], уравне- ний с каузальными операторами [5], [6], включений с каузальными операторами [7], [8], теоремам существования решений и описанию их качественных свойств и различным прило- жениям [9], [10] и др. Отметим также ряд работ, в которых изучались различные задачи для операторных и функционально-дифференциальных уравнений и включений с каузальными операторами (см., например, [2], [11] и имеющиеся там ссылки). О РАЗРЕШИМОСТИ КАУЗАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 295 В настоящей статье, развивая результаты работы [11], мы вводим понятие многозначного каузального оператора с бесконечным запаздыванием и рассматриваем задачу Коши в ба- наховом пространстве для различных классов функциональных включений с каузальными операторами. Методы теории топологической степени уплотняющих отображений применя- ются к получению результатов о существовании локальных и глобальных решений для этой задачи и исследования непрерывной зависимости множества решений от начальных данных. В качестве приложения мы получаем обобщения некоторых теорем существования для полули- нейных функционально-дифференциальных включений и интегро-дифференциальных вклю- чений Вольтерры с бесконечным запаздыванием. 2. Предварительные сведения 2.1. Многозначные отображения и меры некомпактности Пусть X метрическое пространство, Y нормированное пространство, символом P (Y ) обозначим совокупность всех непустых подмножеств Y . Обозначим C (Y ) = fW 2 P (Y ) : W замкнутое множествоg ; Cv (Y ) = fW 2 C (Y ) : W выпуклое множествоg ; K (Y ) = fW 2 P (Y ) : W компактное множествоg ; Kv (Y ) = fW 2 K (Y ) : W выпуклое множествоg : Мультиотображение F : X ! P (Y ) будем также обозначать F : X ( Y: Напомним некоторые понятия (см., например, [12], [13]). О п р е д е л е н и е 2.1.1. Мультиотображение F : X ! P (Y ) называется (i) полунепрерывным сверху (пн.св.), если F 1 (V) = fx 2 X : F (x) Vg является откры- тым подмножеством X для каждого открытого множества V Y ; (ii) полунепрерывным снизу (пн.сн.), если F 1 (W) является замкнутым подмножеством X для каждого замкнутого множества W Y ; (iii) замкнутым, если его график GF = f(x; y) : x 2 X; y 2 F(x)g является замкнутым подмножеством X Y: В дальнейшем нам понадобятся следующие свойства. Лемма 2.1.1. [13, Theorem 1.1.12]. Пусть замкнутое мультиотображение F :X!K(Y ) является квазикомпактным, т. е. для каждого компактного множества K X множе- ство F(K) = [x2KF(x) относительно компактно в Y: Тогда мультиотображение F пн.св. О п р е д е л е н и е 2.1.2. Мультифункция F : [a; b] R ! K (Y ) называется ступенча- той, если существует такое разбиение отрезка [a; b] на конечное семейство непересекающихся измеримых подмножеств fIjg; S j Ij = [a; b]; что F постоянно на каждом Ij : 296 М. М. Кулманакова, Е. Л. Ульянова О п р е д е л е н и е 2.1.3. Мультифункция F : [a; b] R ! K (Y ) называется сильно из- меримой, если существует последовательность Fn : [a; b] ! K (Y ) ; n = 1; 2; : : : ступенчатых мультифункций, таких что lim n!1 h(Fn(t);F(t)) = 0 для п.в. t 2 [a; b]; где мера Лебега на [a; b] и h хаусдорфова метрика на K(Y ): О п р е д е л е н и е 2.1.4. Пусть E банахово пространство, (A;) частично упоря- доченное множество. Функция : P (E) ! A называется мерой некомпактности (МНК) в E; если (co ) = ( ) для каждого 2 P (E) ; где co обозначает выпуклое замыкание множества : Мера некомпактности называется 1) монотонной, если для 0; 1 2 P (E) из 0 1 следует ( 0) ( 1) ; 2) несингулярной, если (feg [ ) = ( ) для каждого e 2 E; 2 P (E) ; 3) инвариантной относительно объединения с компактным множеством, если (fKg[ )=( ) для каждого относительно компактного множества KE; 2P (E) ; 4) вещественной, если A = [0;+1] с естественным порядком и для любого ограниченного множества 2 P (E) выполнено ( ) < 1: Если A конус в нормированном пространстве, то мера некомпактности называется 5) алгебраически полуаддитивной, если ( 0+ 1) ( 0)+ ( 1) для всех 0; 12P (E) ; 6) правильной, если ( ) = 0 эквивалентно относительной компактности : Мерой некомпактности, удовлетворяющей всем вышеперечисленным свойствам, является мера некомпактности Хаусдорфа E ( ) = inf f" > 0 : имеет конечную "-сетьg : В качестве других примеров рассмотрим меры некомпактности, определенные на простран- стве непрерывных функций C([a; b];E) со значениями в банаховом пространстве E : (1) модуль послойной некомпактности: '( ) = sup t2[a;b] E( (t)); где E мера некомпактности Хаусдорфа в E и (t) = fy(t) : y 2 g ; (2) затухающий модуль послойной некомпактности: ( ) = sup t2[a;b] e LtE( (t)); где L > 0 заданное число; О РАЗРЕШИМОСТИ КАУЗАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 297 (3) модуль равностепенной непрерывности: modC ( ) = lim !0 sup y2 max jt1 t2j ky (t1) y (t2)k : Эти меры некомпактности удовлетворяют всем вышеперечисленным свойствам, кроме пра- вильности. О п р е д е л е н и е 2.1.5. Мультиотображение F : X E ! K (E) называется уплот- няющим относительно меры некомпактности (или -уплотняющим), если для каждого ограниченного множества X; которое не является относительно компактным, выполня- ется (F ( )) ( ) : Пусть D E непустое выпуклое замкнутое множество, V непустое ограниченное (относительно) открытое подмножество D , монотонная несингулярная МНК в E и F : V ! Kv (D) пн.св., -уплотняющее мультиотображение, такое, что x =2 F (x) для всех x 2 @V; где V и @V обозначают замыкание и границу множества V в индуцированной топологии D: В таких предположениях определена относительная топологическая степень degD i F; V соответствующего многозначного векторного поля i F; удовлетворяющая стандартным свой- ствам (см., например, [13], [14]). В частности, условие degD i F; V 6= 0 равносильно тому, что множество неподвижных точек FixF = fx : x 2 F(x)g непустое компактное подмножество V: Применение теории топологической степени приводит к следующим принципам неподвиж- ной точки, которые будут использованы в дальнейшем. Теорема 2.1.1. [13, Corollary 3.3.1]. Пусть M непустое ограниченное выпуклое за- мкнутое подмножество E и F : M ! Kv(M) пн.св., -уплотняющее мультиотобра- жение. Тогда множество FixF его неподвижных точек не пусто. Теорема 2.1.2. [13, Theorem 3.3.4]. Пусть a 2 V внутренняя точка; пн.св. -уплот- няющее мультиотображение F : V ! Kv(D) удовлетворяет граничному условию x a =2 (F(x) a) для всех x 2 @V и 0 < 1: Тогда FixF непустое компактное множество. 2.2. Фазовое пространство бесконечных запаздываний Мы будем использовать аксиоматическое определение фазового пространства B; введен- ное J.K. Hale и J. Kato (см. [15], [16]). Пространство B будет рассматриваться как линейное топологическое пространство функций, заданных на ( 1; 0]; со значениями в банаховом про- странстве E; наделенное полунормой k kB . 298 М. М. Кулманакова, Е. Л. Ульянова Для любой функции x: ( 1; T] ! E; где T > 0 , и каждого t 2 [0; T] xt представляет собой функцию из ( 1; 0] в E , заданную как xt() = x(t + ); 2 ( 1; 0]: Будем предполагать, что B удовлетворяет следующим аксиомам: (B1) если функция x : ( 1; T] ! E непрерывна на [0; T] и x0 2 B; то для любого t 2 [0; T] выполнено: (i) xt 2 B; (ii) функция t 7! xt непрерывна; (iii) kxtkB K(t) sup0t kx( )k + M(t)kx0kB; где функции K;M : [0; T] ! [0;+1) не зависят от x; функция K строго положительна и непрерывна, а M локально ограничена. (B0) существует l > 0 такое, что k (0)kE lk kB; для всех 2 B: Отметим, что при данных условиях пространство C00 всех непрерывных функций из ( 1;0] в E с компактным носителем входит в любое фазовое пространство B [16, Proposition 1.2.1]. Будем предполагать дополнительно, что выполнено следующее условие: (BC1) если равномерно ограниченная последовательность f ng+1 n=1 C00 сходится к функции компактно (т. е. равномерно на каждом компактном подмножестве ( 1; 0] ), то 2 B и limn!+1 k n kB = 0: Из условия (BC1) вытекает, что банахово пространство ограниченных непрерывных функ- ций BC = BC(( 1; 0];E) непрерывно вложено в B. Точнее говоря, справедливо следующее утверждение. Теорема 2.2.1. [16, Proposition 7.1.1]. (i) BC C00 , где C00 обозначает замыкание C00 в B; (ii) если равномерно ограниченная последовательность f ng в BC сходится к функции компактно на ( 1; 0] , то 2 B и lim n!+1 k n kB = 0; (iii) найдется константа L > 0 такая, что k kB Lk kBC для всех 2 BC: Наконец, будем предполагать выполненным следующее условие: (BC2) если 2 BC и k kBC 6= 0; то k kB 6= 0: Из этого предположения вытекает, что пространство BC; наделенное k kB; является нормированным пространством. Мы будем обозначать его BC: Рассмотрим примеры фазовых пространств, удовлетворяющих всем вышеуказанным усло- виям. (1) Для > 0 пусть B = C пространство непрерывных функций ' : ( 1; 0] ! E; имеющих предел lim! 1 e '() и k'kB = sup 1<0 e k'()k: О РАЗРЕШИМОСТИ КАУЗАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 299 (2) (Пространства с ѕзатухающей памятьюї) Пусть B = C пространство таких функций ' : ( 1; 0] ! E; что при некотором k > 0 выполнено: (а) функция ' непрерывна на [ k; 0]; (b) функция ' измерима по Лебегу на ( 1; k) и найдется положительная интегри- руемая по Лебегу функция : ( 1; k) ! R+ такая, что функция ' интегриру- ема по Лебегу на ( 1; k) ; более того, найдется локально ограниченная функция P : ( 1; 0] ! R+ такая, что для всех 0 справедливо ( + ) P()() при п.в. 2 ( 1; k) . Норма в этом пространстве определяется формулой k'kB = sup k0 k'()k + Z k 1 ()k'()kd: Простой пример последнего пространства получается, если положить () = ed; d 2 R: 2.3. Каузальные мультиоператоры с бесконечным запаздыванием Пусть E сепарабельное банахово пространство, L1 ([0; T];E) банахово пространство всех суммируемых по Бохнеру функций f : [0; T] ! E с обычной нормой kfkL1 = Z T 0 kf(s)kE ds: В обозначении данного пространства при E = R будем опускать этот символ, а конус неот- рицательных суммируемых функций в пространстве L1 ([0; T]) будем обозначать L1 + ([0; T]) : Для произвольного N L1 ([0; T];E) и любого 2 (0; T) определим сужение N на [0;] как множество N j[0;]= ff j[0;]: f 2 Ng: Обозначим символом C(( 1; T];E) нормированное пространство ограниченных непре- рывных функций x : ( 1; T] ! E; наделенное нормой kxkC = kx0kB + kx j[0;T] kC; где k kC обычная sup -норма пространства C([0; T];E) . О п р е д е л е н и е 2.3.1. Мультиотображение Q : C (( 1; T];E) ( L1 ([0; T];E) бу- дем называть каузальным мультиоператором, если для каждого 2 (0; T) и для любых u(); v() 2 C (( 1; T];E) условие u j( 1; ]= v j( 1; ] влечет Q(u) j[0;]= Q(v) j[0;] : Приведем примеры каузальных мультиоператоров. П р и м е р 2.3.1. Предположим, что мультиотображение F : [0; T] BC ! Kv (E) удо- влетворяет следующим условиям: (F1) для любого 2 BC мультифункция F (; ) : [0; T] ! Kv (E) допускает измеримое сечение; (F2) для п.в. t 2 [0; T] мультиотображение F (t; ) : BC ! Kv (E) пн.св.; 300 М. М. Кулманакова, Е. Л. Ульянова (F3) для любого r > 0 найдется функция r 2 L1 +[0; T] такая, что kF(t; )kE := sup kzkE : z 2 F(t; ) r(t) для п.в. t 2 [0; T] и k kB r: Из условий (F1) (F3) и (B1) вытекает, что суперпозиционный мультиоператор PF : C(( 1; T];E) ! P(L1([0; T];E)); заданный как PF (x) = ff 2 L1([0; T];E) : f(t) 2 F(t; xt) при п.в. t 2 [0; T]g (2.3.1) корректно определен (см., например, [12], [13]). Ясно, что мультиоператор PF является кау- зальным. П р и м е р 2.3.2. Пусть F : [0; T] BC ! Kv(E) мультиотображение, удовлетворяю- щее условиям (F1) (F3) Примера 2.3.1. Предположим, что fK(t; s) : 0 s t Tg является непрерывным (с соответствующей нормой) семейством ограниченных линейных операторов в E и m 2 L1([0; T];E) заданная функция. Рассмотрим интегральный мультиоператор Воль- терры G : C (( 1; T];E) (L1 ([0; T];E) ; определенный соотношением G(u)(t) = m(t) + Z t 0 K(t; s)F(s; us)ds; т. е. G(u) = y 2 L1 ([0; T];E) : y(t) = m(t) + Z t 0 K(t; s)f(s)ds; f 2 PF (u) : (2.3.2) Также очевидно, что мультиоператор G является каузальным. П р и м е р 2.3.3. Пусть фазовое пространство B удовлетворяет условию (B1); муль- тиотображение F : [0; T] BC ! K(E) удовлетворяет условию (F3) и следующему условию почти полунепрерывности снизу: ( FL ) существует последовательность непересекающихся компактных подмножеств fJng; Jn [0; T]; n = 1; 2; ::: такая, что ([0; T] n S n Jn) = 0 и сужение F на каждое множе- ство Jn BC пн.сн. Тогда (см., например, [12], [13], [17]) суперпозиционный мультиоператор PF : C (( 1; T];E) ( L1 ([0; T];E) корректно определен и является каузальным. 3. Функциональные включения с каузальными операторами Будем предполагать, что каузальный оператор Q : C (( 1; T];E) ! C L1 ([0; T];E) удо- влетворяет следующим условиям: (Q1) Q является слабо замкнутым в следующем смысле: условия fung1 n=1 C (( 1; T];E) ; ffng1 n=1 L1 ([0; T];E) ; fn 2 Q(un); n 1; un ! u0; fn * f0 влекут f0 2 Q(u0); (Q2) для любого r > 0 найдется функция r() 2 L1 + ([0; T]) такая, что kQ(u)(t)kE r(t) для п.в. t 2 [0; T] и kukC r: О РАЗРЕШИМОСТИ КАУЗАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 301 (Q3) существует функция ! : [0; T] R+ ! R+ такая, что (!1) для любого x 2 R+ !(; x) 2 L1 +([0; T]); (!2) для п.в. t 2 [0; T] функция !(t; ) : R+ ! R+ является непрерывной, неубывающей и однородной в том смысле, что !(t; x) = !(t; x) для каждого x 2 R+ и 0; (!3) для каждого ограниченного множества C (( 1; T];E) выполнено (Q() (t)) ! t; sup s2[0;t] ' (s) для п.в. t 2 [0; T]; где s = fys : y 2 g BC и ' модуль послойной некомпактности в BC: Заметим, что условие (!2) означает, что !(t; 0) = 0 для п.в. t 2 [0; T]; и в качестве примера такой функции мы можем рассмотреть !(t; x) = k(t) x; где k() 2 L1 +([0; T]): Рассмотрим линейный оператор S : L1([0; T];E) ! C([0; T];E); который является каузаль- ным в том смысле, что для каждого 2 (0; T] и f; g 2 L1([0; T];E) условие f(t) = g(t) для п.в. t 2 [0;] влечет (Sf) (t) = (Sg) (t) для всех t 2 [0;]: Следуя [13], наложим следующие условия на оператор S : (S1) существует D 0 такое, что kSf(t) Sg(t)kE D Z t 0 kf(s) g(s)kEds для любых f; g 2 L1([0; T];E); 0 t T; (S2) для любого компакта K E и последовательности ffng1 n=1 L1 ([0; T];E) такой, что ffn(t)g1n =1 K для п.в. t 2 [0; T] слабая сходимость fn * f0 влечет Sfn ! Sf0: Предположим также, что S удовлетворяет соотношению (S3) (Sf) (0) = 0 для каждой функции f 2 L1([0; T];E): Заметим, что из условия (S1) следует, что оператор S удовлетворяет условию Липшица (S10) kSf SgkC Dkf gkL1 : В качестве примера рассмотрим следующий важный класс операторов. Пусть замкнутый (не обязательно ограниченный) линейный оператор A: D(A) E!E является производящим оператором C0 -полугруппы ограниченных линейных операторов feAtgt0: Оператор L : L1([0; T];E) ! C([0; T];E) , определенный формулой Lf(t) = Z t 0 eA(t s)f(s)ds; (3.0.1) называется оператором Коши. Заметим, что, взяв A = 0; мы получим, как частный случай, ѕобычныйї интегральный оператор LI : L1([0; T];E) ! C([0; T];E); LIf(t) = Z t 0 f(s)ds: 302 М. М. Кулманакова, Е. Л. Ульянова Лемма 3.0.1. [13, Lemma 4.2.1]. Оператор Коши L удовлетворяет условиям (S1) (S3): Предположим, что 2 BC заданная функция. Для каждого h 2 (0; T] и функции y 2 C([0; h];E) такой, что y(0) = (0); определим функцию y[ ] 2 C(( 1; h];E) равенством y[ ](t) = ( (t); 1 t < 0; y(t); 0 t h : (3.0.2) Обозначим Dh замкнутое выпуклое подмножество C([0; h];E); состоящее из всех функций y; удовлетворяющих условию y(0) = (0): Из каузальности операторов Q и S следует, что для каждого h 2 (0; T] корректно опреде- лены и каузальны сужения Q : C(( 1; h];E) ( L1([0; h];E) и S : L1([0; h];E) ! C([0; h);E): Для простоты обозначаем эти сужения теми же символами. Рассмотрим следующую задачу Коши для функциональных включений с каузальными операторами Q и S . При вышеуказанных предположениях будем искать функцию y 2 Dh; 0 < h T; удовлетворяющую включению y 2 g + S Q(y[ ]); (3.0.3) где g 2 Dh заданная функция. Очевидно, что для каждого y; удовлетворяющего включению (3.0.3), функция y[ ] имеет вид y[ ](t) = ( (t); 1 t 0; g(t) + (Sf) (t); 0 < t h ; (3.0.4) где f 2 Q(y[ ]): Для описания свойств оператора S Q нам понадобятся некоторые дополнительные по- нятия и утверждения. О п р е д е л е н и е 3.0.1. Последовательность ffng1 n=1 L1([0; T];E) называется полу- компактной, если она интегрально ограничена, т. е. существует функция 2 L1 +([0; T]) такая, что kfn(t)kE (t) для п.в. t 2 [0; T]; n = 1; 2 : : : и множество ffn(t)g1n =1 относительно ком- пактно для п.в. t 2 [0; T]: Лемма 3.0.2. [13, Proposition 4.2.1.]. Каждая полукомпактная последовательность слабо компактна в L1([0; T];E): Лемма 3.0.3. [13, Theorem 5.1.1.]. Пусть оператор S : L1([0; T];E) ! C([0; T);E) удо- влетворяет условиям (S10) и (S2): Тогда для каждой полукомпактной последовательности ffng1 n=1 L1([0; T];E) последовательность fSfng1 n=1 относительно компактна в C([0; T];E) и, более того, слабая сходимость fn * f0 влечет Sfn ! Sf0: Теперь мы можем рассмотреть следующие свойства мультиоператора S Q: Теорема 3.0.1. Пусть мультиоператор Q удовлетворяет условиям (Q1) - (Q3) а опе- ратор S условиям (S1); (S2): Тогда композиция S Q : C(( 1; T];E) ( C([0; T];E) является пн.св. мультиотображением с компактными значениями. О РАЗРЕШИМОСТИ КАУЗАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 303 Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что мультиоператор SQ является замкнутым. Пусть fxng1 n=1 C(( 1; T];E); fyng1 n=1 C([0; T];E); xn ! x0; yn 2 S Q(xn); n 1; и yn ! y0: Возьмем произвольную последовательность ffng1 n=1 L1([0; T];E) такую, что fn 2 Q(xn); yn = S(fn); n 1: Из условия (Q2) следует, что последовательность ffng1 n=1 интегрально ограничена. Условие (Q3) означает, что для п.в. t 2 [0; T] выполнено (ffn (t)g1 n=1) ! t; sup s2[0;t] ' (f(xn)sg1 n=1) = !(t; 0) = 0 и, следовательно, последовательность ffng1 n=1 полукомпактна. Из леммы 3.0.2 следует, что последовательность ffng1 n=1 слабо компактна, поэтому мы мо- жем предположить, без ограничения общности, что fn * f0: Лемма 3.0.3 влечет yn = Sfn ! Sf0 = y0: С другой стороны, применяя условие (Q1); получаем f0 2 Q(x0) и, более того, y0 2 S Q(x0); то есть мультиоператор S Q замкнут. Условия (Q2) и (Q3) означают, что для каждого x 2 C(( 1; T];E) замкнутая в Q(x) последовательность ffng1n =1 является полукомпактной и, по лемме 3.0.3, последовательность fSfng1n =1 C([0; T];E) относительно компактна. Компактность множества S Q(u) следует из его замкнутости. И наконец, если рассмотрим сходящуюся последовательность fxng1 n=1 C(( 1; T];E); произвольную последовательность ffng1 n=1 L1([0; T];E; ) такую, что fn 2 Q(xn); то после- довательность fSfng1n =1 C([0; T];E) относительно компактна. Следовательно, мультиотоб- ражение S Q квазикомпактно и согласно лемме 2.1.1 оно пн.св. З а м е ч а н и е 3.0.1. Согласно [13, теорема 1.1.8] из каузальности мультиоператора SQ следует, что при выполнении условий теоремы 3.0.1 для каждого h 2 (0; T) отображение S Q : C(( 1; h];E) ( C([0; h];E) обладает теми же свойствами. Теперь перейдем к нахождению условий, при которых мультиоператор S Q будет яв- ляться уплотняющим относительно соответствующей вещественной МНК. Предположим, что S удовлетворяет условию (S1): Тогда очевидно, что сужение S : L1([0; h];E) ! C([0; h];E) для каждого h 2 (0; T) удовлетворяет этому же условию. Это также верно и для условия (S2): В самом деле, пусть ffng1 n=1 L1([0; h];E) такая последовательность, что для п.в. t 2 [0; h] выполнено ffn(t)g1 n=1 K для заданного компакта K E; и ffng1 n=1 является слабо сходящейся к функции f0 2 L1([0; h];E): Легко видеть, что последовательность продол- жений f e fng1 n=1 L1([0; T];E) определенная как e fn(t) = ( fn(t); 0 t h; 0 h < t T ; слабо сходится к функции e f0 2 L1([0; T];E); определенной таким же образом. Тогда по усло- вию (S2) имеем S e fn ! S e f0; из чего в силу каузальности следует, что Sfn ! Sf0: Выполнение условия (S3) для сужения S : L1([0; h];E) ! C([0; h];E) очевидно. Нам понадобятся следующие утверждения. Лемма 3.0.4. [13, Theorem 4.2.2.]. Пусть последовательность ffng1 n=1 L1([0; h];E); h 2 (0; T]; интегрально ограничена и существует функция 2 L1 +([0; h]) такая, что ffn (t)g1 n=1 (t) для п.в. t 2 [0; h]: 304 М. М. Кулманакова, Е. Л. Ульянова Если оператор S удовлетворяет условиям (S1) и (S2); то fSfn (t)g1 n=1 2D Z t 0 (s)ds (3.0.5) для всех t 2 [0; h]; где D константа из условия (S1): Для заданного h 2 (0; T] рассмотрим меру некомпактности в пространстве C([0; h];E) со значениями в конусе R2 +: На ограниченном подмножестве C([0; h];E) значения определим следующим образом: ( ) = max D2( ) ( (D) ; modC (D)) ; где ( ) семейство всех счетных подмножеств ; modC модуль равностепенной непре- рывности и затухающий модуль послойной некомпактности (D) = sup t2[0;h] e Lt(D(t)): Здесь константа L > 0 выбрана так, что q = sup t2[0;h] 2D Z t 0 e L(t s)!(s; 1)ds < 1; (3.0.6) где константа D взята из условия (S1); а функция ! из условия (Q3): Легко видеть, что МНК монотонна, несингулярна и алгебраически полуаддитивна. Из теоремы Арцела-Асколи следует, что она также правильная. Для заданного h 2 (0; T] рассмотрим мультиоператор : Dh ( Dh определенный соот- ношением (y) = g + S Q(y[ ]): Теорема 3.0.2. Пусть каузальный мультиоператор Q : C(( 1; T];E) ( L1 ([0; T];E) удовлетворяет условиям (Q2); (Q3); каузальный оператор S : L1 ([0; T];E) ! C ([0; T];E) условиям (S1) - (S3): Тогда мультиоператор является -уплотняющим. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как МНК является алгебраически полуаддитивной и пра- вильной, достаточно доказать утверждение для композиции S Q: Для некоторого N Dh обозначим N[ ] подмножество C(( 1; h];E) определенное равенством N[ ] = fy[ ] : y 2 Dg: Пусть Dh ограниченное множество такое, что (S Q( [ ])) ( ) : (3.0.7) Покажем, что тогда множество является относительно компактным. Пусть максимум левой части неравенства (3.0.7) достигается на счетном множестве D0 = fsng1 n=1 C([0; h];E): Тогда sn = Sfn; fn 2 Q(yn[ ]); n 1; О РАЗРЕШИМОСТИ КАУЗАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 305 где fyng1 n=1 : Неравенство (3.0.7) означает, что (fSfng1 n=1) (fyng1 n=1): (3.0.8) Применяя условие (Q3) и используя свойства функции !; для п.в. t 2 [0; h] получаем (ffn(t)g1 n=1) ! t; sup s2[0;t] ' (fyn[ ]sg1 n=1) = ! t; ' fynj[0;t]g1 n=1 = = ! t; eLte Lt' fynj[0;t]g1 n=1 ! t; eLt fynj[0;t]g1 n=1 ! t; eLt (fyng1 n=1) ! t; eLt (fyng1 n=1) : По лемме 3.0.4 для каждого t 2 [0; h] имеем (fSfn(t)g1 n=1) 2D Z t 0 ! s; eLs ds (fyng1 n=1) 2D Z t 0 eLs! (s; 1) ds (fyng1 n=1) : (3.0.9) Теперь из неравенств (3.0.8) и (3.0.9) следует, что (fyng1 n=1) 2D sup t2[0;h] Z t 0 e L(t s)! (s; 1) ds (fyng1 n=1) = q (fyng1 n=1) ; то есть (fyng1 n=1) = 0; и следовательно ' (fyn[ ]tg1 n=1) = 0 для всех t 2 [0; h]: Из условий (Q2); (Q3) следует, что последовательность ffng1 n=1 полукомпактна, и значит, по лемме 3.0.3, относительно компактностна последовательность fSfng1 n=1: Следовательно modC(fSfng1n =1) = 0; то есть (S Q( [ ])) = (0; 0); и из (3.0.7) мы имеем ( ) = (0; 0); завершая доказательство. 4. Существование и непрерывная зависимость решений Найдем условия, при которых задача Коши (3.0.3) имеет локальные и глобальные решения. Начнем со следующего утверждения. Теорема 4.0.1. Пусть каузальный оператор Q : C(( 1; T];E) ! Cv(L1([0; T];E)) удо- влетворяет условиям (Q1) - (Q3); а для линейного каузального оператора S : L1([0; T];E) ! C([0; T];E) выполнены условия (S1) - (S3): Тогда существует h 2 (0; T] такое, что вклю- чение (3.0.3) имеет решение y 2 Dh: 306 М. М. Кулманакова, Е. Л. Ульянова Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное " > 0 и пусть r = max k kB; kgkC +" : Предположим, что r 2 L1 +([0; T]) является функцией, соответствующей r из условия (Q2); и возьмем h 2 (0; T] достаточно малое, для того чтобы D Z h 0 r(t)dt "; где D константа из условия (S1): Рассмотрим замкнутое ограниченное выпуклое множество M= fy 2 Dh : ky gkC "g Dh: Покажем, что мультиоператор переводит множество M в себя. Пусть z 2 (y) для y 2M: Тогда z(t) = g(t) + Sf(t); t 2 [0; h]; где f 2 Q(y): Заметим, что ky[ ]kC r: Применяя (Q2); оценим kf(t)kE r(t) для п.в. t 2 [0; h]: Используя условие (S1) и тот факт, что оператор S является линейным, при всех t 2 [0; h] получим: kz(t) g(t)kE = kSf(t)kE D Z t 0 kf(s)kEds D Z h 0 r(s)ds ": Таким образом, z 2M: Из линейности S и теоремы 3.0.1 следует, что мультиоператор имеет компактные вы- пуклые значения и является пн.св., также из теоремы 3.0.2 следует, что он является -упло- тняющим. Осталось применить теорему 2.1.1, чтобы завершить доказательство. Для получения условий существования глобального решения, заменим условие интеграль- ной ограниченности (Q2) на следующее более сильное условие подлинейного роста: (Q20) существует функция 2 L1 +([0; T]) такая, что kQ (u) (t) kE (t) (1 + kukC) для п.в. t 2 [0; T] для всех u 2 C(( 1; T];E): Теорема 4.0.2. Пусть каузальный мультиоператор Q : C(( 1; T];E)! Cv(L1([0; T];E)) удовлетворяет условиям (Q1); (Q20); (Q3); линейный каузальный оператор S : L1([0; T];E) ! C([0; T];E) удовлетворяет условиям (S1) - (S3): Тогда множество всех решений за- дачи (3.0.3) является непустым компактным подмножеством DT : Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что множество всех решений y 2 DT однопараметри- ческого включения y 2 g + S Q(y[ ]); 2 [0; 1] (4.0.1) априори ограничено. Действительно, если y 2 DT удовлетворяет включению (4.0.1), то для каждого t 2 [0; T] справедлива оценка ky(t)kE kg(t)kE + D Z t 0 kf(s)kEds; О РАЗРЕШИМОСТИ КАУЗАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 307 где f 2 Q(y[ ]); следовательно, по условию (Q20) выполнено неравенство kf(s)kE (s)(1 + ky[ ]kC): Тогда ky(t)kE kg (t) kE + D Z t 0 (s) (1 + ky[ ]kC) ds kgkC + D Z t 0 (s) 1 + k kB + sup 2[0;s] ky ( ) kE ! ds: Последнее выражение является неубывающей функцией от t; таким образом получаем sup 0t ky ( ) k kgkC + D Z t 0 (s) 1 + k kB + sup 2[0;s] ky ( ) kE ! ds: Это означает, что функция v(t) = sup2[0;s] ky( )kE удовлетворяет оценке v(t) kgkC + D(1 + k kB) kkL1 + D Z t 0 (s)v(s)ds: Применяя неравенство Гронуолла, получаем искомую априорную ограниченность: kykC NeDkkL1 ; где N = kgkC + D(1 + k kB) kkL1 : Теперь возьмем R > 0 достаточно большое, чтобы гарантировать, что множество V = fy 2 DT : ky gkC < Rg DT содержит все решения включения (4.0.1). Тогда мультиоператор удовлетворяет на @V усло- вию теоремы 2.1.2 с a = g: Применение этого утверждения завершает доказательство. Изучим зависимость множества решений задачи (3.0.3) от начальной функции и функ- ции g: Для заданного 2 BC обозначим D T = fy 2 C([0; T];E) : y(0) = (0)g: Определим замкнутые множества V BC C([0; T];E); W BC C([0; T];E) C([0; T];E) соотношениями V = f( ; g) : g 2 D T g; W = f( ; g; y) : g 2 D T ; y 2 D T g: Для данных ( ; g) 2 V обозначим ;g множество всех решений задачи (3.0.3) на [0; T]: Теорема 4.0.3. При выполнении условий теоремы 4.0.2 мультиотображение : V ! K (C ([0; T];E)) ; ( ; g) 7! ;g является пн.св. 308 М. М. Кулманакова, Е. Л. Ульянова Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим мультиоператор e : W ( C([0; T];E) e ( ; g; y) = g + S Q(y[ ]): Используя те же аргументы, что и при доказательстве теоремы 3.0.1, можем проверить, что мультиотображение e является замкнутым. Из теоремы 4.0.2 следует, что для любого ( ; g) 2 V множество ;g непусто и компактно. Предположим вопреки утверждению, что существует "0 > 0 и последовательности f( n; gn)g1 n=1 V; ( n; gn) ! ( 0; g0) 2 V; fyng1 n=1 C([0; T];E); yn 2 n;gn; n 1; yn ! y0 такие, что y0 =2 U"0 ( 0;g0) ; (4.0.2) где U"0 обозначает открытую "0 -окрестность множества. Каждая функция yn может быть представлена в виде yn(t) = gn(t) + Sfn(t); t 2 [0; T]; где fn 2 Q(yn[ n]); n 1: Следовательно, yn 2 e ( n; gn; yn); n 1: В силу замкнутости мультиотображения e выполнено включение y0 2 e ( 0; g0; y0); то есть y0 2 0;g0 ; что противоречит (4.0.2). Следствие 4.0.1. При выполнении условий теоремы 4.0.2 оператор сдвига P : V ! K(C) вдоль траектории задачи (3.0.3), определенный как P( ; g) = e ;g; где e(y) = y[ ]T ; является пн.св. 5. Включения с полунепрерывными снизу каузальными мультиоператорами Напомним следующие понятия (см., например, [12], [13], [18], [19]). О п р е д е л е н и е 5.0.1. Множество N L1([0; T];E) называется разложимым, если для каждых f0; f1 2 N и каждого измеримого подмножества m [0; T] функция t 7! m(t)f0(t) + [0;T ]nm(t)f1(t); где характеристическая функция множества, принадлежит N: Семейство всех непустых замкнутых разложимых подмножеств L1([0; T];E) обозначим D(L1([0; T];E)): Нам понадобится следующее утверждение о непрерывном сечении. О РАЗРЕШИМОСТИ КАУЗАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 309 Лемма 5.0.1. [18], [19]. Пусть X сепарабельное метрическое пространство. Тогда каждое пн.сн. мультиотображение F : X ! D(L1([0; T];E)) допускает непрерывное сечение f : X ! L1([0; T];E); f(x) 2 F(x) для любого x 2 X: Рассмотрим задачу существования решений включения (3.0.3) при следующем предполо- жении на каузальный оператор Q : (QL) мультиоператор Q : C(( 1; T];E) ! D(L1([0; T];E)) является пн.сн. Очевидно, что для каждого h 2 (0; T]; сужение Q : C(( 1; T];E) ! D(L1([0; h];E)) сохраняет то же свойство. По лемме 5.0.1 Q допускает непрерывное сечение q : C(( 1; T];E) ! L1([0; h];E): Таким образом, соответствующий мультиоператор : Dh (Dh; (y) = g + S Q(y[ ]); имеет непрерывное сечение : Dh ! Dh вида (y) = g + S q(y[ ]): Ясно, что q удовлетворяет условию (Q2): Из монотонности МНК Хаусдорфа следует (q()(t)) (Q()(t)) для каждого ограниченного множества C(( 1; T];E) и t 2 [0; h]; и следовательно усло- вие (Q3) также наследуется q: Но тогда из теоремы 3.0.2 вытекает следующее утверждение. Теорема 5.0.1. Пусть каузальный мультиоператор Q : C(( 1; T];E) ! D(L1([0; h];E)) удовлетворяет условиям (QL); (Q2) и (Q3); каузальный оператор S : L1([0; h] ! C([0; h];E) удовлетворяет условиям (S1) - (S3): Тогда оператор является -уплотняющим. Теперь мы можем сформулировать аналоги теорем 4.0.1 и 4.0.2, которые могут быть дока- заны с использованием ѕоднозначныхї версий теорем 2.1.1 и 2.1.2. Теорема 5.0.2. Пусть каузальный мультиоператор Q : C(( 1; T];E) ! D(L1([0; T];E)) удовлетворяет условиям (QL); (Q2) и (Q3); линейный каузальный оператор S : L1([0; T];E) ! C([0; T];E) удовлетворяет условиям (S1) - (S3): Тогда существует h 2 (0; T] такой, что задача (3.0.3) имеет решение y 2 Dh: Теорема 5.0.3. Пусть каузальный мультиоператор Q : C(( 1; T];E) ! D(L1([0; T];E)) удовлетворяет условиям (QL); (Q20); (Q3); линейный каузальный оператор S : L1([0; T];E) ! C([0; T];E) удовлетворяет условиям (S1) - (S3): Тогда существует решение y 2 DT за- дачи (3.0.3). 310 М. М. Кулманакова, Е. Л. Ульянова 6. Дифференциальные и интегро-дифференциальные включения с бесконечным запаздыванием 6.1. Полулинейные дифференциальные включения Рассмотрим следующую задачу Коши в банаховом пространстве E : y0 (t) 2 Ay (t) + F (t; yt) ; t 2 [0; d] ; (6.1.1) y (t) = (t); t 2 ( 1; 0]: (6.1.2) где 2 BC заданная начальная функция. Предположим, что выполнено условие (A) A : D(A) E ! E замкнутый линейный оператор, порождающий C0 -полугруппу ограниченных линейных операторов feAtgt0: Мультиотображение F : [0; T]BC ! Kv(E) удовлетворяет условиям (F1) - (F3) примера 2.3.1 и следующему условию -регулярности: (F4) существует функция !F : [0; T] R+ ! R+ удовлетворяющая условиям (!1) (!3) и такая, что для каждого непустого ограниченного множества BC выполнено (F (t; )) !F (t; ' ( )) для п.в. t 2 [0; T]: В соответствии с [13], скажем, что y 2 C(( 1; h];E); 0 < h T является интегральным решением задачи (6.1.1)-(6.1.2), если оно представимо в виде: y(t) = eAt (0) + R t 0 eA(t s)f(s)ds; t 2 [0; h]; f 2 PF (y[ ]); (t); t 2 ( 1; 0]; (6.1.3) где PF суперпозиционный мультиоператор, определенный в (2.3.1). Тот факт, что суперпозиционный мультиоператор PF : C(( 1; T];E) ( L1([0; T];E) удо- влетворяет условию (Q1) может быть проверен по [13, Лемма 5.1.1]. Условия (Q2) и (Q3) для PF немедленно следуют из (F3) и (F4); соответственно. Принимая во внимание лемму 3.0.1, мы можем рассмотреть отношение (6.1.3) как частный случай функционального включения (3.0.3), где Q = PF ; S = L - оператор Коши и g(t) = eAt (0): Как прямые следствия теорем 4.0.1 и 4.0.2 получим следующие результаты, которые обоб- щают [13, теоремы 5.2.1 и 5.2.2]. Теорема 6.1.1. При выполнении условий (A) и (F1) - (F4) существует h 2 (0; T] та- кое, что задача (6.1.1)-(6.1.2) имеет интегральное решение на [0; h]: Теорема 6.1.2. Пусть выполнены условия (A); (F1); (F2); (F4) и условие (F30) существует функция 2 L1 +([0; T]) такая, что для каждого c 2 BC kF(t; c)kE (t)(1 + kckB) для п.в. t 2 [0; T]: Тогда множество интегральных решений задачи (6.1.1)-(6.1.2) непустое компактное под- множество пространства C(( 1; T];E): О РАЗРЕШИМОСТИ КАУЗАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 311 Теперь предположим, что многозначная нелинейность F : [0; T] BC ! K(E) удовлетво- ряет условию почти пн.сн. (FL) вместо условий Каратеодори (F1) и (F2): В этой ситуации известно (см., например, [13], [17]), что суперпозиционный мультиоператор PF имеет замкну- тые разложимые значения и является пн.сн. Тогда из теорем 5.0.2 и 5.0.3 вытекает следующие теоремы существования. Теорема 6.1.3. При выполнении условий (A); (FL); (F3); (F4) существует интеграль- ное решение задачи (6.1.1)-(6.1.2) на некотором интервале [0; h]; 0 < h T: Теорема 6.1.4. При выполнении условий (A); (FL); (F30); (F4) существует интеграль- ное решение задачи (6.1.1)-(6.1.2) на интервале ( 1; T]: 6.2. Интегро-дифференциальные включения Вольтерры Рассмотрим следующую задачу в банаховом пространстве E : y0(t) 2 m(t) + Z t 0 K(t; s)F(s; ys)ds; t 2 [0; T]; (6.2.1) с начальным условием y(t) = (t); t 2 ( 1; 0]: (6.2.2) Пусть мультиотображение F : [0; T] BC ! Kv(E) удовлетворяет условиям (F1) - (F4); fK(t; s) : 0 s t Tg непрерывное семейство ограниченных линейных операторов в E; m 2 L1([0; T];E) заданная функция и 2 BC заданная начальная функция. Для простоты предположим, что пространство E является сепарабельным, и ограничимся только локальным результатом. Итак, под решением задачи (6.2.1)-(6.2.2) на интервале [0; h]; 0 < h T будем понимать функцию y 2 C([0; h];E); имеющую следующий вид: y(t) = (0) + Z t 0 z(s)ds; t 2 [0; h]; где z(t) = m(t) + Z t 0 K(t; s)f(s)ds; f 2 PF (y[ ]): Рассмотрим интегральный мультиоператор Вольтерры G; определенный в (2.3.2), как ка- узальный мультиоператор Q: Лемма 6.2.1. Интегральный мультиоператор Вольтерры G удовлетворяет условиям (Q1) - (Q3): Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Очевидно, что достаточно проверить условие (Q1) для композиции J PF : C(( 1; T];E)( C([0; T];E) ,! L1([0; T];E); где J определен как интегральный оператор J f(t) = Z t 0 K(t; s)f(s)ds: 312 М. М. Кулманакова, Е. Л. Ульянова Предположим, что fxng1 n=1 C (( 1; T];E) ; fjng1n =1 L1 ([0; T];E) ; jn 2 J PF (xn); n 1; xn ! x0; и jn * j0: Рассмотрим последовательность ffng1n =1; fn 2 PF (xn); n 1 такую, что jn = J (fn); n 1: По условиям (F3) и (F4); из сходимости последовательности fxng1 n=1 следует, что последовательность ffng1 n=1 является полукомпактной и значит, по лем- ме 3.0.2 является слабо компактной. Поэтому без ограничения общности можем предположить, что fn * f0 2 PF (x0): С другой стороны, линейный непрерывный оператор J также является непрерывным в слабой топологии, таким образом имеем j0 = J (f0); это означает, что j0 2 PF (x0): (б) Условие (F3) означает, что для каждого r > 0 существует функция r 2 L1 +([0; T]) такая, что для любой функции x 2 C(( 1; T];E) из неравенства kxkC r следует, что kf(t)kE r(t) для п.в. t 2 [0; T]: Но тогда, обозначая M = maxfkK(t; s)k : 0 s t Tg; мы имеем kG(x)(t)kE km(t)kE +M Z t 0 r(s)ds := r(t): (в) Пусть C(( 1; T];E) непустое ограниченное подмножество. Согласно условию (F4); для каждого t 2 [0; T] и п.в. s 2 [0; t] имеем (K (t; s) F (s;s)) M (F (s;s)) M!F (s; ' (s)) : Применяя теорему о -оценке многозначного интеграла [13, Theorem 4.2.3], получаем (G ( (t))) Z t 0 K(t; s)F (s;s) ds M Z t 0 !F (s; 'C ()) ds M Z t 0 !F (s; 1)ds 'C () : Очевидно, что функция !(t; x) = M Z t 0 !F (s; 1)ds x удовлетворяет условиям (!1) - (!3) из (Q3) и, следовательно, для G выполнено предполо- жение (Q3): Доказанная лемма, лемма 3.0.1 и теорема 4.0.1 приводят к следующему утверждению. Теорема 6.2.1. При вышеприведенных предположениях, задача (6.2.1)-(6.2.2) имеет ре- шение на некотором интервале ( 1; h]; 0 < h T:

About the authors

Marina M. Kulmanakova

“N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy”

Email: m-kulmanakova@yandex.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Mathematics Department 54A Staryih bolshevikov St., Voronezh 394064, Russian Federation

Elena L. Ulianova

Voronezh State Technical University

Email: ulhelen@mail.ru
84, 20 letiya Oktyabrya St., Voronezh 394006, Russian Federation

References

Supplementary files