On a dilation of a some class of completely positive maps

Full Text

Введение Вполне положительные отображения в операторных алгебрах и модулях в послед- ние годы все больше привлекают внимание исследователей (см. [1-5]). Причина этого феномена состоит в том, что данный класс отображений используется в теории кван- товой информации и квантовых вычислений. Впервые задача о дилатации вполне по- ложительного отображения была изучена в работе [6], где было показано, что вполне положительное отображение ' : A ! L(H) из C -алгебры A в алгебру L(H) линей- ных, ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H; можно представить в форме '() = S?()S; где это -представление алгебры A в другом гильбертовом пространстве K и S линейный, ограниченный оператор из H в K: Настоящая заметка продолжает данный круг исследований и является продолжени- ем работы [1]. Мы установим аналог теоремы Стайнспринга для ковариантных, отно- сительно действия некоторой группы, вполне положительных отображений, заданных на локальной C -алгебре, и принимающих значение в пространстве полуторалиней- ных форм на гильбертовом C -модуле. Такие полуторалинейные формы естественно возникают в задачах современной квантовой механики [7]. 1. Основные понятия Здесь мы приведем некоторые предварительные сведения, необходимые для даль- нейшего. Цель настоящего параграфа зафиксировать терминологию и используемые обозначения. Все необходимые сведения о локальных C -алгебрах, гильбертовых C - модулях и вполне положительных отображениях можно найти в [8-10]. Все алгебры рассматриваются над полем комплексных чисел. Всюду ниже будем полагать, что внут- ренние произведения сопряженно линейны по второй переменной и линейны по первой переменной. О п р е д е л е н и е 1. Пусть A инволютивная алгебра и p : A ! R+ полу- норма на A; удовлетворяющая следующим условиям: 1. p(xy) p(x)p(y) для любых x; y 2 A; 2. p(x) = p(x) для любого x 2 A: Если, кроме того, для любого x 2 A справедливо равенство p(xx) = p(x)2; то p назы- вается C -полунормой. Инволютивная топологическая алгебра, полная относительно топологии, задаваемой направленным семейством C -полунорм (p)2 называется локальной C? -алгеброй. О ДИЛАТАЦИИ ВПОЛНЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 335 Рассмотрим некоторые примеры. П р и м е р 1. Каждая C -алгебра является локальной C -алгеброй. П р и м е р 2. Каждая замкнутая -подалгебра локальной C -алгебры является локальной C -алгеброй. Напомним, что для локальной C -алгебры A элемент x 2 A называется положи- тельным, если x = x и (x) R+ , где (x) это спектр элемента x: Множество всех положительных элементов алгебры A обозначается через A+: Линейное отображение ' : A ! B локальных C -алгебр A и B называется поло- жительным, если '(A+) B+: Для локальной C -алгебры A через Mn(A) обозна- чается -алгебра всех квадратных n n матриц с элементами из A: Известно, что Mn(A) также является локальной C -алгеброй. Отметим, что сложение, инволюция и умножение матриц, а также умножение на элемент основного поля задаются так же, как и в случае скалярных матриц. Отметим также, что матрица (aij)n i;j=1 2 Mn(A) является положительной тогда и только тогда, когда для любого n -набора c1; : : : ; cn элементов алгебры A выполняется неравенство Pn i;j=1 ci aijcj 0: О п р е д е л е н и е 2. Пусть B некоторая C -алгебра. Предгильбертовым B - модулем называется комплексное векторное пространство M; которое также является правым B -модулем, снабженное B -значным скалярным произведением, т. е. отобра- жением h; i :MM! B; удовлетворяющим свойствам: hx; y + zi = hx; yi + hx; zi для любых x; y; z 2M; ; 2 C; (1) hx; ybi = hx; yib для любых x; y 2M; b 2 B; (2) hx; yi? = hy; xi для любых x; y 2M; (3) hx; xi 0 для любого x 2M; (4) hx; xi = 0 , x = 0 для любого x 2M: (5) Будем говорить, что M это гильбертов C -модуль, если M является банаховым про- странством, относительно нормы kxk = kxkM := p khx; xikB; x 2M: Для любого под- множества D M через [D] будем обозначать замкнутый гильбертов C -подмодуль, порожденный D: О п р е д е л е н и е 3. Пусть M и N гильбертовы C -модули над C -алгеброй B: Линейный оператор T :M! N называется B -линейным, если для любых v 2M; b 2 B справедливо равенство T(vb) = T(v)b: Множество всех B -линейных операторов из M в N обозначается LB(M;N) или просто L(M;N); если ясно, о какой алгебре B идет речь. Говорят, что линейный оператор T : M ! N допускает сопряжен- ный, если существует линейный оператор S : N ! M; такой, что hTu; vi = hu; Svi для любых элементов u 2 M, v 2 N . Тогда S называется сопряженным опера- тором к T и обозначается T: Векторное пространство всех линейных операторов 336 Я. В. Эльсаев T : M ! N , допускающих сопряженный, обозначается через LB(M;N) . Известно, что каждый линейный оператор, допускающий сопряжение, является B -линейным и LB(M) = LB(M;M) является C -алгеброй (см. [8, гл. 1]). О п р е д е л е н и е 4. Пусть M гильбертов C -модуль над C -алгеброй B: Отображение P : MM ! B называется B-полуторалинейной формой, если для любых элементов ; 2 C; u; v;w 2M и b 2 B выполняются следующие условия: 1. P(u; v + w) = P(u; v) + P(u;w); 2. P(u; vb) = P(u; v)b; 3. P(u; v) = P(v; u): Если кроме того P(u; u) 0 для любого элемента u 2 M; то форма P называется положительной. Множества всех полуторалинейных и положительных полуторалиней- ных форм на M обозначается SB(M) и SB(M)+ соответственно. Пусть теперь A локальная C -алгебра. Линейное отображение : A ! SB(M) называется поло- жительным, если (A+) = SB(M)+: Рассмотрим квадратную матрицу (P(i; j))n i;j=1 элементами которой являются полуторалинейные формы на M: Для множества всех таких матриц будем использовать обозначение Mn(SB(M)): Ясно, что в случае n = 1 имеет место равенство Mn(SB(M)) = SB(M): Матрица (P(i; j))n i;j=1 называется поло- жительной, если для любого n -набора v1; : : : ; vn элементов модуля M выполняется включение (P(i; j)(vi; vj))n i;j=1 2 Mn(B)+: О п р е д е л е н и е 5. Линейное отображение : A ! SB(M) называется вполне положительным, если линейное отображение n : Mn(A) ! Mn(SB(M)); заданное формулой n([aij ]n i;j=1) = [(aij)]n i;j=1 является положительным для любого n 2 N: О п р е д е л е н и е 6. Пусть G группа, M гильбертов C -модуль над C - алгеброй B и A унитальная локальная C -алгебра. Через Aut(A) и GLB(M) обо- значим группы всех -автоморфизмов A и всех B -линейных биекций модуля M со- ответственно. Действием G на A называется гомоморфизм групп : G ! Aut(A): Представлением группы G в M называется гомоморфизм U : G ! GLB(M): Вполне положительное отображение : A ! SB(M) называется (;U) -ковариантным, если равенство (g)x(u; v) = x(U(g 1)u; U(g 1)v) выполняется для любых g 2 G; x 2 A; u; v 2M: 2. Основные результаты В настоящем разделе мы докажем основной результат теорему о дилатации вполне положительного, ковариантного отображения. Доказательство теоремы опирается на следующие вспомогательные утверждения. О ДИЛАТАЦИИ ВПОЛНЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 337 П р е д л о ж е н и е 1. [1, Теорема 1] Пусть A унитальная локальная C - алгебра, M гильбертов C -модуль над унитальной C -алгеброй B; : A ! SB(M) вполне положительное отображение. Тогда существует гильбертов C - модуль N над алгеброй B , линейный оператор D :M! N; -гомоморфизм : A ! LB(N) такие, что для любых u; v 2M; x 2 A выполняются условия: 1. x(u; v) = hDu; (x)Dvi; 2. N = [(A)D(M)]: Тройка (N;D; ); удовлетворяющая условию 1 предложения 1, называется пред- ставлением Стайнспринга вполне положительного отображения : Представление Стайнспринга называется минимальным, если, кроме того, выполняется условие 2 пред- ложения 1. Два представления Стайнспринга (N;D; ) и (N0;D0; 0) вполне положитель- ного отображения называются унитарно эквивалентными, если существует унитар- ный оператор R : N ! N0; такой, что D0 = RD и R(a) = 0(a)R для любого a 2 A: П р е д л о ж е н и е 2. [1, Теорема 2] Пусть A; B; M; : A ! SB(M) такие же, как и в предложении 1. Тогда любые два минимальных представления Стайнс- принга вполне положительного отображения унитарно эквивалентны. Сформулируем основной результат статьи. Теорема 1. Пусть A унитальная локальная C -алгебра, M гильбертов C -модуль над унитальной C -алгеброй B; G группа, действие G на A; U представление G в M и : A ! SB(M) (;U) -ковариантное, вполне положи- тельное отображение. Тогда существует: гильбертов C -модуль N над алгеброй B; линейный оператор D : M ! N; представление U : G ! UB(N) и -гомоморфизм : A ! LB(N) такие, что для любых u; v 2M; x 2 A выполняются условия: 1. N = [(A)D(M)]; 2. x(u; v) = hDu; (x)Dvi; u; v 2M; x 2 A; 3. DU(g) = U(g)D для любого g 2 G; 4. U(g)(x) = ( (g)(x)U(g) для любых g 2 G; x 2 A: Если кроме того (N0; 0;D0; U0) другая другая четверка, удовлетворяющая условиям (1) (4) теоремы 1, то существует унитарный оператор W : N ! N0; такой, что WD = D0; W(x) = 0(x)W для всех x 2 A и WU(g) = U 0 (g)W для всех g 2 G: Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя предложение 1 найдем тройку (N; ;D); где N гильбертов C -модуль над алгеброй B; : A ! LB(N) -гомоморфизм и D линейный оператор из M в N такие, что выполняются условия 1 и 2 теоремы 1. Возьмем теперь произвольный элемент g группы G: Покажем, что тройка (N; ;R); где = (g) и R = DU(g); также удовлетворяет тем же условиям 1 и 2: Действи- тельно в силу элементарных тождеств: x = (g)((g 1)x); u = U(g 1)(U(g)u); v = U(g 1)(U(g)v); 338 Я. В. Эльсаев имеем x(u; v) = (g 1)((g)x)(U(g 1)(U(g)u); U(g 1)(U(g)v)) = (g)x(U(g)U(g 1)(U(g)u); U(g)U(g 1)(U(g)v)) = (g)x(U(g)u); U(g)v) = hDU(g)u; ((g)(x))DU(g)vi = hRu; (x)Rvi: Так как множество f(x)D(u) : x 2 A; u 2 Mg совпадает с множеством f(g)(x)DU(g)(u) : x 2 A; u 2 Mg, то совпадают порожденные ими замкнутые подмодули в N; в силу чего [(A)D(M)] = [(A)R(M)] = N: В силу предложения 2 существует унитарный оператор U(g) : M ! M; такой, что U(g)D = DU(g) и U(g)(x) = ( (g)(x)U(g): Кроме того U(gh) = U(g)U(h); g; h 2 G: Таким образом задан гомоморфизм U : G ! GLB(M) , удовлетворяющий условию 3 теоремы 1. Пусть теперь (N0; 0;D0; U 0 ) другая четверка, удовлетворяющая условиям (1) (4) теоремы 1 и пусть W : N ! N0 унитарный оператор, такой, что WD = D0 и W(x) = 0(x)W для любых x 2 A. Заметим, что существование такого оператора гарантируется предложением 2. Тогда для любых g 2 B; x 2 A и v 2 M можем написать WU(g)(x)Dv = W((g)x)DU(g)v = 0((g)x)D0U(g)v = U0(g)v0(x)D0v = U0(g)W(x)Dv: Отсюда выводим, что WU(g) = U 0 (g)W для любых g 2 B:

About the authors

Yakub V. Elsaev

Vladikavkaz Scientific Center of the Russian Academy of Science

Email: zelimus-951@mail.ru
Post-Graduate student 22 Markusa St., Vladikavkaz 362027, Russian Federation

References

Supplementary files