On the stability of a system of two linear hybrid functional differential systems with aftereffect

Full Text

\\section*{Введение} В работах \\cite{LarSim2014,AAIMS2015,SimIzhevsk2015} исследованы вопросы устойчивости двух гибридных уравнений. \\linebreak В \\cite{LarSim2014,AAIMS2015} рассмотрено ЛОДУ первого порядка и разностное уравнение из двух слагаемых, установлены признаки устойчивости такого уравнения, использующие $W$-метод Н.В.~Азбелева \\cite{ABSCh1993}. В \\cite{SimIzhevsk2015} рассмотрено линейное функционально-дифференциальное с последействием (ЛФДУП) первого порядка с одним запаздыванием и разностное уравнение из двух слагаемых. Подход к исследованию устойчивости двух ЛФДУП с двумя запаздываниями и с двумя разностными уравнениями предложен в работе \\cite{Sim2020}. Здесь и ниже ${\\mathbb R}^n$ --- пространство векторов $\\alpha =\\{ \\alpha ^{1} ,...,\\alpha ^{n} \\} $ с действительными компонентами и с нормой $||\\alpha ||_{\\mathbb R^n};$ $L$ --- пространство (классов эквивалентности) локально суммируемых функций $f:[0,\\infty )\\to {\\mathbb R^n}$ с полунормами $||f||_{L[0,T]} = {\\int _{0}^{T}}||f(t)||_{\\mathbb R^n}\\, dt$ для всех $T>0;$ $D$ --- пространство локально абсолютно непрерывных функций\\linebreak $x:[0,\\infty)\\to {\\mathbb R}^n $ с полунормами $||x||_{D[0,T]} =||\\dot{x}||_{L[0,T]} +||x(0)||_{{\\mathbb R}^n} $ для всех $T>0;$ $L_{\\infty}$ --- банахово пространство (классов эквивалентности) измеримых и ограниченных в существенном функций $z:[0,\\infty)\\to {\\mathbb R}^n$ с нормой $||z||_{L_{\\infty}} = {\\rm vrai}\\sup\\limits_{t\\geq 0} ||z(t)||_{\\mathbb R^n}.$ \\newpage Каждой бесконечной матрице $y=\\{ y(-1),y(0),y(1),\\, \\ldots,\\,y(N),\\,\\ldots \\} $ со столбцами $y(-1),y(0),y(1),\\, \\ldots,\\,y(N),\\,\\ldots\\,\\in {\\mathbb R^n}$ сопоставим вектор-функцию $$y([t])=y(-1)\\chi _{[-1,0)} (t)+y(0)\\chi _{[0,1)} (t)+y(1)\\chi _{[1,2)} (t)+...+y(N)\\chi _{[N,N+1)} (t)+\\ldots $$ (где $[t]$ обозначена целая часть действительного числа $t,$ а $ \\chi _{E}$ --- характеристическая функция множества $E$). Символом $y[t]$ обозначим вектор-функцию $y([t])$, $t\\in [-1,\\infty ).$ Множество таких вектор-функций $y[\\cdot ]$ является линейным пространством, обозначим его $\\ell _{0}$. Введем в линейном пространстве $\\ell _{0} $ полунормы $||y||_{\\ell _{0T} } =\\sum\\limits_{i=-1}^{T}||y_{i} ||_{\\mathbb R^n} $ для всех $T\\ge -1$. Аналогично, каждой бесконечной матрице $g=\\{ g(0),g(1),\\, \\ldots,\\,g(N),\\,\\ldots \\} $ со столбцами $g(0),g(1),\\, \\ldots,\\,g(N),\\,\\ldots\\,\\in {\\mathbb R^n}$ сопоставим вектор-функцию $$g([t])=g(0)\\chi _{[0,1)} (t)+g(1)\\chi _{[1,2)} (t)+...+g(N)\\chi _{[N,N+1)} (t)+\\ldots $$ Обозначим $g[t]=g([t])$, $t\\in [0,\\infty )$. Определим линейное пространство $\\ell $ таких вектор-функций и введем в этом пространстве полунормы $||g||_{\\ell _{T} } =\\sum\\limits_{i=0}^{T}||g_{i} ||_{\\mathbb R^n} $ для всех $T\\geq 0$. Обозначим $(\\Delta y)(t)=y[t]-y[t-1]$ при $t\\ge 1$ и $(\\Delta y)(t)=y(0)$ при $t\\in [0,1).$ Рассмотрим линейную гибридную функционально-дифференциальную систему с последействием (ЛГФДСП) вида \\begin{equation}\\label{1} {\\mathcal L}_{11} x+{\\mathcal L}_{12} y=\\dot{x}-F_{11} x-F_{12} y=f, \\qquad {\\mathcal L}_{21} x+{\\mathcal L}_{22} y=\\Delta y-F_{21} x-F_{22} y=g. \\end{equation} Операторы ${\\mathcal L}_{11} ,F_{11} :D\\to L,$ ${\\mathcal L}_{12}, F_{12} :\\ell _{0} \\to L,$ ${\\mathcal L}_{21}, F_{21} :D\\to \\ell,$ ${\\mathcal L}_{22} ,F_{22} :\\ell _{0} \\to \\ell $ предполагаются линейными непрерывными и вольтерровыми, $f\\in L,$ $g\\in \\ell.$ Пусть модельное уравнений ${\\mathcal L}_{11} x=z$ и банахово пространство $B\\subset L$ (это вложение непрерывно) выбраны так, что решения этого решения этого уравнения обладают интересующими нас асимптотическими свойствами. Пространство $D({\\mathcal L}_{11} ,B)$, порождаемое модельным уравнением, будет состоять из решений, представимых формулой Коши $$ x(t)=\\left({\\mathcal C}_{11} z\\right)(t)+({\\mathcal X}_{11} \\alpha )(t)= \\int\\limits_0^t C_{11}(t,s)z(s)\\,ds + X_{11}(t)\\alpha \\quad (\\alpha \\in {\\mathbb R}^n, \\quad z\\in B). $$ Здесь ${\\mathcal C}_{11}$ --- это оператор Коши, $C_{11}(t,s)$ --- это матрица-функция Коши, ${\\mathcal X}_{11}$ --- оператор умножения на фундаментальную матрицу, $X_{11}(t)$ --- фундаментальная матрица. Норму в $D({\\mathcal L}_{11} ,B)$ определим равенством $||x||_{D({\\mathcal L}_{11} ,B)} = ||{\\mathcal L}_{11} x||_{B} +||x(0)||_{\\mathbb R^n}.$ Предположим, что оператор ${\\mathcal C}_{11} $ непрерывно действует из пространства $B$ в это же пространство $B,$ а оператор ${\\mathcal X}_{11} $ действует из ${\\mathbb R}^n$ в $B.$ Это условие эквивалентно тому, что пространство $D({\\mathcal L}_{11} ,B)$ линейно изоморфно пространству С.Л.~Соболева $W_{B}^{(1)} [0,\\infty )$ с обычной нормой $||x||_{W_{B}^{(1)} [0,\\infty )}=||\\dot{x}||_{B} +||x||_{B}.$ В дальнейшем будем это пространство обозначать как $W_{B} .$ При этом, $W_{B} \\subset D,$ и это вложение непрерывно. Будем также пользоваться обозначением $W_{B}^{0} =\\{ x\\in W_{B} :x(0)=0\\}.$ Уравнение ${\\mathcal L}_{11} x=z$ с оператором ${\\mathcal L}_{11} :W_{B} \\to B$ называется $W_{B}$-ус\\-т\\-о\\-й\\-чи\\-вым (см. \\cite{ABSCh1993}) тогда и только тогда, когда оно сильно $B$-ус\\-т\\-о\\-й\\-чи\\-во. Уравнение ${\\mathcal L}_{11} x=z$ называется сильно $B$-ус\\-т\\-о\\-й\\-чи\\-вым, если для любого $z\\in B$ каждое решение $x$ этого уравнения обладает свойством: $x\\in B$ и $\\dot{x}\\in B$. \\section{Сведение к ЛФДУП} Предположим, что общее решение уравнения ${\\mathcal L}_{22} y=g$ для $g\\in \\ell $ принадлежит пространству $\\ell _{0} $ и представляется формулой Коши: $y[t]=Y_{22} [t]y(-1)+\\sum\\limits_{s=0}^{t} C_{22} [t,s]\\, g[s].$ Обозначим $({\\mathcal C}_{22} g)[t]=\\sum\\limits_{s=0}^{t}C_{22} [t,s]\\,g[s]$, $({\\mathcal Y}_{22}y(-1))[t]=Y_{22}[t]$$y(-1)$. Пусть $M \\subset \\ell $ и $M_{0}\\subset \\ell _{0} $ --- банаховы пространства, причем пространства $M_{0},M$ изоморфны. Определим также пространство $M_0^0 = \\{y \\in M_0: y(-1) = 0\\}.$ Каждое решение $y$ второго уравнения в \\eqref{1} имеет вид: $$y=-{\\mathcal C}_{22} {\\mathcal L}_{21} x+Y_{22} y(-1)+{\\mathcal C}_{22} g.$$ Подставим его в первое уравнение системы \\eqref{1}, получим: $${\\mathcal L}_{11} x+{\\mathcal L}_{12} y= {\\mathcal L}_{11} x- {\\mathcal L}_{12} {\\mathcal C}_{22} {\\mathcal L}_{21} x+{\\mathcal L}_{12} Y_{22} y(-1)+ {\\mathcal L}_{12} {\\mathcal C}_{22} g=f, $$ $$ {\\mathcal L}_{11} x- {\\mathcal L}_{12} {\\mathcal C}_{22} {\\mathcal L}_{21} x=f_{1} =f- {\\mathcal L}_{12} Y_{22} y(-1)-{\\mathcal L}_{ 12} {\\mathcal C}_{22} g. $$ Обозначим ${\\mathcal L}_1= {\\mathcal L}_{11} - {\\mathcal L}_{12} {\\mathcal C}_{22} {\\mathcal L}_{21}$, тогда первое уравнение системы \\eqref{1} примет вид ${\\mathcal L}_1x=f_{1}$. Если вольтерров оператор ${\\mathcal L}_1:W_{B}^{0} \\to B$ вольтеррово обратим, то при любом $f_1 \\in B$ решение уравнения ${\\mathcal L}_1x=f_{1} $ принадлежит пространству $W_B$. Таким образом, получены условия, при которых система \\eqref{1} обладает тем свойством, что при любом векторе $\\{ f,g\\} \\in B\\times M$ ее решения $\\{ x,y\\} \\in W_{B} \\times M_{0}.$ \\section{Сведение к ЛРУП} Для уравнения \\eqref{1} будем пользоваться принятыми в пункте 1 обозначениями. Предположим, что общее решение уравнения ${\\mathcal L}_{11} x=f$ для $f\\in B$ (где $B$ непрерывно вложено в $L$) принадлежит пространству $W_{B}$ и представляется формулой Коши $$x = X_{11}x(0) + {\\mathcal C}_{11}f.$$ Из первого уравнения в \\eqref{1} найдем $$x=-{\\mathcal C}_{11} {\\mathcal L}_{12} y+X_{11} x(0)+{\\mathcal C}_{11} f.$$ Подставим $x$ во второе уравнение системы \\eqref{1}: \\begin{gather*} {\\mathcal L}_{21} x+{\\mathcal L}_{22} y = -{\\mathcal L}_{21} {\\mathcal C}_{11} {\\mathcal L}_{12} y+{\\mathcal L}_{21} X_{11} x(0)+{\\mathcal L}_{21} {\\mathcal C}_{11} f+{\\mathcal L}_{22} y=g, \\\\ - {\\mathcal L}_{21} {\\mathcal C}_{11} {\\mathcal L}_{12} y+{\\mathcal L}_{22} y=g_{1} =g- {\\mathcal L}_{21} X_{11} x(0)-{\\mathcal L}_{21} {\\mathcal C}_{11} f. \\end{gather*} Обозначив ${\\mathcal L}_2= {\\mathcal L}_{22} -{\\mathcal L}_{21} {\\mathcal C}_{11} {\\mathcal L}_{12},$ запишем второе уравнение системы \\eqref{1} следующим образом ${\\mathcal L}_2y=g_{1} .$ Если вольтерров оператор ${\\mathcal L}_2:M_{0}^0 \\to M$ вольтеррово обратим, то при любом $g_{1} \\in M$ решение $y$ уравнения ${\\mathcal L}_2 y=g_{1} $ принадлежит пространству $ M_{0}.$ Таким образом, здесь также получены условия, при которых система \\eqref{1} обладает тем свойством, что при любом $\\{ f,g\\} \\in B\\times M$ ее решения $\\{ x,y\\} \\in W_{B} \\times M_{0}.$ \\section{Достаточное условие устойчивости} Рассмотрим примеры. \\begin{Example} Рассмотрим систему двух автономных ЛФДУП и ЛРУП следующего вида. Пусть линейные операторы определены равенствами: $$ \\begin{array}{rl} \\displaystyle {\\mathcal L}_{11}\\{x_1,x_2\\}_1 = \\dot{x}_1+a_{11}x_{1\\tau_{11}} + a_{12}x_{2\\tau_{12}}, & \\displaystyle {\\mathcal L}_{12}\\{y_1,y_2\\}_1 = b_{11}y_{1\\delta_{11}} + b_{12}y_{2\\delta_{12}}, \\\\ \\displaystyle {\\mathcal L}_{11}\\{x_1,x_2\\}_2 = \\dot{x}_2 +a_{21}x_{1\\tau_{21}} + a_{22}x_{2\\tau_{22}}, & \\displaystyle {\\mathcal L}_{12}\\{y_1,y_2\\}_2 = b_{21}y_{1\\delta_{21}} + b_{22}y_{2\\delta_{22}},\\\\ \\displaystyle {\\mathcal L}_{21}\\{x_1,x_2\\}_1 = c_{11}x_{1\\rho_{11}} + c_{12}x_{2\\rho_{12}}, & \\displaystyle {\\mathcal L}_{22}\\{y_1,y_2\\}_1 = y_1 - d_{11}y_{1\\theta_{11}} - d_{12}y_{2\\theta_{12}}\\\\ \\displaystyle {\\mathcal L}_{21}\\{x_1,x_2\\}_2 = c_{21}x_{1\\rho_{21}} + c_{22}x_{2\\rho_{22}}, & \\displaystyle {\\mathcal L}_{22}\\{y_1,y_2\\}_2 = y_2 - d_{21}y_{1\\theta_{21}} - d_{22}y_{2\\theta_{22}}. \\end{array} $$ Здесь $x_{1\\tau}(t)=x_1(t-\\tau)$, если $t \\geq \\tau$, $x_{1\\tau}(t)=0$, если $t < \\tau,$ и аналогичные определения верны для остальных суперпозиций. Обозначим: \\begin{gather*} \\ell_{\\infty 0} =\\{y\\in \\ell_{0}: \\; ||y||_{\\ell_{\\infty 0}} = \\mathop{\\sup}\\limits_{k=-1,0,1,\\cdots} |y(k)| <+\\infty \\}, \\\\ \\ell_{\\infty} =\\{g\\in \\ell: \\; ||g||_{\\ell_{\\infty}} = \\mathop{\\sup}\\limits_{k=0,1,\\cdots} |g(k)| <+\\infty \\}. \\end{gather*} Получим условия, при которых для любых $\\{ f,g\\} \\in L_{\\infty}\\times \\ell_{\\infty}$ решения $\\{ x,y\\} $ рассматриваемой здесь системы принадлежат пространству $W_{B}\\times \\ell_{\\infty 0}.$ Для этого надо найти условия вольтерровой обратимости оператора ${\\mathcal L}_1= {\\mathcal L}_{11} - {\\mathcal L}_{12} {\\mathcal C}_{22} {\\mathcal L}_{21}: W_{L_{\\infty}}^{0} \\to L_{\\infty}$, или условия вольтерровой обратимости оператора ${\\mathcal L}_2= {\\mathcal L}_{22} - {\\mathcal L}_{21} {\\mathcal C}_{11} {\\mathcal L}_{12}: \\ell_{\\infty 0}^0 \\to \\ell_{\\infty}.$ Здесь $$ {\\mathcal C}_{22}=({\\mathcal I}-{\\mathcal S})^{-1}, \\ \\ {\\mathcal S}\\{y_1,y_2\\} = \\left(\\begin{array}{c} {\\mathcal S}\\{y_1,y_2\\}_1 \\\\ {\\mathcal S}\\{y_1,y_2\\}_2 \\\\ \\end{array}\\right) = \\left(\\begin{array}{c} d_{11}y_{1\\theta_{11}} + d_{12}y_{2\\theta_{12}} \\\\ d_{21}y_{1\\theta_{21}} + d_{22}y_{2\\theta_{22}} \\\\ \\end{array}\\right). $$ Предположим, что $||{\\mathcal S}||_{\\ell_{\\infty}\\to \\ell_{\\infty 0}}\\leq \\left\\|\\begin{array}{cc} d_{11} & d_{12} \\\\ d_{21} & d_{22} \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2} < 1$. Тогда для для оценки нормы оператора $||{\\mathcal C}_{22}||_{\\ell_{\\infty}\\to \\ell^0_{\\infty 0}}$ достаточно положить $$ ||{\\mathcal C}_{22}||_{\\ell_{\\infty}\\to \\ell^0_{\\infty 0}}=||({\\mathcal I}-{\\mathcal S})^{-1}||_{\\ell_{\\infty}\\to \\ell^0_{\\infty 0}} \\leq \\frac{1}{1-||{\\mathcal S}||_{\\ell_{\\infty}\\to \\ell_{\\infty 0}}}\\leq \\frac{1}{1-\\left\\|\\begin{array}{cc} d_{11} & d_{12} \\\\ d_{21} & d_{22} \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2}}.$$ Для исследования вольтерровой обратимости операторов ${\\mathcal L}_1: W_{L_{\\infty}}^{0} \\to L_{\\infty}$ и ${\\mathcal L}_2: \\ell_{\\infty 0}^0 \\to \\ell_{\\infty}$ достаточно оценить $||{\\mathcal C}_{11}{\\mathcal L}_{12} {\\mathcal C}_{22} {\\mathcal L}_{21}||_{W^0_{L_{\\infty}}\\to W^0_{L_{\\infty}}}$ или $||{\\mathcal C}_{22}{\\mathcal L}_{21}{\\mathcal C}_{11}{\\mathcal L}_{12}||_{\\ell^0_{\\infty 0}\\to \\ell^0_{\\infty 0}}$. Имеем: $$ ||{\\mathcal C}_{11}||_{L_{\\infty}\\to W^0_{L_{\\infty}}} \\leq \\left\\|\\begin{array}{cc} \\sigma_{11} & \\sigma_{12} \\\\ \\sigma_{21} & \\sigma_{22} \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2}, \\quad ||{\\mathcal L}_{21}||_{W^0_{L_{\\infty}}\\to \\ell_{\\infty}} \\leq \\left\\Vert\\begin{array}{cc} |c_{11}| & |c_{12}| \\\\ |c_{21}| & |c_{22}| \\\\ \\end{array}\\right\\Vert_{\\mathbb R^2}, $$ $$ ||{\\mathcal L}_{12}||_{\\ell^0_{\\infty 0}\\to L_{\\infty}} \\leq \\left\\|\\begin{array}{cc} |b_{11}| & |b_{12}| \\\\ |b_{21}| & |b_{22}| \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2}, \\quad ||{\\mathcal C}_{22}||_{\\ell_{\\infty}\\to \\ell^0_{\\infty 0}} \\leq \\frac{1}{1-\\left\\|\\begin{array}{cc} d_{11} & d_{12} \\\\ d_{21} & d_{22} \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2}}. $$ Обозначили $\\sigma_{ij}= \\sup\\limits_{t \\geq 0}\\int\\limits_{0}^{t}|C_{11ij}(t,s)|\\,ds < \\infty, $ $i,j=1,2$. При любых $\\{ f,g\\} \\in L_{\\infty}\\times \\ell_{\\infty}$ решения $\\{ x,y\\}$ рассматриваемой системы принадлежат пространству $W_{B}\\times \\ell_{\\infty 0}$, если выполнено неравенство $$ \\left\\|\\begin{array}{cc} \\sigma_{11} & \\sigma_{12} \\\\ \\sigma_{21} & \\sigma_{22} \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2} \\times \\left\\|\\begin{array}{cc} |b_{11}| & |b_{12}| \\\\ |b_{21}| & |b_{22}| \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2}\\times \\left\\|\\begin{array}{cc} |c_{11}| & |c_{12}| \\\\ |c_{21}| & |c_{22}| \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2}\\times \\frac{1}{1-\\left\\|\\begin{array}{cc} d_{11} & d_{12} \\\\ d_{21} & d_{22} \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2}} < 1, $$ или неравенство \\begin{equation}\\label{2} \\left\\|\\begin{array}{cc} \\sigma_{11} & \\sigma_{12} \\\\ \\sigma_{21} & \\sigma_{22} \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2} \\times \\left\\|\\begin{array}{cc} |b_{11}| & |b_{12}| \\\\ |b_{21}| & |b_{22}| \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2}\\times \\left\\|\\begin{array}{cc} |c_{11}| & |c_{12}| \\\\ |c_{21}| & |c_{22}| \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2} < 1 - \\left\\|\\begin{array}{cc} d_{11} & d_{12} \\\\ d_{21} & d_{22} \\\\ \\end{array}\\right\\|_{\\mathbb R^2}. \\end{equation} Как показано в \\cite{Gus1989}, если $a_{11} > 0$, $a_{22} > 0$, $\\tau_{11}\\leq 1/(ea_{11})$, $\\tau_{22}\\leq 1/(ea_{22})$, $a_{12}a_{21}\\geq 0$, $d = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} > 0,$ то $$\\Sigma := \\left(\\begin{array}{cc} \\sigma_{11} & \\sigma_{12} \\\\ \\sigma_{21} & \\sigma_{22} \\\\ \\end{array}\\right) = \\left(\\begin{array}{cc} \\frac{a_{22}}{d} & \\frac{|a_{12}|}{d} \\\\ \\frac{|a_{21}|}{d} & \\frac{a_{11}}{d} \\\\ \\end{array}\\right). $$ Итак, при выполнении перечисленных условий на коэффициенты уравнений и запаздывания, в случае $a_{12} < 0,$ $a_{21} < 0,$ рассматриваемая система обладает свойством $$ \\Sigma = \\left(\\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\\\ \\end{array}\\right)^{-1}. $$ \\end{Example} %%%%%%%%%%%%%%%%%% \\begin{Example} Рассмотрим систему двух таких же автономных ЛФДУП и ЛРУП. Но в этом примере предположим, что ЛФДУП есть система ЛОДУ, то есть запаздывания отсутствуют: $\\tau_{11} = \\tau_{12} = \\tau_{21} = \\tau_{22} = 0$. Пусть $$ a_{11} + a_{22} > 0, \\,\\,\\, d = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} > 0, \\,\\,\\, D = (a_{11} - a_{22})^2/4 + a_{12}a_{21} > 0, \\,\\,\\, \\lambda = \\sqrt{|D|}. $$ Тогда, как показано в работе \\cite{Gus1989}, для системы ЛОДУ при $i \\ne j$ справедливы следующие равенства: $$ \\sigma_{ii} = a_{jj}/d, $$ если $a_{ij}a_{ji} \\geq 0$ или $D \\geq 0$, $a_{ij}a_{ji} < 0$, $a_{ii} \\leq a_{jj}$; $$ \\sigma_{ii} = \\big[a_{jj}+ 2\\sqrt{-a_{ij}a_{ji}}\\big((a_{ii}-a_{jj}-2\\lambda)/(a_{ii}-a_{jj}+2\\lambda)\\big)^{\\frac{a_{ii} + a_{jj}}{4\\lambda}}\\, \\big]/d, $$ если $D \\geq 0$, $a_{ij}a_{ji} < 0$, $a_{ii} > a_{jj}$; $$ \\sigma_{ii} = \\big(a_{jj}+ 2\\sqrt{-a_{ij}a_{ji}}\\, e^{-\\frac{a_{ii} + a_{jj}}{a_{ii} - a_{jj}}\\,}\\big)/d, $$ если $D = 0$, $a_{ij}a_{ji} < 0$, $a_{ii} > a_{jj}$; $$ \\sigma_{ii} = \\big(a_{jj}+ 2\\sqrt{-a_{ij}a_{ji}}\\,e^{-\\frac{a_{ii} + a_{jj}}{2\\lambda}\\arctan\\frac{2\\lambda}{a_{ii} - a_{jj}}}/ \\big(1-e^{-\\pi\\frac{a_{ii} + a_{jj}}{2\\lambda}\\,}\\big)\\big)/d, $$ если $D < 0$, $a_{ij}a_{ji} < 0$, $a_{ii} > a_{jj}$; $$ \\sigma_{ii} = \\big(a_{jj}+ 2\\sqrt{-a_{ij}a_{ji}}\\,e^{\\frac{a_{ii} + a_{jj}}{2\\lambda}(\\arctan\\frac{2\\lambda}{a_{jj} - a_{ii}}-\\pi)}/ (1-e^{-\\pi\\frac{a_{ii} + a_{jj}}{2\\lambda}\\,})\\big)/d, $$ если $D < 0$, $a_{ij}a_{ji} < 0$, $a_{ii} < a_{jj}$; $$ \\sigma_{ij} = |a_{ij}|/d, $$ если $D \\geq 0$; $$ \\sigma_{ij} = |a_{ij}| \\cth\\frac{\\pi(a_{ii} + a_{jj})}{4\\lambda}/d, $$ если $D < 0$. Таким образом, в данной ситуации имеет место неравенство \\eqref{2}, гибридная система устойчива, то есть при любых $\\{ f,g\\} \\in L_{\\infty}\\times \\ell_{\\infty}$ для ее решения выполнено включение $\\{ x,y\\} \\in W_{B}\\times \\ell_{\\infty 0}.$ \\end{Example}

About the authors

Pyotr M. Simonov

Perm State National Research University

Email: simpm@mail.ru
Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Department of Information Systems and Mathematical Methods in Economics 15 Bukirev St., Perm 614990, Russian Federation

References

Supplementary files