Solutions of some systems of functional equations related to complex, double, and dual numbers

1 Введение

Пусть $M$ и $N$ $—$ двумерное и $2n$ =мерное дифференцируемые многообразия. Рассмотрим дифференцируемую функцию

                             $f\mathrm{<mo>:</mo>}M\times N\to {ℝ}^2\mathrm{,}f\mathrm{<mo>:</mo>}⟨i\mathrm{,}\alpha ⟩\mapsto \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$

с открытой и плотной областью определения в $M\times N$, а также функцию

  $F\mathrm{<mo>:</mo>}{M}^n\times N\to {ℝ}^{2n}\mathrm{,}F\mathrm{<mo>:</mo>}⟨i_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{i}_n\mathrm{,}\alpha ⟩\mapsto \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{i}_1\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{i}_1\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{i}_n\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{i}_n\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $i_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{i}_n\in M$, $\alpha \in N$. Очевидно, область определения функции $F$ открыта и плотна, а сама функция дифференцируема в этой области определения. Естественным образом строятся функции

             $2f_{\beta }\mathrm{<mo>:</mo>}M\to {ℝ}^2\mathrm{,}{f}_{\beta }\mathrm{<mo>:</mo>}i\mapsto \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

             $F_{j_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{j}_n}\mathrm{<mo>:</mo>}N\to {ℝ}^{2n}\mathrm{,}{F}_{j_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{j}_n}\mathrm{<mo>:</mo>}\alpha \mapsto \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_1\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_1\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_n\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_n\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $j_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{j}_n\in M$, $\beta \in N$ "$—$ произвольные фиксированные точки. Из построений следует, что функции $f_{\beta }$ и $F_{j_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{j}_n}$ дифференцируемы, а их области определения открыты и плотны.

Определение 1 Дифференцируемая функция $f\mathrm{<mo>:</mo>}M\times N\to {ℝ}^2$ с открытой и плотной областью определения задаёт на многообразиях $M$ и $N$ двуметрическую феноменологически симметричную геометрию двух множеств (ДФС ГДМ) ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $n\in \mathbb{N}$, если выполняются следующие аксиомы:

Функции $f_{\beta }$ и $F_{⟨j_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{j}_n⟩}$ являются локальными диффеоморфизмами для плотных подмножеств точек из областей определения.

Для плотного множества точек $⟨i_1\mathrm{,}{i}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{i}_{n+1}\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\alpha }_2⟩$ в $M^{n+1}\times N^2$ все $\mathrm{4<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ значений функции $f$ связаны уравнением

                         $\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{i}_1\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{i}_1\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{i}_{n+1}\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{i}_{n+1}\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$

где $\Phi \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Phi }^1\mathrm{,}{\Phi }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ двухкомпонентная функция $\mathrm{4<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ переменных с $rank\Phi \mathrm{<mo>=</mo>2}$.

В работах [1, 3, 6, 7] приведена полная классификация ДФС ГДМ ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с точностью до замены координат в многообразиях и масштабного преобразования.

Рассмотрим $\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -мерное дифференцируемое многообразие $N^{\prime }$ и двумерное дифференцируемое многообразие $L$. Пусть

                                         ${\pi }_1\mathrm{<mo>:</mo>}{N}^{\prime }\times L\to N^{\prime }\mathrm{,}{\pi }_2\mathrm{<mo>:</mo>}{N}^{\prime }\times L\to L$

$—$ проекции. Определим проекции

                                  $\begin{array}{llll}\hfill & p_1\mathrm{<mo>:</mo>}M\times N\to M\mathrm{,}\hfill & \hfill & p_1\mathrm{<mo>:</mo>}⟨i\mathrm{,}\alpha ⟩\mapsto i\hfill \\ \hfill & p_2\mathrm{<mo>:</mo>}M\times N\to N\mathrm{,}\hfill & \hfill & p_2\mathrm{<mo>:</mo>}⟨i\mathrm{,}\alpha ⟩\mapsto \alpha \mathrm{.}\hfill \end{array}$

Пусть существует дифференцируемое отображение $h\mathrm{<mo>:</mo>}N\to N^{\prime }\times L$, в некоторой окрестности произвольной точки из $N$ задающее диффеоморфизм на некоторую окрестность из $N^{\prime }\times L$, а также функция $g\mathrm{<mo>:</mo>}M\times N^{\prime }\to {ℝ}^2$, определяющая ДФС ГДМ ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, причём

                                       $f\mathrm{<mo>=</mo>}\chi \left(g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_1\mathrm{,}{\pi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\pi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}$

где $\chi \mathrm{<mo>:</mo>}{ℝ}^2\times L\to {ℝ}^2$ $—$ некоторая дифференцируемая функция во всех точках своей открытой и плотной области определения.

Определение 2. 1 Будем говорить, что ДФС ГДМ ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, задаваемая функцией $g\mathrm{<mo>:</mo>}M\times N^{\prime }\to {ℝ}^2$, вложена в ДФС ГДМ ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с функцией $f\mathrm{<mo>:</mo>}M\times N\to {ℝ}^2$, причём $N$ локально диффеоморфно $N^{\prime }\times L$, если выполняется функциональное соотношение

                     $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{,}{\pi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}⟨i\mathrm{,}\alpha ⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\pi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}⟨i\mathrm{,}\alpha ⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $\lambda \mathrm{<mo>:</mo>}M\to M$ и $\tau \mathrm{<mo>:</mo>}N\to N$ "$—$ локальные диффеоморфизмы.

В [3] доказано, что в каждую ДФС ГДМ ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{2,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вложена по крайней мере одна из ДФС ГДМ ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3}$.

В данной статье ставится задача о нахождении всех возможных вложений ДФС ГДМ ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с функциями

    $g\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\xi +\mu \mathrm{,}x\eta +y\xi +\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}g\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\xi +\mu \mathrm{,}y\eta +\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}g\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\xi -y\eta +\mu \mathrm{,}x\eta +y\xi +\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

в ДФС ГДМ ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>4,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с функцией $f\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\xi +y\mu +\rho \mathrm{,}x\eta +y\nu +\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Решение этой задачи сводится к решению особых систем функциональных уравнений. Данная задача является продолжением задачи вложения ДФС ГДМ ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с функцией $g\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x+\xi \mathrm{,}x+\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в ДФС ГДМ ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с функцией $f\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\xi +y\mu \mathrm{,}x\eta +y\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, опубликованной в [5].

2 Постановка задачи

Согласно определению 2, сформулированная выше задача сводится к решению трёх систем функциональных уравнений

          $\left\{\begin{array}{l}\overline{x}\overline{\xi }+\overline{y}\overline{\mu }+\overline{\rho }{\chi }^{1}x\xi +\mu \mathrm{,}x\eta +y\xi +\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau ,\\ \overline{x}\overline{\eta }+\overline{y}\overline{\nu }+\overline{\tau }{\chi }^{2}x\xi +\mu \mathrm{,}x\eta +y\xi +\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau ;\end{array}\right.$

          $\left\{\begin{array}{l}\overline{x}\overline{\xi }+\overline{y}\overline{\mu }+\overline{\rho }{\chi }^{1}x\xi +\mu \mathrm{,}y\eta +\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau ,\\ \overline{x}\overline{\eta }+\overline{y}\overline{\nu }+\overline{\tau }{\chi }^{2}x\xi +\mu \mathrm{,}y\eta +\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau ;\end{array}\right.$               (1)

          $\left\{\begin{array}{l}\overline{x}\overline{\xi }+\overline{y}\overline{\mu }+\overline{\rho }{\chi }^{1}x\xi -y\eta +\mu \mathrm{,}x\eta +y\xi +\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau ,\\ \overline{x}\overline{\eta }+\overline{y}\overline{\nu }+\overline{\tau }{\chi }^{2}x\xi -y\eta +\mu \mathrm{,}x\eta +y\xi +\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau ,\end{array}\right.$

 где $\overline{x}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\overline{y}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$,

             $\overline{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\eta \mathrm{,}\mu \mathrm{,}\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\eta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\eta \mathrm{,}\mu \mathrm{,}\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\eta \mathrm{,}\mu \mathrm{,}\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

             $\overline{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\eta \mathrm{,}\mu \mathrm{,}\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{\rho }\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\rho }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\eta \mathrm{,}\mu \mathrm{,}\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\eta \mathrm{,}\mu \mathrm{,}\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

 ${\chi }^1$, ${\chi }^2$ $—$ дифференцируемые функции.

Авторы данной работы ранее изучалась связь двуметрических феноменологически симметричных геометрий двух множеств с гиперкомплексными числами (см. [4, 8, 9]). Анализируя уравнения (1), находим их связь с двумерными гиперкомплексными числами, которых всего три типа: комплексные числа, дуальные и двойные. Напомним, что комплексные, дуальные и двойные числа можно задать так: $z\mathrm{<mo>=</mo>}x+Iy$, где $I^2\mathrm{<mo>=</mo>}-\mathrm{1,0,1}$ соответственно, $\overline{z}\mathrm{<mo>=</mo>}x-Iy$ $—$ сопряжённое число. Операции сложения и умножения определяются как и для комплексных чисел. Хорошо известно, что множество комплексных чисел образует поле, а множества дуальных и двойных чисел $—$ ассоциативные и коммутативные алгебры над полем $ℝ$ с единицей и частичным делением. Поэтому правые части уравнений (1) можно записать в виде

                                            ${\chi }^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{,}\overline{w}\mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\chi }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{,}\overline{w}\mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $w\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi +I\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x+Iy\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu +I\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда для первой и третьей систем из (1): $u\mathrm{<mo>=</mo>}Re\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $v\mathrm{<mo>=</mo>}Im\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а для второй системы линейные комбинации действительной и мнимой частей $Re\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $Im\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ двойного числа $w$ дают выражения

                                              $u\mathrm{<mo>=</mo>}{x}^{\prime }{\xi }^{\prime }+{\mu }^{\prime }\mathrm{,}v\mathrm{<mo>=</mo>}{y}^{\prime }{\eta }^{\prime }+{\nu }^{\prime }\mathrm{.}$

Заметим, что $u$ и $v$ "$—$ это первый и второй аргументы правых частей в системе (1).

Вложение оказывается возможным, если система (1) имеет хотя бы одно невырожденное решение, удовлетворяющее следующим двум условиям (определение 2):

                                 $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\ne \mathrm{0,}\square \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\xi }\mathrm{,}\overline{\eta }\mathrm{,}\overline{\mu }\mathrm{,}\overline{\nu }\mathrm{,}\overline{\rho }\mathrm{,}\overline{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\eta \mathrm{,}\mu \mathrm{,}\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\ne 0.$                                      (2)

 Из второго неравенства в данной системе вытекает

                               $\overline{\xi }\overline{\nu }-\overline{\eta }\overline{\mu }\ne \mathrm{0,}\overline{\xi }\ne \mathrm{0,}\overline{\eta }\ne \mathrm{0,}\overline{\mu }\ne \mathrm{0,}\overline{\nu }\ne 0.$

Основной целью настоящей работы является определение общего невырожденного решения системы (1) или доказательство того, что решения не существует.

Дифференцируя уравнения из (1) по переменным $x$, $\mu$, $\nu$, затем их комбинируем, чтобы справа исчезли производные функций ${\chi }^1$ и ${\chi }^2$ по их первому и второму аргументам, после чего фиксируя переменные $\xi$, $\eta$, $\mu$, $\nu$, $\rho$, $\tau$, во всех трёх случаях получаем систему дифференциальных уравнений на функции $\overline{x}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\overline{y}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

                                   $\left(\begin{array}{c}{\overline{x}}_x\\ {\overline{y}}_x\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\overline{x}\\ \overline{y}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \gamma \end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{A}\left(\begin{array}{c}\overline{x}\\ \overline{y}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \gamma \end{array}\right)\mathrm{.}$                                         (3)

                                          $\left(\begin{array}{c}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}\\ \overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}U\left(\begin{array}{c}\overline{x}\\ \overline{y}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\overline{x}\\ \overline{y}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{U}^{-1}\left(\begin{array}{c}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}\\ \overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}\end{array}\right)\mathrm{,}$

          $\left(\begin{array}{c}\overline{x}{\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}_x\\ \overline{y}{\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}_x\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}U\left(\begin{array}{c}{\overline{x}}_x\\ {\overline{y}}_x\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}UA\left(\begin{array}{c}\overline{x}\\ \overline{y}\end{array}\right)+U\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \gamma \end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}UA{U}^{-1}\left(\begin{array}{c}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}\\ \overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}\end{array}\right)+U\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \gamma \end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{A}^{\prime }\left(\begin{array}{c}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}\\ \overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\alpha }^{\prime }\\ {\gamma }^{\prime }\end{array}\right)$

с невырожденной матрицей $U$ второго порядка. Система дифференциальных уравнений (3) в прежних обозначениях принимает следующий вид:

                                                $\left(\begin{array}{c}{\overline{x}}_x\\ {\overline{y}}_x\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}UA{U}^{-1}\left(\begin{array}{c}\overline{x}\\ \overline{y}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \gamma \end{array}\right)\mathrm{.}$

Хорошо известно (см. [2, с. 485]), что ненулевая матрица $A$ второго порядка с вещественными элементами преобразованием $A\to UA{U}^{-1}$ может быть приведена к одной их пяти вещественных форм:

             $\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\mathrm{,}\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)\mathrm{,}\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 1& a\end{array}\right)\mathrm{,}\mathrm{4<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right)\mathrm{,}\mathrm{5<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}ab-ba\mathrm{,}$                  (4)

где в том же порядке: 2) $a\ne 0$, 3) $a$ любое, 4) $a\ne d$, 5) $b\ne 0$. Решения системы уравнений (3), связанные с формулами (4), будут следующими:

             $\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha x+\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{y}\mathrm{<mo>=</mo>}\gamma x+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\alpha }^2+{\gamma }^2\ne \mathrm{0<mo>;</mo>}$                                                  (5)

             $\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\mathrm{<mo>;</mo>}$                                                                 (6)

             $\mathrm{3.1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}+\frac{\alpha }{a^2}\mathrm{<mo>;</mo>}$                                      (7)

             $\mathrm{3.2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\alpha x\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\alpha x^2}{2}+\gamma x+\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$                                             (8)

             $\mathrm{4.1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{dx}-\frac{\gamma }{a}\mathrm{<mo>;</mo>}$                                                              (9)

             $\mathrm{4.2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo>=</mo>}\gamma x+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$                                                               (10)

             $\mathrm{4.3<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha x+\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{y}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{dx}-\frac{\gamma }{a}\mathrm{<mo>;</mo>}$                                                               (11)

             $\mathrm{5<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \overline{x}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin bx+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos bx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{a\alpha -b\beta }{a^2+b^2}\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \overline{y}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos bx-\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin bx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{a\beta +b\alpha }{a^2+b^2}\mathrm{.}\hfill \end{array}\right.$                                          (12)

Введём матричные обозначения, которые будут использоваться в последующих решениях:

            $\overline{\Xi }\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}\overline{\xi }& \overline{\mu }\\ \overline{\eta }& \overline{\nu }\end{array}\right)\mathrm{,}\tilde{\Xi }\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}\tilde{\xi }& \tilde{\mu }\\ \tilde{\eta }& \tilde{\nu }\end{array}\right)\mathrm{,}\Omega \mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}const\mathrm{,}\Lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)\mathrm{,}$

        ${\Upsilon }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}\xi & 0\\ \eta & \xi \end{array}\right)\mathrm{,}{\Upsilon }_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}\xi & 0\\ 0& \eta \end{array}\right)\mathrm{,}{\Upsilon }_{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}\xi & -\eta \\ \eta & \xi \end{array}\right)\mathrm{,}{A}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)\mathrm{,}{B}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)\mathrm{,}$

           $R\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}\rho \\ \tau \end{array}\right)\mathrm{,}\overline{R}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}\overline{\rho }\\ \overline{\tau }\end{array}\right)\mathrm{,}\tilde{R}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}\tilde{\rho }\\ \tilde{\tau }\end{array}\right)\mathrm{,}X\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mathrm{,}\overline{X}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}\overline{x}\\ \overline{y}\end{array}\right)\mathrm{,}\chi \mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{\chi }^1\\ {\chi }^2\end{array}\right)\mathrm{,}$

причем матрицы $\overline{\Xi }$, $\tilde{\Xi }$, $\Lambda$, $\Omega$ невырожденные, $a_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $b_i\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ "$—$ дифференцируемые функции, $i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$. Заметим, что тогда системы функциональных уравнений (1) принимают общий вид:

                                                          $\overline{\Xi }\overline{X}+\overline{R}\mathrm{<mo>=</mo>}\chi \mathrm{.}$

Основной результат этой статьи сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1 Общее невырожденное решение системы (1) функциональных уравнений может быть представлено в следующем виде:

                      $\begin{array}{llll}\hfill & \overline{X}\mathrm{<mo>=</mo>}\Lambda X+A_1\mathrm{,}\hfill & \hfill & \overline{\Xi }\mathrm{<mo>=</mo>}\Omega {\Upsilon }_{\epsilon }{\Lambda }^{-1}\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \overline{R}\mathrm{<mo>=</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}R-{\Upsilon }_{\epsilon }{\Lambda }^{-1}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+B_1\mathrm{,}\hfill & \hfill & \chi \mathrm{<mo>=</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\Upsilon }_{\epsilon }X+R\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+B_1\mathrm{,}\hfill \end{array}$    (13)

причем для первой системы из (1) $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>0}$, для второй "$—$ $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>1}$, а для третьей "$—$ $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>}-1$.

Заметим, что множество матриц ${\Upsilon }_{-1}$ образует поле, изоморфное полю комплексных чисел (см. [2, с. 196]), множество матриц ${\Upsilon }_0$ изоморфно алгебре дуальных чисел, а множество матриц ${\Upsilon }_1$ изоморфно множеству матриц $\left(\begin{array}{cc}m& n\\ n& m\end{array}\right)$, которое в свою очередь изоморфно алгебре двойных чисел. Таким образом, в равенствах (13) прослеживается тесная связь с двумерными гиперкомплексными числами.

3 Доказательство теоремы

Отметим, что метод доказательства этой теоремы разработан и апробирован в [5]. В процессе доказательства некоторые подобные вычисления будут опускаться.

Случай 1.

Здесь будет использоваться матричная система записей. Решение (5) подставим в уравнения первой системы из (1), которые затем продифференцируем по переменным $y$ и $\eta$:

                                $\overline{\Xi }\left(\begin{array}{c}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\xi {\chi }_v\mathrm{,}{\overline{\Xi }}_{\eta }\left(\begin{array}{c}\alpha x+\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \gamma x+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)+{\overline{R}}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\chi }_v\mathrm{,}$

где $u\mathrm{<mo>=</mo>}x\xi +\mu$, $v\mathrm{<mo>=</mo>}x\eta +y\xi +\nu$, откуда вытекает

                                       $x\overline{\Xi }\left(\begin{array}{c}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\xi {\overline{\Xi }}_{\eta }\left(\begin{array}{c}\alpha x+\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \gamma x+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)+\xi {\overline{R}}_{\eta }\mathrm{.}$

Дифференцируя по $x$, получаем алгебраическую систему уравнений для производных $\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

                                                   $\overline{\Xi }\left(\begin{array}{c}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\xi {\overline{\Xi }}_{\eta }\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \gamma \end{array}\right)\mathrm{.}$                                                       (14)

Как сказано выше, матрица $\overline{\Xi }$ невырождена, поэтому система (14) имеет единственное решение, в котором зафиксируем переменные $\xi$, $\eta$, $\mu$, $\nu$, $\rho$, $\tau$:

                                      $\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\beta \mathrm{<mo>=</mo>}const\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\delta \mathrm{<mo>=</mo>}const\mathrm{.}$

Интегрируя эти уравнения и возвращаясь в (5), будем иметь $\overline{X}\mathrm{<mo>=</mo>}\Lambda X+A_1$, причём согласно первому из условий (2) матрица $\Lambda$ невырождена. Подставляя найденное в систему (1), получаем:

                                                          $\tilde{\Xi }X+\tilde{R}\mathrm{<mo>=</mo>}\chi \mathrm{,}$                                                              (15)

где $\tilde{\Xi }\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\Xi }\Lambda$, $\tilde{R}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{R}+\overline{\Xi }{A}_1$.

Далее, продифференцируем (15) по переменным $\xi$, $\eta$, $\mu$, $\nu$:

      ${\tilde{\Xi }}_{\xi }X+{\tilde{R}}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\chi }_u+y{\chi }_v\mathrm{,}{\tilde{\Xi }}_{\eta }X+{\tilde{R}}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\chi }_v\mathrm{,}{\tilde{\Xi }}_{\mu }X+{\tilde{R}}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_u\mathrm{,}{\tilde{\Xi }}_{\nu }X+{\tilde{R}}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_v\mathrm{.}$

Второе и четвёртое соотношения, а также первое, третье и четвёртое, связаны следующими соотношениями:

               ${\tilde{\Xi }}_{\xi }X+{\tilde{R}}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\tilde{\Xi }}_{\mu }X+x{\tilde{R}}_{\mu }+y{\tilde{\Xi }}_{\nu }X+y{\tilde{R}}_{\nu }\mathrm{,}{\tilde{\Xi }}_{\eta }X+{\tilde{R}}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\tilde{\Xi }}_{\nu }X+x{\tilde{R}}_{\nu }\mathrm{.}$

Далее, сравнивая коэффициенты перед одинаковыми степенями переменных $x$ и $y$, будем иметь

           ${\tilde{\xi }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mu }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\xi }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mu }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\eta }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\nu }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\eta }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\nu }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mu }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\nu }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\rho }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\rho }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\tau }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\tau }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

С учётом последнего, в (15) дифференцируем по $\mu$ и $\nu$:

                                    ${\tilde{\rho }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_u^1\mathrm{,}{\tilde{\rho }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_v^1\mathrm{,}{\tilde{\tau }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_u^2\mathrm{,}{\tilde{\tau }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_v^2\mathrm{.}$

Интегрируя, получаем четвёртое равенство из (13) при $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>0}$. Затем найденное подставляя в (15), получаем остальные равенства из (13) при $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Решение (5) подставим теперь в уравнения второй системы из (1), где $u\mathrm{<mo>=</mo>}x\xi +\mu$, $v\mathrm{<mo>=</mo>}y\eta +\nu$. Затем, дифференцируя по $x$ и $y$, получаем ${\chi }_{uv}^i\mathrm{<mo>=</mo>0}$, следовательно,

                              ${\chi }^i\mathrm{<mo>=</mo>}{P}^i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\xi +\mu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+Q^i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\eta +\nu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2.}$

Далее возвращаясь к системе (1), с учётом (5) будем иметь

   $P^i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\xi +\mu \mathrm{,}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}^i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\xi +\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\alpha \overline{\xi }+\gamma \overline{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\xi p^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\alpha \overline{\eta }+\gamma \overline{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}\xi p^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Тогда система (1) принимает следующий вид:

                                           $\overline{\Xi }\left(\begin{array}{c}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)+\overline{R}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{Q}^1\\ Q^2\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}{p}^1\\ p^2\end{array}\right)\mathrm{.}$                                               (16)

Затем, дифференцируя по $y$ и $\xi$, учитывая первое неравенство из (2), с точностью до переобозначения получаем $\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

С учетом найденного продифференцируем систему (16) по переменным $y$ и $\eta$:

                      $\begin{array}{llll}\hfill & \overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\xi }+a\overline{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\eta Q_v^1\mathrm{,}\hfill & \hfill & \overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{\xi }}_{\eta }+a{\overline{\mu }}_{\eta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\overline{\rho }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}y{Q}_v^1\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\eta }+a\overline{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\eta Q_v^2\mathrm{,}\hfill & \hfill & \overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{\eta }}_{\eta }+a{\overline{\nu }}_{\eta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\overline{\tau }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}y{Q}_v^2\mathrm{,}\hfill \end{array}$

откуда получаем следуют дифференциальные уравнения

   $y\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\xi }+a\overline{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\eta \overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{\xi }}_{\eta }+a{\overline{\mu }}_{\eta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\eta {\overline{\rho }}_{\eta }\mathrm{,}y\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\eta }+a\overline{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\eta \overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{\eta }}_{\eta }+a{\overline{\nu }}_{\eta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\eta {\overline{\tau }}_{\eta }\mathrm{,}$

которые имеют решения

                                          $\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\beta y+a_1\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\delta y+a_2\mathrm{.}$

Тогда получаем $\overline{X}\mathrm{<mo>=</mo>}\Lambda X+A_1$, причём согласно первому из условий (2) матрица $\Lambda$ невырождена. Подставляя найденное в систему (1), имеем тождество (15), в котором $u\mathrm{<mo>=</mo>}x\xi +\mu$, $v\mathrm{<mo>=</mo>}y\eta +\nu$.

Равенство (15), в котором $u\mathrm{<mo>=</mo>}x\xi +\mu$, $v\mathrm{<mo>=</mo>}y\eta +\nu$, продифференцируем по $\xi$, $\eta$, $\mu$, $\nu$:

           ${\tilde{\Xi }}_{\xi }X+{\tilde{R}}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\chi }_u\mathrm{,}{\tilde{\Xi }}_{\eta }X+{\tilde{R}}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}y{\chi }_v\mathrm{,}{\tilde{\Xi }}_{\mu }X+{\tilde{R}}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_u\mathrm{,}{\tilde{\Xi }}_{\nu }X+{\tilde{R}}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_v\mathrm{.}$

Первое и третье соотношения, а также второе и четвёртое связаны следующим образом:

                          ${\tilde{\Xi }}_{\xi }X+{\tilde{R}}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\tilde{\Xi }}_{\mu }X+x{\tilde{R}}_{\mu }\mathrm{,}{\tilde{\Xi }}_{\eta }X+{\tilde{R}}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}y{\tilde{\Xi }}_{\nu }X+y{\tilde{R}}_{\nu }\mathrm{.}$

Далее, сравнивая коэффициенты перед одинаковыми степенями переменных $x$ и $y$, будем иметь

   ${\tilde{\xi }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mu }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\xi }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mu }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\eta }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\nu }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\eta }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\nu }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\xi }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\rho }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\rho }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mu }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\eta }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\tau }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\nu }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\tau }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

                                     ${\tilde{\rho }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mu }}_{\eta }\mathrm{,}{\tilde{\xi }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\rho }}_{\mu }\mathrm{,}{\tilde{\nu }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\tau }}_{\nu }\mathrm{,}{\tilde{\tau }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\eta }}_{\xi }\mathrm{.}$

С учётом последнего ещё получаем

                                    ${\tilde{\rho }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_u^1\mathrm{,}{\tilde{\rho }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_v^1\mathrm{,}{\tilde{\tau }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_u^2\mathrm{,}{\tilde{\tau }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_v^2\mathrm{.}$

Интегрируя найденное, затем подставляя в (15), окончательно получаем (13) при $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>1}$. Наконец, решение (5) подставим в уравнения третьей системы из (1) (напомним, что $u\mathrm{<mo>=</mo>}x\xi -y\eta +\mu$, $v\mathrm{<mo>=</mo>}x\eta +y\xi +\nu$ ), которые затем продифференцируем по $x$, $\xi$, $\mu$, $\nu$:

            ${\overline{\Xi }}_{\eta }\left(\begin{array}{c}\alpha x+\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \gamma x+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)+{\overline{R}}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}-y{\chi }_u+x{\chi }_v\mathrm{,}{\overline{\Xi }}_{\xi }\left(\begin{array}{c}\alpha x+\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \gamma x+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)+{\overline{R}}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\chi }_u+y{\chi }_v\mathrm{,}$

                          ${\overline{\Xi }}_{\mu }\left(\begin{array}{c}\alpha x+\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \gamma x+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)+{\overline{R}}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_u\mathrm{,}{\overline{\Xi }}_{\nu }\left(\begin{array}{c}\alpha x+\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \gamma x+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)+{\overline{R}}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_v\mathrm{,}$

откуда следуют равенства

                              ${\overline{\Xi }}_{\mu }\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \gamma \end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{\Xi }}_{\nu }\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \gamma \end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{\Xi }}_{\mu }\left(\begin{array}{c}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{\Xi }}_{\nu }\left(\begin{array}{c}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Интегрируя найденное по $\mu$ и $\nu$, после чего разделяя переменные, получаем

                                      $\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\beta \mathrm{<mo>=</mo>}const\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\delta \mathrm{<mo>=</mo>}const\mathrm{<mo>;</mo>}$

следовательно, $\overline{X}\mathrm{<mo>=</mo>}\Lambda X+A_1$, где матрица $\Lambda$ невырождена. Подставляя найденное в систему (1), имеем равенство (15), в котором $u\mathrm{<mo>=</mo>}x\xi -y\eta +\mu$, $v\mathrm{<mo>=</mo>}x\xi +y\eta +\nu$. Далее, дифференцируя (15) по переменным $\xi$, $\eta$, $\mu$, $\nu$, после чего рассуждая как выше, получаем

                   ${\tilde{\xi }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mu }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\xi }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mu }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\eta }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\nu }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\eta }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\nu }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\rho }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\rho }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\tau }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\tau }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

                 ${\tilde{\rho }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}-{\tilde{\mu }}_{\eta }\mathrm{,}{\tilde{\rho }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\xi }}_{\eta }\mathrm{,}{\tilde{\rho }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\xi }}_{\xi }\mathrm{,}{\tilde{\rho }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mu }}_{\xi }\mathrm{,}{\tilde{\tau }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}-{\tilde{\nu }}_{\eta }\mathrm{,}{\tilde{\tau }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\eta }}_{\eta }\mathrm{,}$

                    ${\tilde{\tau }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\eta }}_{\xi }\mathrm{,}{\tilde{\tau }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\nu }}_{\xi }\mathrm{,}{\tilde{\rho }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_u^1\mathrm{,}{\tilde{\rho }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_v^1\mathrm{,}{\tilde{\tau }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_u^2\mathrm{,}{\tilde{\tau }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_v^2\mathrm{.}$

Проинтегрируя полученное и подставив в (15), получим (13) при $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>}-1$.

Случай 2.

Теперь подставим решение (6) в уравнения первой системы из (1), которые затем продифференцируем по переменным $y$ и $\eta$:

$\begin{array}{llll}\hfill & \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\xi }+\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}\mathrm{<mo>=</mo>}\xi {\chi }_v^1\mathrm{,}\hfill & \hfill & \left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\xi }}_{\eta }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\mu }}_{\eta }+{\overline{\rho }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\chi }_v^1\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\eta }+\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}\mathrm{<mo>=</mo>}\xi {\chi }_v^2\mathrm{,}\hfill & \hfill & \left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\eta }}_{\eta }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\nu }}_{\eta }+{\overline{\tau }}_{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\chi }_v^2\mathrm{,}\hfill \end{array}$

откуда следуют равенства

         $\begin{array}{ll}\hfill & x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\xi }+\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}\mathrm{<mo>=</mo>}\xi \left(\left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\xi }}_{\eta }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\mu }}_{\eta }+{\overline{\rho }}_{\eta }\right)\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\eta }+\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}\mathrm{<mo>=</mo>}\xi \left(\left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\eta }}_{\eta }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\nu }}_{\eta }+{\overline{\tau }}_{\eta }\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}$

и далее однородная алгебраическая система уравнений относительно производных $\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

                                   $\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\xi }+\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>0,}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\eta }+\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

которая имеет только нулевое решение $\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, поскольку, согласно второму из условий (2) матрица $\overline{\Xi }$ невырождена. Тогда $\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}const$, $\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}const$, что несовместимо с первым из условий (2).

Теперь подставим решение (6) в уравнения второй системы из (1), которые затем продифференцируем по переменным $x$ и $\xi$:

$\begin{array}{llll}\hfill & a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\xi }+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}\mathrm{<mo>=</mo>}\xi {\chi }_u^1\mathrm{,}\hfill & \hfill & \left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\xi }}_{\xi }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\mu }}_{\xi }+{\overline{\rho }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\chi }_u^1\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\eta }+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}\mathrm{<mo>=</mo>}\xi {\chi }_u^2\mathrm{,}\hfill & \hfill & \left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\eta }}_{\xi }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\nu }}_{\xi }+{\overline{\tau }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\chi }_u^2\mathrm{,}\hfill \end{array}$

откуда следуют равенства

            $\begin{array}{l}ax\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\xi }+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}\mathrm{<mo>=</mo>}\xi \left(\left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\xi }}_{\xi }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\mu }}_{\xi }+{\overline{\rho }}_{\xi }\right)\mathrm{,}\hfill \\ ax\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\eta }+\overline{y}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}\mathrm{<mo>=</mo>}\xi \left(\left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\eta }}_{\xi }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\nu }}_{\xi }+{\overline{\tau }}_{\xi }\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}$

и далее однородная алгебраическая система уравнений относительно $\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

                                   $\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\xi }+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>0,}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\eta }+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

которая имеет только нулевое решение $\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, поскольку матрица $\overline{\Xi }$ невырождена. Тогда для функций $\overline{x}$ и $\overline{y}$ первое из условий в (2) не выполняется.

Наконец, подставим решение (6) в уравнения третьей системы в (1), которые затем продифференцируем по переменным $x$, $\xi$, $\mu$, $\nu$:

                      $\begin{array}{ll}\hfill & a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\xi }+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}\mathrm{<mo>=</mo>}\xi {\chi }_u^1+\eta {\chi }_v^1\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\xi }}_{\xi }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\mu }}_{\xi }+{\overline{\rho }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\chi }_u^1+y{\chi }_v^1\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\xi }}_{\mu }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\mu }}_{\mu }+{\overline{\rho }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_u^1\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\xi }}_{\nu }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\mu }}_{\nu }+{\overline{\rho }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_v^1\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\eta }+\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}\mathrm{<mo>=</mo>}\xi {\chi }_u^2+\eta {\chi }_v^2\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\eta }}_{\xi }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\nu }}_{\xi }+{\overline{\tau }}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}x{\chi }_u^2+y{\chi }_v^2\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\eta }}_{\mu }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\nu }}_{\mu }+{\overline{\tau }}_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_u^2\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \left(\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\alpha }{a}\right){\overline{\eta }}_{\nu }+\left(\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{ax}-\frac{\gamma }{a}\right){\overline{\nu }}_{\nu }+{\overline{\tau }}_{\nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_v^2\mathrm{.}\hfill \end{array}$