Введение
Обобщенная смешанная задача для волнового уравнения является одним из наиболее сильных обобщений смешанной задачи. Она впервые появилась в [6]. Внешний вид ее такой же, как и у исходной смешанной задачи и характеризуется тем, что в формальном решении ее по методу Фурье потенциал и начальные данные считаются произвольными суммируемыми функциями, а возмущение в случае неоднородной задачи - произвольной локально суммируемой функцией. Ряд формального решения может быть и расходящимся. Расходящийся ряд рассматривается в понимании Л. Эйлера (см. [7, с. 100-101]), основоположника теории суммирования расходящихся рядов. Найти решение обобщенной смешанной задачи - значит найти сумму ряда формального решения.
В настоящей статье основное внимание уделяется следующей обобщенной смешанной задаче простейшего вида:
(1)
(2)
(3)
в случае . Ее удается решить, привлекая аксиомы о расходящихся рядах из [3, с. 19], используя следующее правило интегрирования расходящегося ряда:
(4)
где определенный интеграл, и опираясь на известные результаты, относящиеся к почленному интегрированию тригонометрического ряда Фурье по синусам.
Затем показано, как полученный результат помогает дать решение и обобщенной смешанной задачи для неоднородного уравнения. Наконец, в качестве приложения к вышеприведенным результатам рассмотрена смешанная задача для волнового уравнения с ненулевым потенциалом. Показано, что эта задача приводится к интегральному уравнению, решение которого получается по методу последовательных подстановок.
Кратко содержание статьи представлено в [5].
1 Простейшая однородная обобщенная смешанная задача
Рассмотрим обобщенную смешанную задачу (1)(3) в случае . Формальное решение ее по методу Фурье имеет вид
(5)
где
Имеем
(6)
Отсюда следует, что для вычисления суммы ряда (6) требуется найти сумму тригонометрического ряда Фурье функции , т.е. ряда
(7)
Пусть сумма ряда (7) при есть какая-либо функция (в запасе имеются только функции из ). Тогда в соответствии с правилом (4) имеем
(8)
По теореме 3 из [2, с. 320] ряд в (8) сходится при любом , а его сумма равна
Таким образом, получили, что
Отсюда почти всюду, т.е. найдена сумма расходящегося ряда (7). Далее, нечетна и 2-периодична. Тогда получаем, что сумма ряда (7) при равна , где нечетное, 2-периодическое продолжение с отрезка на всю ось. В силу (6) получаем, что сумма ряда (5) есть
(9)
Таким образом, получено следующее утверждение.
Теорема 1 Решением обобщенной смешанной задачи (1)(3) является функция класса , определенная по формуле (9).
Функция класса означает, что при любом , где множество .
2 Приложение. Простейшая неоднородная смешанная задача
Рассмотрим следующую простейшую неоднородную смешанную задачу:
(10)
(11)
(12)
где есть функция класса . Формальное решение ее по методу Фурье есть
(13)
Так как
то (13) переходит в
(14)
Из (14) в силу правила (4) получим
(15)
поскольку ряд в (15), как это следует из п. 1, имеет сумму , где нечетное, 2-периодическое продолжение по на всю ось функции с отрезка . Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2 Решение обобщенной смешанной задачи (10)(12) есть функция класса , определяемая по формуле
(16)
Отметим, что без привлечения операции интегрирования расходящегося ряда формула (16) приводится в [1].
Тот факт, что есть функция класса , дается следующей леммой.
Лемма 1 Имеет место оценка
Proof. Из (16) имеем
Пусть - наименьшее натуральное число, для которого . Тогда в силу нечетности по имеем
Пусть четно, т.е. . Рассмотрим следующий интеграл:
Если нечетно, т.е. , то
Таким образом, при всех (четных и нечетных) получаем один и тот же результат:
Отсюда
Значит,
3 Приложение. Смешанная задача с ненулевым потенциалом
Сначала рассмотрим следующую обобщенную задачу:
(17)
(18)
(19)
Здесь функция класса и . Формальное решение ее по методу Фурье есть
где функция определена формулой (5), а ряд (13). Поэтому, исходя из пп. 0.1, 0.2, получаем следующее утверждение.
Теорема 3 Обобщенная смешанная задача (17)(19) имеет решение класса , определяемое по формуле
(20)
Теперь приступаем к смешанной задаче с ненулевым потенциалом:
(21)
(22)
(23)
где , , функция класса .
В этой задаче будем рассматривать как возмущение в задаче (17)(19). Тогда по теореме 3 перейдем от задачи (21)(23) к интегральному уравнению:
(24)
где нечетное, 2-периодическое продолжение на всю ось.
Приступаем к решению уравнения (24). Тот факт, что есть нечетное, 2-периодическое продолжение с на всю ось, трактуется следующим образом: сначала нечетно находится при , т.е. при ; затем полученная на продолжается 2-периодически на всю ось. Отсюда получаются следующие утверждения.
Лемма 2 Функция определяется однозначно по .
Лемма 3 Операция линейна, т.е.
Proof. Обе операции в формулировке леммы нечетны и 2-периодичны. Но на они обе равны . Поэтому из леммы 2 следует лемма 3.
Введем оператор
(25)
где .
Лемма 4 Оператор является линейным и ограниченным в , причем
где норма в .
Proof. Линейность следует из леммы 3. Докажем ограниченность. Как и в лемме 1, имеем
Образуем ряд
где ( ) и .
Лемма 5 (см. 6 [с. 220-221]). Если - наименьшее натуральное число, для которого , то
(26)
где , . Кроме того, и постоянная не зависит от .
Приведем необходимое для дальнейшего доказательство этой леммы.
Proof. Положим . Очевидно, , при . При оценка (26) справедлива. Предположим, что она выполняется и при некотором , и докажем ее справедливость при . Имеем
Тем самым оценка (26) установлена. Оценим . Имеем
Отсюда вытекает требуемая оценка для .
Таким образом, ряд сходится абсолютно и равномерно в .
Теорема 4 Уравнение (24) имеет единственное решение , где , получаемое по методу последовательных подстановок.
Proof. Положим . Тогда из (24) получаем для интегральное уравнение
(27)
Так как , то уравнение (27) рассматриваем в . По методу последовательных подстановок из (27) получаем ряд . Поскольку линейный и ограниченный оператор в и , то есть решение (27). Докажем, что уравнение (27) имеет единственное решение. Допустим, что кроме есть еще другое решение этого уравнения. Тогда - решение уравнения , а, значит, и при любом натуральном . Заметим, что оценка (26) в лемме 5 остается верной, если в качестве взять любую функцию из . Возьмем в качестве такой функции функцию . Тогда из оценки (26) получаем следующую оценку:
Отсюда в силу произвольности получаем , и единственным решением уравнения (27) является ряд , а уравнение (24) ряд .
Для сравнения приведем следующие результаты из [6] и [4].
Теорема 5 (см. [4, теорема 6]). Если функции , абсолютно непрерывны и , то сумма ряда представляет собой классическое решение задачи (21)(23) при условии, что класса (уравнение удовлетворяется почти всюду).
Теорема 6 (см. [6, теорема 5]). Если , удовлетворяет условиям теоремы 5, при , то соответствующее классическое решение задачи (21)(23) сходится при по норме к .
Утверждение теоремы следует из линейности по и леммы 5.
Таким образом, классическое решение задачи (21)(23) и решение ее, приводимое в статье, выражаются одной и той же формулой: , и в случае играет роль обобщенного решения, понимаемого как предел классических.
Отметим еще, что ряд в [6] получается иным приемом с более активным использованием обобщенной смешанной задачи.