Optimization of thermal processes in a nonlocal problem with a redefinition function under an integral condition

T. K. Yuldashev; Юлдашев Т. К.; G. К. Abdurakhmanova; Абдурахманова Г. К.

doi:10.36535/0233-6723-2023-229-120-130

Optimization of thermal processes in a nonlocal problem with a redefinition function under an integral condition

Authors: Yuldashev T.K.¹, Abdurakhmanova G.К.¹
Affiliations:
1. Tashkent State University of Economics
Issue: Vol 229 (2023)
Pages: 120-130
Section: Статьи
URL: https://journal-vniispk.ru/2782-4438/article/view/261896
DOI: https://doi.org/10.36535/0233-6723-2023-229-120-130
ID: 261896

Cite item

Full Text

Abstract
Full Text
About the authors
References
Supplementary files
Statistics

Abstract

In this paper, we examine the weak generalized solvability of an inverse optimization problem for the heat equation with a nonlocal boundary condition and a nonlinear target performance. We formulate necessary optimality conditions and reduce the search for a control function to a functional integral equation.

Keywords

heat equation, nonlinear inverse problem, optimal control, nonlinear control, minimization of a functional

Full Text

1 Введение

Некоторые задачи математического моделирования тепловых процессов часто приводят к рассмотрению нелокальных обратных задач для параболических уравнений. Теория обратных задач - один из современных и важнейших разделов дифференциальных уравнений математической физики. Нелокальные задачи с условиями интегрального вида встречаются при математическом моделировании явлений различной природы, когда граница области протекания процесса недоступна для прямых измерений. Примером могут служить некоторые задачи изучения процессов распространения тепла. Теория оптимального управления динамическими системами широко используется при решении различных задач науки, техники и экономики. В теории оптимального управления разрабатаны и эффективно используются различные аналитические и приближенные методы (см., например, [2-5, 7, 9, 10, 15-17]). В [6] рассматривается широкий класс нелинейных стационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В [1] рассматриваются линейные эллиптические уравнения с коэффициентами, зависящими от функции управления и ее градиента, и изучается задача оптимального управления.

В данной работе рассматриваются вопросы обобщенного решения нелокальной обратной задачи оптимизации процессом распространения тепла по стержню конечной длины с квадратичным критерием оптимальности. При помощи принципа максимума формулируются необходимые условия оптимальности и вычисляется управляющая функция. Рассмотрим следующее уравнение распространения тепла по стержню конечной длины:

$\frac{\partial u (t, x)}{\partial t} - ν \frac{\partial^{2} u (t, x)}{\partial x^{2}} = f (x, p (t)), (t, x) \in Ω,$ (1)

с интегральным условием

$\int_{0}^{T} u (t, x) d t = φ (x), x \in Ω_{l},$ (2)

и граничными условиями Дирихле

$u (t,0)= u (t, l)=0, t \in Ω_{T},$ (3)

где $f (x, p) \in C (Ω_{l} \times ϒ)$ - функция внешнего источника, $p (t) \in C (Ω_{T})$ - функция управления, $u (t, x) \in C (Ω)$ - функция состояния, $φ (x)$ - функция переопределения распределения тепла вдоль стержня, $φ (0)= φ (l)=0$ , $ν >0$ - действительный параметр, $φ (x) \in L_{2} (Ω_{l})$ , $ϒ \equiv [0, M^{*}]$ , $0< M^{*} < \infty$ , $Ω \equiv Ω_{T} \times Ω_{l}$ , $Ω_{T} \equiv [0, T]$ , $Ω_{l} \equiv [0, l]$ , $0< T < \infty$ , $0< l < \infty$ .

Для определения функции переопределения $φ (x)$ задано следующее промежуточное условие:

$u (t_{1}, x)= ψ (x), x \in Ω_{l},$ (4)

где $0< t_{1} < T$ , $ψ (x) \in L_{2} (Ω_{l})$ .

В данной работе рассматривается нелокальная задача нелинейного оптимального управления, где интегральное условие (2) моделирует ситуации, когда либо объект исследования в обратной задаче принципиально недоступен для измерения, либо проведение такого измерения дорого. Функция $φ (x)$ в условии (2) также неизвестна. Исходя из практического применения, возникает необходимость использования дополнительного условия (4) с промежуточным значением по времени. Сформулированы необходимые условия оптимальности на основе принципа максимума, вычислены функция управления и функция состояния.

В обратной задаче оптимального управления (1) $-$ (4) требуется найти тройку неизвестных функций:

${u (t, x) \in {\bar{H}}_{u} (Ω), φ (x) \in L_{2} (Ω_{l}), p (t) \in C (Ω_{T})}.$

Для решения уравнения (1) применяем метод рядов Фурье

$u (t, x)= \sum_{n =1}^{\infty} u_{n} (t) b_{n} (x),$ (5)

где функции $b_{n} (x)$ являются собственными функциями спектральной задачи

${b^{'}}^{'} (x) + λ^{2} b (x)=0, b (0)= b (l)=0, 0< λ,$

и образуют полную систему ортонормированных функций ${b_{n} (x)}_{n =1}^{\infty}$ в пространстве $L_{2} (Ω_{l})$ , а $λ_{n}$ - соответствующие собственные числа, $n =1,2,3, \dots$ .

Предположим, что и следующие функции тоже разлагаются в ряд Фурье по функциям $b_{n} (x)$ :

$f (x, p (t))= \sum_{n =1}^{\infty} f_{n} (p) b_{n} (x), φ (x)= \sum_{n =1}^{\infty} φ_{n} b_{n} (x),$ (6)

где

$f_{n} (p)= \int_{0}^{l} f (y, p (t)) b_{n} (y) d y, φ_{n} = \int_{0}^{l} φ (y) b_{n} (y) d y .$

Задача Найти функцию переопределения $φ (x)$ , функцию управления

$p (t) \in {p :| p (t)| \leq M^{*}, t \in Ω_{T}}$

и функцию состояния $u (t, x)$ , которые доставляют минимум функционалу

$J [p]= \int_{0}^{l} {[u (T, y) - ξ (y)]}^{2} d y + α \int_{0}^{T} p^{2} (t) d t,$ (7)

где $ξ (x)$ - такая непрерывная функция, что

$ξ (x)= \sum_{n =1}^{\infty} ξ_{n} b_{n} (x), ξ_{n} = \int_{0}^{l} ξ (y) b_{n} (y) d y,$

$ξ (0)= ξ (l)=0, \sum_{n =1}^{\infty} | ξ_{n} |< \infty, 0< α = c o n s t .$

2 Обратная задача (1) $-$ (4)

Рассмотрим пространства

${\bar{C}}_{u}^{1,2} (Ω)={u : u (t, x) \in C^{1,2} (Ω), u (t,0)= u (t, l)=0},$

${\bar{C}}_{Φ}^{1,2} (Ω)={Φ : Φ (t, x) \in C^{1,2} (Ω), Φ (0, x)=0}$

(см. [8]) и их замыкания ${\bar{H}}_{u} (Ω)$ , ${\bar{H}}_{Φ} (Ω)$ по норме

$∥ u ∥_{\bar{H} (Ω)} = \sqrt{\int_{0}^{T} \int_{0}^{l} | u (t, y {)|}^{2} d y d t} < \infty .$

Определение Функция $u (t, x) \in {\bar{H}}_{u} (Ω)$ называется обобщенным решением нелокальной задачи (1) $-$ (3), если эта функция почти всюду удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и условиям (2) и (3).

Рассмотрим также следующие известные банаховы пространства (см., например, [12-14]):

(a). пространство $B_{2} (T)$ с нормой

$∥ a (t) ∥_{B_{2} (Ω_{T})} = \sqrt{\sum_{n =1}^{\infty} {(\max_{t \in Ω_{T}} | a_{n} (t)|)}^{2}};$

(b). пространство $l_{2}$ с нормой

$∥ φ ∥_{l_{2}} = \sqrt{\sum_{n =1}^{\infty} | φ_{n} |^{2}} < \infty;$

(c). пространство $L_{2} (Ω_{l})$ с нормой

$∥ ϑ (x) ∥_{L_{2} (Ω_{l})} = \sqrt{\int_{0}^{l} | ϑ (x {)|}^{2} d x} < \infty .$

Используя определение обобщенного решения и ряды Фурье (5), (6) и учитывая, что функции $b_{n} (x)$ образуют полную систему ортонормированных функций в $L_{2} (Ω_{l})$ , из уравнения (1) приходим к следующей счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

${u^{'}}_{n} (t) + λ_{n}^{2} ν u_{n} (t)= f_{n} (p (t)), где λ_{n}^{2} = {[\frac{n π}{l}]}^{2} .$ (8)

Интегрируя счетную систему диффефренциальных уравнений (8) на интервале $(0, t)$ , получим

$u_{n} (t)= A_{n} e^{- λ_{n}^{2} ν t} + \int_{0}^{t} e^{- λ_{n}^{2} ν (t - s)} \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s,$ (9)

где $A_{n}$ - неизвестный коэффициент интегрирования. Используя ряды Фурье (5) и (6), из интегрального условия (2) имеем

$φ_{n} = \int_{0}^{l} φ (y) b_{n} (y) d y = \int_{0}^{l} \int_{0}^{T} u (t, y) d t b_{n} (y) d y = \int_{0}^{T} \int_{0}^{l} u (t, y) b_{n} (y) d y d t = \int_{0}^{T} u_{n} (t) d t .$ (10)

Для нахождения неизвестного коэффициента интегрирования $A_{n}$ воспользуемся условием (10):

$φ_{n} = A_{n} \int_{0}^{T} e^{- λ_{n}^{2} ν t} d t + \int_{0}^{T} \int_{0}^{t} e^{- λ_{n}^{2} ν (t - s)} \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s d t =$

$= \frac{A_{n}}{λ_{n}^{2} ν} G_{n} (0) + \frac{1}{λ_{n}^{2} ν} \int_{0}^{T} G_{n} (t) \int_{0}^{l} f (y, p (t)) b_{n} (y) d y d t,$

где $G_{n} (t)=1 - e^{- λ_{n}^{2} ν (T - t)}$ . Отсюда находим, что

$A_{n} = \frac{λ_{n}^{2} ν}{G_{n} (0)} φ_{n} - \frac{1}{G_{n} (0)} \int_{0}^{T} G_{n} (t) \int_{0}^{l} f (y, p (t)) b_{n} (y) d y d t .$ (11)

Подставляя (11) в представление (9), получаем

$\begin{matrix} u_{n} (t)= \frac{φ_{n}}{G_{n} (0)} \frac{λ_{n}^{2} ν}{e^{λ_{n}^{2} ν t}} + \int_{0}^{T} K_{n} (t, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s, \\ u (t, x)= \sum_{n =1}^{\infty} b_{n} (x){\frac{φ_{n}}{G_{n} (0)} \frac{λ_{n}^{2} ν}{e^{λ_{n}^{2} ν t}} + \int_{0}^{T} K_{n} (t, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s}, \end{matrix}$ (12)

где $K_{n} (t, s)= \{\begin{array}{l} - \frac{1}{G_{n} (0)} G_{n} (s) e^{- λ_{n}^{2} ν t}, & t < s \leq T, \\ - \frac{1}{G_{n} (0)} G_{n} (s) e^{- λ_{n}^{2} ν t} + e^{- λ_{n}^{2} ν (t - s)}, & 0 \leq s < t . \end{array}$

Теорема 1 Пусть выполнены условия $φ (x) \in L_{2} (Ω_{l})$ и $∥ f (x, p) ∥_{L_{2} (Ω_{l})} < \infty$ . Тогда для функции (12) имеет место включение $u (t, x) \in \bar{H} (Ω)$ .

Proof. При фиксированных значениях функции переопределения и функции управления, подставляя формулу (12) в интеграл

$ℑ = \int_{0}^{T} \int_{0}^{l} u^{2} (t, y) d y d t,$

получим

$ℑ = \int_{0}^{T} \int_{0}^{l} {\{\sum_{n =1}^{\infty} b_{n} (y) [\frac{φ_{n}}{G_{n} (0)} \frac{λ_{n}^{2} ν}{e^{λ_{n}^{2} ν t}} + \int_{0}^{T} K_{n} (t, s) \int_{0}^{l} f (z, p (s)) b_{n} (z) d z d s]\}}^{2} d y d t =$

$= \int_{0}^{T} \int_{0}^{l} {\{\sum_{n =1}^{\infty} \frac{φ_{n}}{G_{n} (0)} \frac{λ_{n}^{2} ν}{e^{λ_{n}^{2} ν t}} b_{n} (y)\}}^{2} d y d t +$

$+ 2 \int_{0}^{T} \int_{0}^{l} \{\sum_{n =1}^{\infty} \frac{φ_{n}}{G_{n} (0)} \frac{λ_{n}^{2} ν}{e^{λ_{n}^{2} ν t}} b_{n} (y)\} \{\sum_{n =1}^{\infty} \int_{0}^{T} K_{n} (t, s) \int_{0}^{l} f (z, p (s)) b_{n} (z) d z d s\} b_{i} (y) d y d t +$

$+ \int_{0}^{T} \int_{0}^{l} {\{\sum_{n =1}^{\infty} \int_{0}^{T} K_{n} (t, s) \int_{0}^{l} f (z, p (s)) b_{n} (z) d z d s b_{n} (y)\}}^{2} d y d t .$

Учитывая, что $b_{n} (x)= \sqrt{2/ l} \sin π n / l$ , и применяя неравенства Коши $-$ Шварца и Бесселя, получаем следующую оценку:

$ℑ \leq 2 \int_{0}^{T} {[\sum_{n =1}^{\infty} |\frac{φ_{n}}{G_{n} (0)} \frac{λ_{n}^{2} ν}{e^{λ_{n}^{2} ν t}}|]}^{2} d t +$

$+ 4 \int_{0}^{T} \sum_{n =1}^{\infty} |\frac{φ_{n}}{G_{n} (0)} \frac{λ_{n}^{2} ν}{e^{λ_{n}^{2} ν t}}| \int_{0}^{T} \sum_{n =1}^{\infty} |K_{n} (t, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y| d s d t +$

$+ 2 \int_{0}^{T} {\{\int_{0}^{T} \sum_{n =1}^{\infty} |K_{n} (t, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y| d s\}}^{2} d t \leq$

$\leq 2 \int_{0}^{T} \sum_{n =1}^{\infty} {|\frac{φ_{n}}{G_{n} (0)}|}^{2} \sum_{n =1}^{\infty} {|\frac{λ_{n}^{2} ν}{e^{λ_{n}^{2} ν t}}|}^{2} d t + 4 \int_{0}^{T} {[\sum_{n =1}^{\infty} {|\frac{φ_{n}}{G_{n} (0)}|}^{2}]}^{1/2} {[\sum_{n =1}^{\infty} {|\frac{λ_{n}^{2} ν}{e^{λ_{n}^{2} ν t}}|}^{2}]}^{1/2} \times$

$\times \int_{0}^{T} {[\sum_{n =1}^{\infty} {|K_{n} (t, s)|}^{2}]}^{1/2} {[\sum_{n =1}^{\infty} {|\int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y|}^{2}]}^{\frac{1}{2}} d s d t +$

$+ 2 \int_{0}^{T} {\{\int_{0}^{T} {[\sum_{n =1}^{\infty} {|K_{n} (t, s)|}^{2}]}^{\frac{1}{2}} {[\sum_{n =1}^{\infty} {|\int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y|}^{2}]}^{\frac{1}{2}} d s\}}^{2} d t \leq$

$\leq 2 {[χ_{0}]}^{2} χ_{2} + 4 χ_{0} χ_{1} χ_{3} χ_{4} + 2[χ_{3} χ_{4}]^{2} T < \infty,$

где

$χ_{0} = {‖\frac{φ}{G (0)}‖}_{l_{2}}, χ_{1} = \int_{0}^{T} {‖\frac{λ^{2} ν}{e^{λ^{2} ν t}}‖}_{l_{2}} d t, χ_{2} = \int_{0}^{T} {‖\frac{λ^{2} ν}{e^{λ^{2} ν t}}‖}_{l_{2}}^{2} d t, χ_{3} = {‖\int_{0}^{T} K (t, s) d s‖}_{B_{2} (T)},$

$χ_{4} = \max_{t \in [0, T]} ∥ f (x, p (t)) ∥_{L_{2} (Ω_{l})},$

откуда следует утверждение теоремы.

Теперь рассмотрим функцию переопределения. По условию задачи предполагается, что

$ψ (x)= \sum_{n =1}^{\infty} ψ_{n} b_{n} (x), ψ_{n} = \int_{0}^{l} ψ (y) b_{n} (y) d y .$

Применим промежуточное условие (4) к представлению (12):

$\sum_{n =1}^{\infty} ψ_{n} b_{n} (x)= \sum_{n =1}^{\infty} u_{n} (t_{1}) b_{n} (x)= \sum_{n =1}^{\infty} [\frac{λ_{n}^{2} ν}{G_{n} (0)} \frac{φ_{n}}{e^{λ_{n}^{2} ν t_{1}}} + \int_{0}^{T} K_{n} (t_{1}, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s] b_{n} (x).$ (13)

Умножая скалярно каждый член (13) на $b_{m} (x)$ , получим

$\sum_{n =1}^{\infty} ψ_{n} (b_{n} (x), b_{m} (x))= \sum_{n =1}^{\infty} \frac{λ_{n}^{2} ν}{G_{n} (0)} \frac{φ_{n}}{e^{λ_{n}^{2} ν t_{1}}} (b_{n} (x), b_{m} (x)) +$

$+ \sum_{n =1}^{\infty} \int_{0}^{T} K_{n} (t_{1}, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s (b_{n} (x), b_{m} (x)).$

Отсюда, учитывая, что функции $b_{n} (x)$ образуют полную систему ортонормированных функций в $L_{2} (Ω_{l})$ , имеем

$ψ_{n} = φ_{n} ω_{n} + \int_{0}^{T} K_{n} (t_{1}, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s, где ω_{n} = \frac{λ_{n}^{2} ν}{G_{n} (0)} e^{- λ_{n}^{2} ν t_{1}} .$ (14)

Из (14) однозначно определяем коэффициенты Фурье $φ_{n}$ для функции переопределения $φ (x)$ :

$φ_{n} = ψ_{n} ω_{n}^{- 1} - ω_{n}^{- 1} \int_{0}^{T} K_{n} (t_{1}, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s,$ (15)

если функция управления $p (s)$ существует и единственна. Подставляя (15) в представление (12), получаем

$u (t, x)= \sum_{n =1}^{\infty} b_{n} (x){ψ_{n} γ_{n} (t) - γ_{n} (t) \int_{0}^{T} K_{n} (t_{1}, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s +$

$+ \int_{0}^{T} K_{n} (t, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s},$ (16)

где $γ_{n} (t)= e^{λ_{n}^{2} ν (t_{1} - t)}$ . Аналогично, подставляя (15) в ряды Фурье (6), имеем

$φ (x)= \sum_{n =1}^{\infty} b_{n} (x) \{ψ_{n} ω_{n}^{- 1} - ω_{n}^{- 1} \int_{0}^{T} K_{n} (t_{1}, s) f_{n} (p (s)) d s\} .$ (17)

3 Функция управления

Пусть $p (t)$ - функция оптимального управления:

$Δ J [p (t)]= J [p (t) + Δ p (t)] - J [p (t)] \geq 0,$

где $p (t) + Δ p (t) \in C (Ω_{T})$ . Применение принципа максимума приводит нашу задачу к следующим необходимым условиям оптимальности (см., например, [3, 17]):

$q (t, x) f_{p} (x, p (t)) - 2 α p (t)=0,$ (18)

$q (t, x) f_{p p} (x, p (t)) - 2 α <0,$ (19)

в котором $q (t, x)$ является обобщенным решением следующей задачи:

$q_{t} (t, x) + ν q_{x x} (t, x)=0, (t, x) \in Ω,$

$q (T, x)= - 2[u (T, x) - ξ (x)], q (t,0)= q (t, l)=0,$

и определяется формулой

$q (t, x)= - 2 \sum_{n =1}^{\infty} {ψ_{n} γ_{n} (T) - γ_{n} (T) \int_{0}^{T} K_{n} (t_{1}, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s +$

$+ \int_{0}^{T} K_{n} (T, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s - ξ_{n}} e^{- λ_{n}^{2} ν (T - t)} b_{n} (x).$ (20)

С учетом условия $f_{p} (x, p (t)) \neq 0$ условия оптимальности (18) можно переписать следующим образом:

$2 α p (t) f_{p}^{- 1} (x, p (t))= q (t, x).$ (21)

Подставляя (21) в условие (19), получаем

$f_{p} (x, p (t)) {(\frac{p (t)}{f_{p} (x, p (t))})}_{p} >0.$ (22)

В силу (22), подставляя (20) в (21), получаем

$\frac{α p (t)}{f_{n p} (p (t))} - γ_{n} (T) \int_{0}^{T} K_{n} (t_{1}, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s +$

$+ \int_{0}^{T} K_{n} (T, s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s = (\frac{ψ_{n}}{γ_{n} (T)} + ξ_{n}) e^{- λ_{n}^{2} ν (T - t)} .$ (23)

Перепишем (23) как следующее сложное интегральное уравнение относительно управляющей функции $p (t)$ :

$α p (t)/ \int_{0}^{l} f_{p} (y, p (t)) b_{n} (y) d y + \int_{0}^{T} R_{n} (s) \int_{0}^{l} f (y, p (s)) b_{n} (y) d y d s = F_{n} (t),$ (24)

где

$R_{n} (s)= K_{n} (T, s) - γ_{n} (T) K_{n} (t_{1}, s), F_{n} (t)= (\frac{ψ_{n}}{γ_{n} (T)} + ξ_{n}) e^{- λ_{n}^{2} ν (T - t)} .$

Для того чтобы решить уравнение (24), мы используем следующие методы (см. [18]). В уравнении (24) положим

$α p (t)/ \int_{0}^{l} f_{p} (y, p (t)) b_{n} (y) d y = g (t),$ (25)

где $g (t) \in C (Ω_{T})$ - пока неизвестная функция. Однако мы предполагаем, что она задана, т.е. функция $g (t)$ известна. Поэтому из уравнения (25) относительно функции управления $p (t)$ получаем следующее нелинейное функциональное уравнение:

$p (t)= \frac{g (t)}{α} \int_{0}^{l} f_{p} (y, p (t)) b_{n} (y) d y .$ (26)

В действительности функция $p (t)$ зависит от $n$ , так как функция

$\int_{0}^{l} f_{p} (y, p (t)) b_{n} (y) d y$

- коэффициент Фурье на $[0, l]$ . Для произвольной функции $p (t) \in C (Ω_{T})$ рассмотрим следующую непрерывную норму:

$∥ p (t) ∥_{C} = \max_{t \in Ω_{T}} | p (t)|.$

Теорема 2 Пусть выполнены следующие условия:

(i). $0< ∥ f_{p} (x, p (t)) ∥_{L_{2} (Ω_{l})} \leq M_{1}$ , $0< M_{1} = c o n s t$ ;

(ii). $| f_{p} (x, p_{1} (t)) - f_{p} (x, p_{2} (t))| \leq M_{2} (x) | p_{1} (t) - p_{2} (t)|$ , $0< ∥ M_{2} (x) ∥_{L_{2} (Ω_{l})} < \infty$ ;

(iii). $ρ = \sqrt{l /2} α^{- 1} \max_{t \in Ω_{T}} | g (t)| \cdot ∥ M_{2} (x) ∥_{L_{2} (Ω_{l})} <1$ .

Тогда нелинейное функциональное уравнение (26) имеет единственное решение в пространстве непрерывных функций $C (Ω_{T})$ . Это решение может быть найдено из следующего итерационного процесса:

$p_{0, n} (t)=0, p_{k + 1, n} (t)= \frac{g (t)}{α} \int_{0}^{l} f_{p} (y, p_{k, n} (t)) b_{n} (y) d y, k =0,1,2, \dots .$ (27)

Proof. Из (27) получаем, что справедливы следующие оценки:

$| p_{k + 1, n} (t) - p_{0, n} (t)| \leq |\frac{g (t)}{α}| \int_{0}^{l} | f_{p} (y, p_{k, n} (t)) b_{n} (y)| d y \leq$

$\leq \sqrt{\frac{l}{2}} \frac{| g (t)|}{α} ∥ f_{p} (y, p_{k, n} (t)) ∥_{L_{2} (Ω_{l})} \leq \sqrt{\frac{l}{2}} \frac{| g (t)|}{α} M_{1} < \infty;$

$| p_{k + 1, n} (t) - p_{k, n} (t)| \leq |\frac{g (t)}{α}| |\int_{0}^{l} | f_{p} (y, p_{k, n} (t)) - f_{p} (y, p_{k - 1, n} (t))| \cdot b_{n} (y) d y| \leq$

$\leq |\frac{g (t)}{α}| |\int_{0}^{l} M_{2} (y)| p_{k, n} (t) - p_{k - 1, n} (t)| \cdot b_{n} (y) d y| \leq \sqrt{\frac{l}{2}} \frac{| g (t)|}{α} | p_{k, n} (t) - p_{k - 1, n} (t)| \cdot {‖M_{2} (x)‖}_{L_{2} (Ω_{l})} .$

Тогда нетрудно проверить, что

$∥ p_{k + 1, n} (t) - p_{k, n} (t) ∥_{C} \leq ρ \cdot ∥ p_{k, n} (t) - p_{k - 1, n} (t) ∥_{C} .$

Из справедливости этих оценок следует, что оператор в правой части (26) является сжимающим, так что он имеет единственную неподвижную точку в пространстве непрерывных функций $C (Ω_{Т})$ . Поскольку $C (Ω_{Т})$ - банахово пространство, функциональное уравнение (26) имеет единственное решение в данном пространстве. Теорема 2 доказана.

Обозначим указанное это решение функционального уравнения (26) через $p_{n} (t)= h (t, g_{n} (t))$ . Подставляя его в (24) и учитывая (25), получаем следующее нелинейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

$g_{n} (t)= ℑ (t; g_{n}) \equiv F_{n} (t) - \int_{0}^{T} R_{n} (s) \int_{0}^{l} f (y, h (s, g_{n} (s))) b_{n} (y) d y d s .$ (28)

Теорема 3 Пусть выполняются следующие условия:

(i). $ξ (x) \in L_{2} (Ω_{l})$ ;

(ii). $| h (t, g_{1, n} (t)) - h (t, g_{2, n} (t))| \leq M_{3} | g_{1, n} (t) - g_{2, n} (t)|$ , $0< M_{3} = c o n s t$ ;

(iii). $τ = \sqrt{l /2} M_{3} ∥ M_{2} (x) ∥_{L_{2} (Ω_{l})} \int_{0}^{T} | R_{n} (s)| d s <1$ .

Тогда нелинейное интегральное уравнение Фредгольма (28) имеет единственное решение в классе непрерывных функций $g_{n} (t) \in C (Ω_{T})$ , которое можно найти из следующего итерационного процесса:

$g_{0, n} (t)= F_{n} (t), g_{k + 1, n} (t)= ℑ (t; g_{k, n}), k =0,1,2, \dots .$ (29)

Proof. Из последовательных приближений (29) получаем следующие оценки:

$∥ g_{k + 1, n} (t) - g_{0, n} (t) ∥_{C} \leq \int_{0}^{T} | R_{n} (s)| \int_{0}^{l} | f_{p} (y, h (s, g_{k, n} (s))) b_{n} (y)| d y d s \leq$

$\leq \sqrt{\frac{l}{2}} \int_{0}^{T} | R_{n} (s)| ∥ f_{p} (x, h (s, g_{k, n} (s))) ∥_{L_{2} (Ω_{l})} d s \leq \sqrt{\frac{l}{2}} M_{1} \int_{0}^{T} | R_{n} (s)| d s < \infty;$

$∥ g_{k + 1, n} (t) - g_{k, n} (t) ∥_{C} \leq \int_{0}^{T} | R_{n} (s)| ∥ f_{p} (x, h (s, g_{k, n} (s))) - f_{p} (x, h (s, g_{k - 1, n} (s))) ∥_{L_{2} (Ω_{l})} d s \leq$

$\leq \sqrt{\frac{l}{2}} M_{3} ∥ M_{2} (x) ∥_{L_{2} (Ω_{l})} \int_{0}^{T} | R_{n} (s)| ∥ g_{k, n} (s) - g_{k - 1, n} (s) ∥_{C} d s =$

$= τ \cdot ∥ g_{k, n} (t) - g_{k - 1, n} (t) ∥_{C} < ∥ g_{k, n} (t) - g_{k - 1, n} (t) ∥_{C} .$

Из этих оценок следует, что оператор в правой части (24) является сжимающим, так что он имеет единственную неподвижную точку в пространстве непрерывных функций $C (Ω_{Т})$ . Следовательно, нелинейное интегральное уравнение (28) имеет единственное решение в пространстве непрерывных функций $g_{n} (t) \in C (Ω_{T})$ . Теорема 3 доказана.

Подставляя решение уравнения (28) в (24), определим управляющую функцию $p_{n} (t)$ .

Согласно (16), оптимальный процесс находится по формуле

$\bar{u} (t, x)= \sum_{n =1}^{\infty} b_{n} (x) \int_{0}^{T} R_{n} (t, s) \int_{0}^{l} f (y, \bar{p} (s)) b_{n} (y) d y d s,$ (30)

где $R_{n} (t, s)= K_{n} (t, s) - γ_{n} (t) K_{n} (t_{1}, s)$ . Согласно (17), функция переопределения имеет вид

$\bar{φ} (x)= \sum_{n =1}^{\infty} b_{n} (x) \{ψ_{n} ω_{n}^{- 1} - ω_{n}^{- 1} \int_{0}^{T} K_{n} (t, s) \int_{0}^{l} f (y, \bar{p} (s)) b_{n} (y) d y d s\} .$ (31)

Согласно формулам (7) и (24), минимальное значение функционала вычисляется по следующей формуле:

$J [\bar{p}]= \int_{0}^{l} \{\sum_{n =1}^{\infty} b_{n} (y) [ψ_{n} γ_{n} (T) + \int_{0}^{T} R_{n} (s) \int_{0}^{l} f (z, \bar{p} (s)) b_{n} (z) d z d s - ξ_{n}]\} d y + α \int_{0}^{T} {[\bar{p} (t)]}^{2} d t .$ (32)

Теорема 4 Пусть выполнены условия теоремы 3. Если функция $ψ (x) \in L_{2} (Ω_{l})$ удовлетворяет условию

$\sum_{n =1}^{\infty} | ψ_{n} γ_{n} (T)|< \infty,$

то функционал (32) принимает конечное значение.

Proof. Достаточно показать абсолютную и равномерную сходимость ряда

$B = \sum_{n =1}^{\infty} \int_{0}^{T} R_{n} (s) \int_{0}^{l} f (z, \bar{p} (s)) b_{n} (z) d z d s .$ (33)

Применим к (33) неравенство Коши $-$ Шварца и неравенство Бесселя:

$B \leq \sum_{n =1}^{\infty} \int_{0}^{T} | R_{n} (s)| |\int_{0}^{l} f (z, \bar{p} (s)) b_{n} (z) d z| d s = \int_{0}^{T} \sum_{n =1}^{\infty} | R_{n} (s)| |\int_{0}^{l} f (z, \bar{p} (s)) b_{n} (z) d z| d s \leq$

$\leq \int_{0}^{T} {\{\sum_{n =1}^{\infty} \max_{0 \leq t \leq T} | R_{n} (t {)|}^{2}\}}^{1/2} {\{\sum_{n =1}^{\infty} \max_{0 \leq t \leq T} {|\int_{0}^{l} f (z, \bar{p} (t)) b_{n} (z) d z|}^{2}\}}^{1/2} d s \leq$

$\leq T ∥ R (t) ∥_{B_{2} (T)} \max_{0 \leq t \leq T} ∥ f (x, \bar{p} (t)) ∥_{L_{2} (Ω_{l})} < \infty .$

Приближенное значение функционала вычисляется из следующего итерационного процесса:

$J [{\bar{p}}^{k}]= \int_{0}^{l} \{\sum_{n =1}^{\infty} b_{n} (y) [ψ_{n} γ_{n} (T) + \int_{0}^{T} R_{n} (s) \int_{0}^{l} f (z, {\bar{p}}^{k} (s)) b_{n} (z) d z d s - ξ_{n}]\} d y + α \int_{0}^{T} {[{\bar{p}}^{k} (t)]}^{2} d t .$ (34)

4 Заключение

При помощи метода разделения переменных Фурье исследована нелокальная задача для уравнения теплопроводности с интегральным условием, условиями Дирихле и условием с промежуточным значением. На основе принципа максимума сформулированы необходимые условия оптимальности функции управления по квадратичным критериям. Функция оптимального управления однозначно определяется из интегрального уравнения (24) методом последовательных приближений. Получены уравнения для определения функции переопределения, функции оптимального управления и функции состояния. Приведены представления для расчета оптимального процесса, функции переопределения и минимального значения функционала - формулы (27), (29), (30), (31) и (34). Полученные результаты могут найти дальнейшее применение при развитии математической и прикладной теории нелинейного оптимального управления в обратных задачах для некоторых систем с распределенными параметрами.

About the authors

T. K. Yuldashev

Tashkent State University of Economics

Author for correspondence.
Email: tursun.k.yuldashev@gmail.com
Uzbekistan, Tashkent

G. К. Abdurakhmanova

Tashkent State University of Economics

Email: g.abdurakhmanova@tsue.uz
Uzbekistan, Tashkent

References

Искендеров А. Д., Гамидов Р. А. Задачи оптимизации с градиентом управления в коэффициентах эллиптических уравнений Автомат. телемех. 2020 81 9 1627–1636
Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации М. Наука 1982
Егоров А. И. Оптимальное управление термическими и диффузионными процессами М. Наука 1978
Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики М. Наука 1975
Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления М. Наука 1973
Квитко А. Н. Об одном методе решения локальной краевой задачи для нелинейной управляемой системы Автомат. телемех. 2020 81 2 236–246
Миллер Б. М., Рубинович Е. Я. Разрывные решения в задачах оптимального управления и их представление с помощью сингулярных пространственно-временных преобразований Автомат. телемех. 2013 74 12 56–103
Пулькина Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения Мат. заметки. 2003 74 3 435–445
Рапопорт Е. Я. Оптимальное управление системами с распределенным параметром М. Высшая школа 2009
Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления М. Физматлит 2000
Юлдашев T. K. Оптимальное управление обратными тепловыми процессами в параболическом уравнении с нелинейными отклонениями по времени Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз. 2022 210 117–135
Юлдашев Т. К. Определение коэффициента и классическая разрешимость нелокальной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения Бенни—Люка с вырожденным ядром Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз. 2018 156 89–102
Юлдашев Т. К. Обратная смешанная задача для интегро-дифференциального уравнения с многомерным оператором Бенни—Люка и нелинейными максимумами Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз. 2021 201 3–15
Юлдашев Т. К., Рахмонов Ф. Д., Исмоилов А. С. Интегро-дифференциальное уравнение Буссинеска с интегральными условиями и c малым параметром при смешанных производных Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз. 2022 211 114–130
Girsanov I. V. Lectures on the Mathematical Theory of Extremum Problems New York Springer-Verlag 1972
Lions J. L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations New York Springer-Verlag 1971
Kerimbekov A. K. On solvability of the nonlinear optimal control problem for processes described by the semilinear parabolic equations Proc. World Congress Engineering, Vol. I London, July 6-8, 2011 2011 270–275
Yuldashev T. K. Nonlinear optimal control of thermal processes in a nonlinear inverse problem Lobachevskii J. Math. 2020 41 1 124–136

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

Username
Password
Remember me

Forgot password?	Register

Username
Password
Remember me

Forgot password?	Register