Solvability of start control problems for a class of degenerate nonlinear equations with fractional derivatives

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, we consider a class of start control problems for systems whose states are described by equations in Banach spaces that are not solvable with respect to the highest Gerasimov–Caputo fractional derivative and depend nonlinearly on lower-order fractional derivatives. A theorem on the existence of an optimal control is obtained. Abstract results are applies to the study of the start control problem for the modified Sobolev equation with a fractional derivative in time.

About the authors

M. V. Plekhanova

Челябинский государственный университет; Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет)

Author for correspondence.
Email: mariner79@mail.ru
Russian Federation, Челябинск; Челябинск

G. D. Baybulatova

Челябинский государственный университет

Email: baybulatova_g_d@mail.ru
Russian Federation, Челябинск

References

  1. Байбулатова Г. Д. Задачи стартового управления для одного класса вырожденных уравнений с младшими дробными производными// Челяб. физ.-мат. ж. — 2020. — 5, № 3. — С. 271–284.
  2. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения// Прикл. мат. мех. — 1948. — 12. — С. 529–539.
  3. Глушак А. В., Авад Х. К. О разрешимости абстрактного дифференциального уравнения дробного порядка с переменным оператором// Совр. мат. Фундам. напр. — 2013. — 47. — С. 118–32.
  4. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешённые относительно старшей производной. — Новосибирск: Научная книга, 1998.
  5. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Уравнения и системы, не разрешённые относительно старшей производной. — Новосибирск: Наука, 2000.
  6. Кожанов А. И. Смешанная задача для одного класса сильно нелинейных уравнений соболевского типа высокого порядка// Докл. РАН. — 2013. — 451, № 5. — С. 492–494.
  7. Плеханова М. В. Разрешимость задач управления для вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка// Челяб. физ.-мат. ж. — 2017. — 2, № 1. — С. 53–65.
  8. Плеханова М. В. Задачи оптимального управления для линейных вырожденных дробных уравнений// Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз. — 2018. — 149. — С. 72–83.
  9. Плеханова М. В., Байбулатова Г. Д., Киен Б. Т. Распределенное управление для полулинейных уравнений с производными Герасимова — Капуто// Мат. заметки СВФУ. — 2021. — 28, № 2. — С. 47– 67.
  10. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987.
  11. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. — М.: Физматлит, 2007.
  12. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики// Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1954. — 18. — С. 3–50.
  13. Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Артишок, 2008.
  14. Федоров В. Е., Гордиевских Д. М. Разрешающие операторы вырожденных эволюционных уравнений с дробной производной по времени// Изв. вузов. Мат. — 2015. — № 1. — С. 71–83.
  15. Федоров В. Е., Плеханова М. В. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа// Диффер. уравн. — 2004. — 40, № 11. — С. 1548–1556.
  16. Федоров В. Е., Плеханова М. В., Нажимов Р. Р. Линейные вырожденные эволюционные уравнения с дробной производной Римана — Лиувилля// Сиб. мат. ж. — 2018. — 59, № 1. — С. 171–184.
  17. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. — Новосибирск: Научная книга, 1999.
  18. Хэссард Б.,Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. — М.: Мир, 1985.
  19. Bahaa G. M., Hamiaz A. Optimal control problem for coupled time-fractional diffusion systems with final observations// J. Taibah Univ. Sci. — 2018. — 13, № 1. — P. 124–135.
  20. Bajlekova E. G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces / Ph.D. thesis. — Eindhoven: University Press Facilities, Eindhoven University of Technology, 2001.
  21. Baleanu D., Machado J. A. T., Luo A. C. J. Fractional Dynamics and Control. — London-New York-Dordrecht-Heidelberg: Springer, 2012.
  22. Debbouche A., Torres D. F. M. Sobolev-type fractional dynamic equations and optimal multi-integral controls with fractional nonlocal conditions// Fract. Calc. Appl. Anal. — 2015. — 18. — P. 95–121.
  23. Fedorov V. E. Applications of the theory of degenerate operator semigroups to initial-boundary-value problems// J. Math. Sci. — 2005. — № 126. — P. 1658–1663.
  24. Fedorov V. E., Gordievskikh D. M., Plekhanova M. V. Equations in Banach spaces with a degenerate operator under a fractional derivative// Differ. Equations. — 2015. — 51. — P. 1360–1368.
  25. Fedorov V. E., Romanova E. A., Debbouche A. Analytic in a sector resolving families of operators for degenerate evolution fractional equations// J. Math. Sci. — 2018. — 228, № 4. — P. 380–394.
  26. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Amsterdam-Boston-Heidelberg: Elsevier, 2006.
  27. Mainardi F., Luchko Y. F., Pagnini G. The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation// Fract. Calc. Appl. Anal. — 2001. — 4, № 2. — P. 153–192.
  28. Oldham K. B., Spanier J. The Fractional Calculus. — Boston: Academic Press, 1974.
  29. Plekhanova M. V. Nonlinear equations with degenerate operator at fractional Caputo derivative// Math. Meth. Appl. Sci. — 2016. — 40. — P. 41–44.
  30. Plekhanova M. V. Sobolev type equations of time-fractional order with periodical boundary conditions// AIP Conf. Proc. — 2016. — 1759. — 020101.
  31. Plekhanova M. V., Baybulatova G. D. Problems of hard control for a class of degenerate fractional order evolution equations// Proc. Int. Conf. “Mathematical Optimization Theory and Operations Research (MOTOR 2019)” (Yekaterinburg, Russia, July 08–12, 2019). — Springer, 2019. — P. 501–512.
  32. Plekhanova M. V., Baybulatova G. D. Semilinear equations in Banach spaces with lower fractional derivatives// Proc. Int. Conf. “Nonlinear Analysis and Boundary Value Problems (NABVP 2018)” (Santiago de Compostela, Spain, September 4–7, 2019). — Springer, 2019. — P. 81–93.
  33. Plekhanova M. V., Baybulatova G. D. On strong solutions for a class of semilinear fractional degenerate evolution equations with lower fractional derivatives// Math. Meth. Appl. Sci. — 2021. — 44, № 15. — P. 11810–11819.
  34. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapunov–Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. — Dordrecht–Boston–London: Kluwer Academic, 2002.
  35. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev-Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. — Utrecht Boston: VSP, 2003.
  36. Tarasov V. E. Fractional Dynamics. — Beijing: Higher Education Press, 2010.
  37. Wang J. R., Zhou Y. A class of fractional evolution equations and optimal controls// Nonlin. Anal. Real World Appl. — 2011. — 12, № 1. — P. 262–272.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Plekhanova M.V., Baybulatova G.D.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».